wd wp Пошук: ⬜

Трыганаметрыя

Трыганаметрыя (ад грэч.: τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч.: μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя

Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж’етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя функцыі

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень

l

{\displaystyle l}

з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла

α

{\displaystyle \alpha }

ад дадатнага праменя восі

O x

{\displaystyle Ox}

супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння

l

{\displaystyle l}

з адзінкавай акружнасцю будзе

M

{\displaystyle M}

. Тады па азначэнню:

• функцыя косінус

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \cos(\alpha )}

будзе абсцысай

M

{\displaystyle M}

,

• функцыя сінус

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha )}

будзе ардынатай

M

{\displaystyle M}

• функцыя тангенс

tg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}

будзе дзеллю ардынаты

M

{\displaystyle M}

і яе абсцысы:

tg ⁡ ( α )

sin ⁡ ( α )

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}

• функцыя катангенс

ctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}

будзе дзеллю абсцысы

M

{\displaystyle M}

і яе ардынаты:

ctg ⁡ ( α )

cos ⁡ ( α )

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}

• функцыя секанс

sec ⁡ ( α )

{\displaystyle \sec(\alpha )}

будзе дзеллю

1

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle {\frac {1}{\sin(\alpha )}}}

• функцыя касеканс

cosec ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {cosec} (\alpha )}

будзе дзеллю

1

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle {\frac {1}{\cos(\alpha )}}}

Функцыі

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha )}

і

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \cos(\alpha )}

вызначаныя на ўсём

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд

2 π

{\displaystyle 2\pi }

. Функцыя

tg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}

не вызначана ў пунктах

π n

{\displaystyle \pi n}

,

n ∈

Z

{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }

, а функцыя

ctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}

не вызначана ў пунктах

π n + π

/

2

{\displaystyle \pi n+\pi /2}

,

n ∈

Z

{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }

, і абедзве маюць вобласць значэнняў

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

і перыяд

π

{\displaystyle \pi }

.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, адваротная да

• sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha )}

называецца арксінус

arcsin ⁡ ( α )

{\displaystyle \arcsin(\alpha )}

• cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \cos(\alpha )}

называецца арккосінус

arccos ⁡ ( α )

{\displaystyle \arccos(\alpha )}

• tg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}

называецца арктангенс

arctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {arctg} (\alpha )}

• ctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}

называецца арккатангенс

arcctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {arcctg} (\alpha )}

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць

sin

2

⁡ ( α ) +

cos

2

⁡ ( α )

1

{\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}

.

Формула косінуса сумы:

cos ⁡ ( α + β )

cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) − sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( β )

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}

Формула косінуса рознасці:

cos ⁡ ( α − β )

cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) + sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( β )

{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}

Формула сінуса сумы:

sin ⁡ ( α + β )

sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) + sin ⁡ ( β ) cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )}

Формула сінуса рознасці:

sin ⁡ ( α − β )

sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) − sin ⁡ ( β ) cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )}

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

Раскладзём функцыі

sin ⁡ ( x )

{\displaystyle \sin(x)}

і

cos ⁡ ( x )

{\displaystyle \cos(x)}

ў рад Тэйлара:

sin ⁡ ( x )

x −

x

3

3 !

x

5

5 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

x

2 k − 1

( 2 k − 1 ) !

… ,

{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}

cos ⁡ ( x )

1 −

x

2

2 !

x

4

4 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

x

2 k

( 2 k ) !

…

{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots }

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

z

{\displaystyle z}

:

sin ⁡ ( z )

z −

z

3

3 !

z

5

5 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

z

2 k − 1

( 2 k − 1 ) !

… ,

{\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}

cos ⁡ ( z )

1 −

z

2

2 !

z

4

4 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

z

2 k

( 2 k ) !

… .

{\displaystyle \cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .}

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

.

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў

Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

$\{\displaystyle \alpha \,\!\}$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\{\displaystyle \sin \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{2\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \cos \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{2\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$
$\{\displaystyle \sec \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{2\{\sqrt \{3\}\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{2\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{cosec\} \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{2\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{2\{\sqrt \{3\}\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$

Ужыванне

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама

• Сферычная трыганаметрыя
• Эліптычная трыганаметрыя
• Гіпербалічная трыганаметрыя

Літаратура

• Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
• Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
• И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Істотныя артыкулы
Катэгорыя·Трыганаметрыя