Матэма́тыка (стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά[1] < стар.-грэч.: μάθημα — вывучэнне, навука) — навука аб колькасных адносінах і прасторавых формах рэчаіснага свету[2]. Традыцыйна матэматыка лічыцца асаблівай у сваім родзе навукай.
Пачаткі матэматыкі з’явіліся ў глыбокай старажытнасці.
Ідэалізаваныя ўласцівасці доследных аб’ектаў альбо фармулююцца ў выглядзе аксіём, альбо пералічваюцца ў азначэнні адпаведных матэматычных аб’ектаў. Затым па строгіх правілах лагічнага вываду з гэтых уласцівасцей выводзяцца іншыя праўдзівыя ўласцівасці (тэарэмы). Гэтая тэорыя ў сукупнасці ўтварае матэматычную мадэль доследнага аб’екта. Такім чынам, першапачаткова, зыходзячы з прасторавых і колькасных суадносін, матэматыка атрымлівае больш абстрактныя суадносіны, вывучэнне якіх таксама з’яўляецца прадметам сучаснай матэматыкі[3].
Традыцыйна матэматыка дзеліцца на тэарэтычную, якая выконвае паглыблены аналіз унутрыматэматычных структур, і прыкладную, якая прадстаўляе свае мадэлі іншым навукам і інжынерным дысцыплінам, прычым некаторыя з іх займаюць пагранічнае з матэматыкай становішча. У прыватнасці, фармальная логіка можа разглядацца і як частка філасофскіх навук, і як частка матэматычных навук; механіка — і фізіка, і матэматыка; інфарматыка, камп’ютэрныя тэхналогіі і алгарытміка адносяцца як да інжынерыі, так і да матэматычных навук і г. д. У літаратуры было прапанавана шмат розных азначэнняў матэматыкі.
Слова «матэматыка» пайшло ад стар.-грэч.: μάθημα, што азначае вывучэнне, веды, навука, і стар.-грэч.: μαθηματικός, якое першапачаткова азначала ўспрыімлівы, паспяваючы[4], пазней звязаны з вывучэннем, пасля звязаны з матэматыкай. Між іншым, μαθηματικὴ τέχνη, на латыні ars mathematica, азначае мастацтва матэматыкі. Тэрмін стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά у сучасным значэнні «матэматыка» сустракаецца ўжо ў працах Арыстоцеля (IV ст. да н. э.).
У беларускую мову слова прыйшло праз лацінскую (лац.: mathematica) і старапольскую (польск.: matematyka)[5]. У помніках на старабеларускай мове слова «математикъ», ці «математыкъ» сустракаецца ўжо ў канцы XVI — першай палавіне XVII ст.[6]
Падобным шляхам слова «матэматыка» трапіла і ў рускую мову[7]. У тэкстах на рускай мове слова «математика», ці «маѳематика» сустракаецца прынамсі з XVII стагоддзя, напрыклад, у Мікалая Спафарыя ў «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)[8].
Адно з першых азначэнняў прадмета матэматыкі даў Дэкарт[9]:
К вобласці матэматыкі адносяцца толькі тыя навукі, у якіх разглядаецца альбо парадак, альбо мера, і зусім не істотна, ці будуць гэта лікі, фігуры, зоркі, гукі ці нешта іншае, у чым адшукваецца гэтая мера. Такім чынам, павінна існаваць нейкая агульная навука, якая тлумачыць усё што адносіцца да парадку і меры, не ўваходзячы ў даследаванне ніякіх асобных прадметаў, і гэтая навука павінна называцца не замежным, але старым, ужывальным імем Усеагульнай матэматыкі.
У савецкі час класічным лічылася азначэнне з ВСЭ[10], дадзенае А. М. Калмагоравым:
Матэматыка… навука аб колькасных адносінах і прасторавых формах сапраўднага свету.
