wd wp Пошук: ⬜

P-адычны лік

p-адычны лік[1] (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.

p-адычныя лікі ўвёў Курт Хензэль [de] у 1897 годзе[2].

Поле p-адычных лікаў звычайна абазначаецца

{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ ці

{\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbf \{Q\} _\{p\}\}$ .

Алгебраічная пабудова

Цэлыя p-адычныя лікі

Стандартнае азначэнне

Няхай p — некаторы просты лік. Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць

x

{

, … }

{\displaystyle x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}}

$\{\displaystyle x=\\{x_\{1\},x_\{2\},\ldots \\}\}$ цэлых лікаў

{\displaystyle x_{n}}

$\{\displaystyle x_\{n\}\}$ , якія задавальняюць умову:

≡

n + 1

( mod

)

{\displaystyle x_{n}\equiv x_{n+1}{\pmod {p^{n}}}.}

$\{\displaystyle x_\{n\}\equiv x_\{n+1\}\{\pmod \{p^\{n\}\}\}.\}$ Дзве паслядоўнасці

{\displaystyle {x_{n}}}

$\{\displaystyle \{x_\{n\}\}\}$ і

{\displaystyle {y_{n}}}

$\{\displaystyle \{y_\{n\}\}\}$ вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі

≡

( mod

)

{\displaystyle x_{n}\equiv y_{n}{\pmod {p^{n}}}}

$\{\displaystyle x_\{n\}\equiv y_\{n\}\{\pmod \{p^\{n\}\}\}\}$ для ўсіх n ≥ 1.

Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

Азначэнне праз праектыўны ліміт

У тэрмінах праектыўных лімітаў [ru] кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт

lim

←

{\displaystyle \lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \lim _\{\leftarrow \}\mathbb \{Z\} /\{p^\{n\}\}\mathbb \{Z\} \}$ кольцаў

{\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} /\{p^\{n\}\}\mathbb \{Z\} \}$ вылікаў па модулю

{\displaystyle p^{n}}

$\{\displaystyle p^\{n\}\}$ адносна натуральных праекцый

n + 1

→

{\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} /\{p^\{n+1\}\}\mathbb \{Z\} \to \mathbb \{Z\} /\{p^\{n\}\}\mathbb \{Z\} \}$ .

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ , але і любога састаўнога ліку

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ — атрымаецца т. зв. кальцо

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ -адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

Уласцівасці

Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ . Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ відавочным чынам:

x

{ x , x , … }

{\displaystyle x=\{x,x,\ldots \}}

$\{\displaystyle x=\\{x,x,\ldots \\}\}$ і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік

mod

{\displaystyle a_{n}=x_{n},{\bmod {,}}{p^{n}}}

$\{\displaystyle a_\{n\}=x_\{n\}\,\{\bmod \{\,\}\}\{p^\{n\}\}\}$ (такім чынам,

0 ≤

{\displaystyle 0\leq a_{n}<p^{n}}

$\{\displaystyle 0\leq a_\{n\}<p^\{n\}\}$ ), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе

x

{

, … }

{\displaystyle x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}}

$\{\displaystyle x=\\{a_\{1\},a_\{2\},\ldots \\}\}$ адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.

Запісваючы кожнае an у p-ічнай сістэме злічэння

n − 1

…

{\displaystyle a_{n}=b_{n-1}\ldots b_{1}b_{0}}

$\{\displaystyle a_\{n\}=b_\{n-1\}\ldots b_\{1\}b_\{0\}\}$ і, улічваючы, што

≡

n + 1

( mod

)

{\displaystyle a_{n}\equiv a_{n+1}!!{\pmod {p^{n}}},}

$\{\displaystyle a_\{n\}\equiv a_\{n+1\}\!\!\{\pmod \{p^\{n\}\}\},\}$ мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як

x

{

, … }

{\displaystyle x=\{b_{0},b_{1}b_{0},b_{2}b_{1}b_{0},\ldots \}}

$\{\displaystyle x=\\{b_\{0\},b_\{1\}b_\{0\},b_\{2\}b_\{1\}b_\{0\},\ldots \\}\}$ ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння

x

{ …

…

} .

