Алгебраі́чны лік над полем
k
{\displaystyle k}
— элемент алгебраічнага замыкання поля
k
{\displaystyle k}
, г. зн. корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю) з каэфіцыентамі з
k
{\displaystyle k}
.
Калі поле не пазначана, то маецца на ўвазе поле рацыянальных лікаў, г. зн.
Q
{\displaystyle k=\mathbb {Q} }
, у гэтым выпадку поле алгебраічных лікаў звычайна абазначаецца
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
. Поле
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
з’яўляецца падполем поля камплексных лікаў.
Гэта артыкул прысвечан іменна гэтым «рацыянальным алгебраічным лікам».
α
{\displaystyle \alpha }
— алгебраічны лік, то сярод усіх мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якіх
α
{\displaystyle \alpha }
з’яўляецца коранем, існуе адзіны мнагачлен найменшае ступені са старшым каэфіцыентам, роўным
1
{\displaystyle 1}
. Такі мнагачлен аўтаматычна з’яўляецца непрыводным, ён называецца кананічным, ці мінімальным, мнагачленам алгебраічнага ліку
α
{\displaystyle \alpha }
. (Іншы раз кананічным называюць мнагачлен, які атрымліваецца з мінімальнага дамнажэннем на найменшае агульнае кратнае назоўнікаў яго каэфіцыентаў, г. зн. мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі) + Ступень кананічнага мнагачлена
α
\{\displaystyle \alpha \}
![\{\displaystyle \alpha \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) называецца **ступенню** алгебраічнага ліку
α
\{\displaystyle \alpha \}
![\{\displaystyle \alpha \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3).
+ Іншыя карані кананічнага мнагачлена
α
\{\displaystyle \alpha \}
![\{\displaystyle \alpha \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) называюцца **спалучанымі** з
α
\{\displaystyle \alpha \}
![\{\displaystyle \alpha \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3).
+ **Вышынёю** алгебраічнага ліку
α
\{\displaystyle \alpha \}
![\{\displaystyle \alpha \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) называецца найбольшая з абсолютных велічынь каэфіцыентаў у непрыводным і [нескарачальным мнагачлене](/Нескарачальны_мнагачлен "Нескарачальны мнагачлен") з цэлымі каэфіцыентамі, для якога
α
\{\displaystyle \alpha \}
![\{\displaystyle \alpha \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) з'яўляецца коранем.
i
{\displaystyle i}
і
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі 2-й ступені. Спалучанымі да іх з’яўляюцца адпаведна
− i
{\displaystyle -i}
і
−
2
{\displaystyle -{\sqrt {2}}}
.
n
{\displaystyle n}
лік
2
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{2}}}
з’яўляецца алгебраічным ступені
n
{\displaystyle n}
.
α
{\displaystyle \alpha }
існуе такое натуральнае
N
{\displaystyle N}
, што
N α
{\displaystyle N\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
ступені
n
{\displaystyle n}
мае
n
{\displaystyle n}
розных спалучаных лікаў (уключаючы сябе).
{\displaystyle \alpha }
і
β
{\displaystyle \beta }
спалучаныя тады і толькі тады, калі існуе аўтамарфізм поля
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
, які пераводзіць
α
{\displaystyle \alpha }
ў
β
{\displaystyle \beta }
.
Упершыню алгебраічныя палі стаў разглядаць Гаус. Пры абгрунтаванні тэорыі біквадратычных вылікаў ён развіў арыфметыку цэлых гаусавых лікаў, г. зн. лікаў віду
a + b i
{\displaystyle a+bi}
, дзе
a
{\displaystyle a}
і
b
{\displaystyle b}
— цэлыя лікі. Далей, вывучаючы тэорыю кубічных вылікаў, Якобі і Эйзенштэйн стварылі арыфметыку лікаў віду
a + b ρ
{\displaystyle a+b\rho }
, дзе
( − 1 + i
3
)
/
2
{\displaystyle \rho =(-1+i{\sqrt {3}})/2}
— кубічны корань з адзінкі, а
a
{\displaystyle a}
і
b
{\displaystyle b}
— цэлыя лікі. У 1844 годзе Ліувіль даказаў тэарэму аб немагчымасці надта добрага прыбліжэння каранёў мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі рацыянальнымі дробамі, і, як вынік, увёў фармальныя паняцці алгебраічных і трансцэндэнтных (г. зн. усіх астатніх рэчаісных) лікаў. Спробы даказаць вялікую тэарэму Ферма прывялі Кумера да вывучэння палёў дзялення круга, увядзення паняцця ідэала і стварэння элементаў тэорыі алгебраічных лікаў. У працах Дзірыхле, Кронекера, Гільберта і іншых тэорыя алгебраічных лікаў атрымала сваё далейшае развіццё. Вялікі ўклад у яе ўнеслі рускія матэматыкі Залатароў (тэорыя ідэалаў), Вараны (кубічныя ірацыянальнасці, адзінкі кубічных палёў), Маркаў (кубічнае поле), Сахоцкі (тэорыя ідэалаў) і іншыя.