Гэта азначэнне Энгельса[11]; праўда, далей Калмагораў тлумачыць, што ўсе выкарыстаныя тэрміны трэба разумець у самым шырокім і абстрактным сэнсе.
Сутнасць матэматыкі… ўяўляецца цяпер як вучэнне аб адносінах паміж аб’ектамі, аб якіх нічога не вядома, акрамя якія апісваюць іх некаторых уласцівасцей, — іменна тых, якія ў якасці аксіём пакладзены ў падмурак тэорыі… Матэматыка ёсць набор абстрактных форм — матэматычных структур.
Герман Вейль песімістычна ацаніў магчымасць даць агульнапрынятае азначэнне прадмета матэматыкі:
Пытанне аб асновах матэматыкі і аб тым, што ўяўляе сабой у канчатковым выніку матэматыка, застаецца адкрытым. Мы не ведаем нейкага напрамку, які дазволіць, у рэшце рэшт, знайсці канчатковы адказ на гэтае пытанне, і ці можна наогул чакаць, што падобны «канчатковы» адказ будзе калі-небудзь атрыманы і прызнаны ўсімі матэматыкамі.
«Матэматызаванне» можа застацца адным з праяўленняў творчай дзейнасці чалавека, падобна музіцыраванню або літаратурнай творчасці, яркім і самабытным, але прагназаванне яго гістарычнага лёсу не паддаецца рацыяналізацыі і не можа быць аб’ектыўным[13].
Асноўны артыкул: Гісторыя матэматыкі Паводле акадэміка А. М. Калмагорова гісторыя матэматыкі дзеліцца на наступныя перыяды:
Развіццё матэматыкі пачалося разам з тым, як чалавек стаў выкарыстоўваць абстракцыі колькі-небудзь высокага ўзроўню. Простая абстракцыя — лікі; асэнсаванне таго, што два яблыкі і два апельсіны, нягледзячы на ўсе іх адрозненні, маюць нешта агульнае, а іменна займаюць абедзве рукі аднаго чалавека, — якаснае дасягненне мыслення чалавека. Акрамя таго, што старажытныя людзі даведаліся, як лічыць канкрэтныя аб’екты, яны таксама зразумелі, як вылічаць і абстрактныя колькасці, такія, як час: дні, поры года, гады. З элементарнага лічэння натуральным чынам пачала развівацца арыфметыка: складанне, адніманне, множанне і дзяленне лікаў.
Развіццё матэматыкі абапіраецца на пісьменнасць і ўменне запісваць лікі. Напэўна, старажытныя людзі спачатку запісвалі колькасць шляхам малявання рысачак на зямлі ці выдрапвалі іх на драўніне. Старажытныя інкі, не маючы іншай сістэмы пісьменнасці, прадстаўлялі і захоўвалі лікавыя дадзеныя, выкарыстоўваючы складаную сістэму вяровачных вузлоў, так званыя кіпу. Існавала мноства розных сістэм злічэння. Першыя вядомыя запісы лікаў былі знойдзены ў папірусе Ахмеса, створаным егіпцянамі Сярэдняга царства. Індская цывілізацыя распрацавала сучасную дзесятковую сістэму злічэння, якая ўключае паняцце нуля.
Гістарычна асноўныя матэматычныя дысцыпліны з’явіліся з-за неабходнасці весці разлікі ў камерцыйнай сферы, пры вымярэнні зямель і для прадказання астранамічных з’яў і, пазней, для рашэння новых фізічных задач. Кожная з гэтых абласцей адыграла вялікую ролю ў шырокім развіцці матэматыкі, якое заключаецца ў вывучэнні структур, прастор і змен.
Асноўны артыкул: Раздзелы матэматыкі
і вышэйшую матэматыку, вывучаную на нематэматычных спецыяльнасцях ВНУ. Дысцыпліны, што ўваходзяць у склад вышэйшай матэматыкі, вар’іруюцца ў залежнасці ад спецыяльнасці.