{\displaystyle x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{1}b_{0}\}.}

$\{\displaystyle x=\\{\ldots b_\{k\}\ldots b_\{1\}b_\{0\}\\}.\}$ Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

p-адычныя лікі

Азначэнне як поля дзелей

p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей

{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ кальца

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ цэлых p-адычных лікаў. Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.

Уласцівасці

Поле p-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы p-адычны лік, някратны p, будзе абарачальным у колцы

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ , а кратнае p адназначна запісваецца ў выглядзе

{\displaystyle xp^{n}}

$\{\displaystyle xp^\{n\}\}$ , дзе лік x не дзеліцца на p і таму абарачальны, а n > 0.

Таму любы ненулявы элемент поля

{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ можна запісаць у выглядзе

{\displaystyle xp^{n}}

$\{\displaystyle xp^\{n\}\}$ , дзе x не кратнае p, а n любое.

Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці

x

{ …

…

− 1

…

− n

} ,

{\displaystyle x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1}b_{0},b_{-1}\ldots b_{-n}\},}

$\{\displaystyle x=\\{\ldots b_\{k\}\ldots b_\{2\}b_\{1\}b_\{0\},b_\{-1\}\ldots b_\{-n\}\\},\}$ г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

Метрычная пабудова

Любы ненулявы рацыянальны лік x можна запісаць як

r

a b

{\displaystyle r=p^{n},{\frac {a}{b}},}

$\{\displaystyle r=p^\{n\}\,\{\frac \{a\}\{b\}\},\}$ дзе a і b — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на p, а n — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады p-адычная норма ліку x вызначаецца як

− n

{\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}.}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}=p^\{-n\}.\}$ Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:

= 0.

{\displaystyle |0|_{p}=0.}

$\{\displaystyle |0|_\{p\}=0.\}$ Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю

{\displaystyle d_{p}}

$\{\displaystyle d_\{p\}\}$ , вызначанаю p-адычнай нормай:

( x , y )

x − y

{\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}

$\{\displaystyle d_\{p\}(x,y)=|x-y|_\{p\}.\}$ Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма

{\displaystyle |r|_{p}}

$\{\displaystyle |r|_\{p\}\}$ працягваецца па непарыўнасці да нормы на

{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ .

Уласцівасці

Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада

x

∑

i

∞

{\displaystyle x=\sum _{i=n_{0}}^{\infty }a_{i}p^{i}}

$\{\displaystyle x=\sum \{i=n\{0\}\}^\{\infty \}a_\{i\}p^\{i\}\}$ дзе

{\displaystyle n_{0}}

$\{\displaystyle n_\{0\}\}$ — некаторы цэлы лік, а

{\displaystyle a_{i}}

$\{\displaystyle a_\{i\}\}$ — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым

p − 1

{\displaystyle p-1}

$\{\displaystyle p-1\}$ . А іменна, у якасці

{\displaystyle a_{i}}

$\{\displaystyle a_\{i\}\}$ тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы

{\displaystyle d_{p}}

$\{\displaystyle d_\{p\}\}$ да самога

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ .

p-адычная норма

{\displaystyle |x|_{p}}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}\}$ задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка

x − z

≤ max {

x − y

y − z

} .

{\displaystyle |x-z|_{p}\leq \max\{|x-y|_{p},|y-z|_{p}\}.}

$\{\displaystyle |x-z|\{p\}\leq \max\\{|x-y|\{p\},|y-z|_\{p\}\\}.\}$

Лікі

x ∈

{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle x\in \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ з умоваю

≤ 1

{\displaystyle |x|_{p}\leq 1}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}\leq 1\}$ утвараюць кальцо

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ цэлых p-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў

⊂

{\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \subset \mathbb \{Q\} \}$ у норме

{\displaystyle |x|_{p}}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}\}$ .