Асноўны артыкул: Філасофія матэматыкі
Матэматыка вывучае ўяўныя, ідэальныя аб’екты і суадносіны паміж імі, выкарыстоўваючы фармальную мову. У агульным выпадку матэматычныя паняцці і тэарэмы не абавязкова маюць адпаведнасць чаму-небудзь у фізічным свеце. Галоўнае заданне ўжытковага раздзела матэматыкі — стварыць матэматычную мадэль, досыць адэкватную доследнаму рэальнаму аб’екту. Заданне матэматыка-тэарэтыка — забяспечыць дастатковы набор зручных сродкаў для дасягнення гэтай мэты.
Утрыманне матэматыкі можна вызначыць як сістэму матэматычных мадэляў і прылад для іх стварэння. Мадэль аб’екта ўлічвае не ўсе яго рысы, а толькі самыя патрэбныя для мэт вывучэння (ідэалізаваныя). Прыкладам, вывучаючы фізічныя ўласцівасці апельсіна, мы можам абстрагавацца ад яго колеру і густу і ўявіць яго (хай не ідэальна дакладнае) шарам. Калі ж нам трэба зразумець, колькі апельсінаў атрымаецца, калі мы складзём разам два і тры, — то можна абстрагавацца і ад формы, пакінуўшы ля мадэлі толькі адну характарыстыку — колькасць. Абстракцыя і ўсталяванне сувязяў паміж аб’ектамі ў самым агульным выглядзе — адзін з галоўных кірункаў матэматычнай творчасці.
Іншы кірунак, разам з абстрагаваннем — абагульненне. Прыкладам, абагульняючы паняцце «прастора» да прасторы n-вымярэнняў. «*Прастора
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, пры
n
3
{\displaystyle n>3}
з’яўляецца матэматычнай выдумкай. Зрэшты, вельмі геніяльнай выдумкай, якая дапамагае матэматычна разбірацца ў складаных з’явах*»[14].
Вывучэнне ўнутрыматэматычных аб’ектаў, зазвычай, адбываецца пры дапамозе аксіяматычнага метаду: спачатку для доследных аб’ектаў фармулююцца спіс асноўных паняткаў і аксіём, а потым з аксіём з дапамогай правіл высновы атрымваюць змястоўныя тэарэмы, у сукупнасці ўтваральныя матэматычную мадэль.
Пытанне існасці і падстаў матэматыкі абмяркоўвалася з часоў Платона. Пачынаючы з XX стагоддзя назіраецца параўнальная згода ў пытанні, што належыць лічыць строгім матэматычным довадам, аднак адсутнічае згода ў разуменні таго, што ў матэматыцы лічыць спрадвечна праўдзівым. Адсюль выцякаюць нязгоды як у пытаннях аксіёматыкі і ўзаемасувязі галін матэматыкі, гэтак і ў выбары лагічных сістэм, якімі варта пры довадах карыстацца.
Апроч скептычнага, вядомыя ніжэйпералічаныя падыходы да дадзенага пытання.
Асноўны артыкул: Тэорыя мностваў Прапануецца разглядаць усе матэматычныя аб’екты ў рамках тэорыі мностваў, найчасцей з аксіяматыкай Цэрмела — Фрэнкеля (хоць існуе мноства іншых, раўназначных ёй). Дадзены падыход лічыцца з сярэдзіны XX стагоддзя пераважным, аднак у рэчаіснасці большасць матэматычных прац не ставяць заданняў перавесці свае цверджанні строга на мову тэорыі мностваў, а аперуюць паняццямі і фактамі, усталяванымі ў некаторых абласцях матэматыкі. Такім чынам, калі ў тэорыі мностваў будзе выяўлена супярэчнасць, гэта не пацягне за сабой зняцэньванне большасці вынікаў.
Асноўны артыкул: Лагіцызм Дадзены падыход мяркуе строгую тыпізацыю матэматычных аб’ектаў. Многія парадоксы, уніканыя ў тэорыі мностваў толькі шляхам адмысловых хітрыкаў, аказваюцца немагчымымі ў прынцыпе.
Асноўны артыкул: Фармалізм (матэматыка) Дадзены падыход мяркуе вывучэнне фармальных сістэм на глебе класічнай логікі.
Асноўны артыкул: Інтуіцыянізм Інтуіцыянізм мяркуе ў падставе матэматыкі інтуіцыйную логіку, больш абмежаваную ў сродках доваду (але, як лічыцца, і больш надзейную). Інтуіцыянізм адпрэчвае довад ад адваротнага, многія неканструктыўныя довады робяцца немагчымымі, а многія праблемы тэорыі мностваў — бессэнсоўнымі (нефармалізоўнымі).
Асноўны артыкул: Канструктыўная матэматыка Канструктыўная матэматыка — блізкая да інтуіцыянізму плынь у матэматыцы, што вывучае канструктыўныя пабудовы. Паводле крытэрыя канструктыўнасці — «існаваць — значыць быць пабудаваным»[15]. Крытэрый канструктыўнасці — мацнейшая вымога, чым крытэрый несупярэчнасці[16].
Паняцце «лік» спачатку ставілася да натуральных лікаў. Надалей яно было паступова пашырана на цэлыя, рацыянальныя, рэчаісныя, комплексныя і іншыя лікі.
| |||||||||||||||
Камплексныя лікі | Кватэрніёны |
Лікі — Натуральныя лікі — Цэлыя лікі — Рацыянальныя лікі — Ірацыянальныя лікі — Алгебраічныя лікі — Трансцэндэнтныя лікі — Рэчаісныя лікі — Камплексныя лікі — Гіперкамплексныя лікі — Кватэрніёны — Актаніёны — Седэніёны — Гіперрэальныя лікі — Сюррэальныя лікі — p-адычныя лікі — Матэматычныя сталыя — Назвы лікаў — Бясконцасць — Базы
Арыфметыка | Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне | Вектарны аналіз | Аналіз |
Дыферэнцыяльныя ўраўненні | Дынамічныя сістэмы | Тэорыя хаосу |
Арыфметыка — Вектарны аналіз — Аналіз — Тэорыя меры — Дыферэнцыяльныя ўраўненні — Дынамічныя сістэмы — Тэорыя хаосу
Тэорыя мностваў — Лінейная алгебра — Агульная алгебра (улучае, у прыватнасці, тэорыю груп, універсальную алгебру, тэорыю катэгорый) — Алгебраічная геаметрыя — Тэорыя лікаў — Тапалогія.
Геаметрыя | Трыганаметрыя | Дыферэнцыяльная геаметрыя | Тапалогія | Фракталы | Тэорыя меры |
Геаметрыя — Трыганаметрыя — Алгебраічная геаметрыя — Тапалогія — Дыферэнцыяльная геаметрыя — Алгебраічная тапалогія — Лінейная алгебра — Фракталы — Тэорыя меры.
Дыскрэтная матэматыка улучае сродкі даследавання аб’ектаў, здольных прымаць толькі асобныя (дыскрэтныя) значэнні (то бок аб’ектаў, не здольных змяняцца плыўна).[17]
Матэматычная логіка | Тэорыя вылічальнасці | Крыптаграфія | Тэорыя графаў |
Камбінаторыка — Тэорыя мностваў — Тэорыя рашотак — Матэматычная логіка — Тэорыя вылічальнасці— Крыптаграфія — Тэорыя функцыянальных сістэм — Тэорыя графаў — Тэорыя алгарытмаў — Лагічныя злічэнні — Інфарматыка.
Існуе вялікі лік сайтаў, што падаюць сервіс для матэматычных разлікаў. Большасць з іх англамоўныя.
Матэматычнае праграмнае забеспячэнне шматсценнае:
Кнігі
Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.
Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. — 295 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 432 с.
Том II. Геометрия Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 416 с.
Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.
Матэматыка на Вікісховішчы |