Лікі

x ∈

{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle x\in \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ з умоваю

= 1

{\displaystyle |x|_{p}=1}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}=1\}$ утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца p-адычнымі адзінкамі.

Сукупнасць лікаў

x ∈

{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle x\in \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ з умоваю

< 1

{\displaystyle |x|_{p}<1}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}<1\}$ з’яўляецца галоўным ідэалам у

{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{p\}\}$ з утваральным элементам p.

Метрычная прастора

(

)

{\displaystyle (\mathbb {Z} _{p},d_{p})}

$\{\displaystyle (\mathbb \{Z\} \{p\},d\{p\})\}$ гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора

(

)

{\displaystyle (\mathbb {Q} _{p},d_{p})}

$\{\displaystyle (\mathbb \{Q\} \{p\},d\{p\})\}$ гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.

Для розных p нормы

{\displaystyle |x|_{p}}

$\{\displaystyle |x|_\{p\}\}$ незалежныя, а палі

{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ неізаморфныя.

Для любых элементаў

∞

{\displaystyle r_{\infty }}

$\{\displaystyle r_\{\infty \}\}$ ,

{\displaystyle r_{2}}

$\{\displaystyle r_\{2\}\}$ ,

{\displaystyle r_{3}}

$\{\displaystyle r_\{3\}\}$ ,

{\displaystyle r_{5}}

$\{\displaystyle r_\{5\}\}$ ,

{\displaystyle r_{7}}

$\{\displaystyle r_\{7\}\}$ , … такіх, што

∞

∈

{\displaystyle r_{\infty }\in \mathbb {R} }

$\{\displaystyle r_\{\infty \}\in \mathbb \{R\} \}$ і

∈

{\displaystyle r_{p}\in \mathbb {Q} _{p}}

$\{\displaystyle r_\{p\}\in \mathbb \{Q\} _\{p\}\}$ , можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў

{\displaystyle x_{n}}

$\{\displaystyle x_\{n\}\}$ такіх, што для любога p

−

→ 0

{\displaystyle |x_{i}-r_{p}|_{p}\to 0}

$\{\displaystyle |x_\{i\}-r_\{p\}|_\{p\}\to 0\}$ і

−

∞

→ 0

{\displaystyle |x_{i}-r_{\infty }|\to 0}

$\{\displaystyle |x_\{i\}-r_\{\infty \}|\to 0\}$ .

Выкарыстанне

Калі

F (

, … ,

)

{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}

$\{\displaystyle F(x_\{1\},x_\{2\},\ldots ,x_\{n\})\}$ — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання

F (

, ⋯ ,

) ≡ 0

( mod

)

{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}

$\{\displaystyle F(x_\{1\},x_\{2\},\cdots ,x_\{n\})\equiv 0\{\pmod \{p^\{k\}\}\}\}$ раўназначная вырашальнасці ўраўнення

F (

, ⋯ ,

)

{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0}

$\{\displaystyle F(x_\{1\},x_\{2\},\cdots ,x_\{n\})=0\}$ у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю. На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з лемаю Хензеля [en], пры

n

{\displaystyle n=1}

$\{\displaystyle n=1\}$ дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры

n

{\displaystyle n=1}

$\{\displaystyle n=1\}$ для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры

k

{\displaystyle k=1}

$\{\displaystyle k=1\}$ . Зноскі

↑ чытаецца: пэ-адычны; адпаведна: два-адычны, тры-адычны і г.д.
↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88.(ням.)

Літаратура

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
Robert, Alain M. (2000). A Course in p*-adic Analysis*. Springer. ISBN 0-387-98669-3.

Спасылкі

Weisstein, Eric W. p-adic Number(англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
p-adic integers(англ.) на сайце PlanetMath.
p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-adic arithmetic (slides)

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Тэорыя лікаў
Катэгорыя·Лікі