wd wp Пошук:
    ⬜

    Лінейная алгебра

    Трохмерная еўклідавая прастора R³ з'яўляецца вектарнай прасторай, а простыя і плоскасці, што праходзяць праз пачатак каардынат, з'яўляюцца вектарнымі падпрасторамі R³. Калі выразіць гэту сістэму ў лінейнай сістэме ўраўненняў, то пункт перасячэння будзе рашэннем гэтага ўраўнення.

    Лінейная алгебра — раздзел алгебры, які вывучае аб’екты лінейнай прыроды: вектары, вектарныя, або лінейныя прасторы, лінейныя адлюстраванні і сістэмы лінейных ураўненняў, сярод асноўных інструментаў, якія выкарыстоўваюцца ў лінейнай алгебры — вызначальнікі, матрыцы, спалучэнне. Тэорыя інварыянтаў і тэнзарныя вылічэнні звычайна таксама лічацца часткамі лінейнай алгебры.

    Вектарныя прасторы сустракаюцца ў матэматыцы і яе прыкладаннях паўсюдна. Лінейная алгебра шырока выкарыстоўваецца ў абстрактнай алгебры і функцыянальным аналізе, шырока прымяняецца ў прыродазнаўчых навуках.

    Гісторыя

    Першыя элементы лінейнай алгебры вынікалі з практычных вылічальных задач вакол рашэння лінейных ураўненняў, у прыватнасці, такія арыфметычныя прыёмы, як трайное правіла[en] і правіла ілжывага палажэння[en] былі сфармуліраваны яшчэ ў старажытнасці. У «Пачатках» Еўкліда фігуруюць дзве тэорыі «лінейнага» характару: тэорыя велічыні і тэорыя цэлых лікаў. Блізкія да сучасных матрычных метадаў падыходы да рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў ёсць у вавілонян (сістэмы з двух ураўненняў з дзвюма пераменнымі) і старажытных кітайцаў (у «Матэматыка ў дзевяці кнігах», да трох ураўненняў з трыма пераменнымі)[1]. Аднак пасля дасягнення нявызначанасці з асноўнымі пытаннямі знаходжання рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў развіццё раздзела практычна не адбывалася, і нават у канцы XVIII — пачатку XIX ст. лічылася, што праблем адносна ўраўненняў першай ступені больш не існуе, прытым сістэмы лінейных ураўненняў з лікам пераменных, якія адрозніваюцца ад колькасці ўраўненняў або з лінейна-залежнымі каэфіцыентамі ў левай часты проста лічыліся некарэктнымі[2].

    Метады, якія сфарміравалі лінейную алгебру як самастойную галіну матэматыкі, уваходзяць каранямі ў іншыя раздзелы. Ферма ў 1630-е гады, стварыў класіфікацыю плоскіх крывых, увёў у матэматыку (ключавы для лінейнай алгебры) прынцып памернасці і раздзяліў задачы аналітычнай геаметрыі паводле ліку невядомых (з адным невядомым — шуканне кропкі, з дзвюма — крывой або геаметрычнага месца на плоскасці, з трыма — паверхні). Эйлер стварыў класіфікацыю крывых паводле парадкаў, звярнуўшы ўвагу на лінейны характар пераўтварэнняў каардынатаў, увёў у зварот паняцце афіннага пераўтварэння (і само слова «афіннасць»)[3].

    Першае ўвядзенне паняцця вызначальнік для мэт рашэння сістэм лінейных ураўненняў адносяць да Лейбніца (1678[4] або 1693 год[5]), але гэтыя работы не былі апублікаваны. Таксама вызначальнік ёсць у працах Сэкі Такакадзу 1683 года, у якіх ён абагульніў метад рашэння сістэм лінейных ураўненняў з старажытнакітайскай «Матэматыкі ў дзевяці кнігах» да

    n

    {\displaystyle n}

    \{\displaystyle n\} ураўненняў з

    n

    {\displaystyle n}

    \{\displaystyle n\} невядомымі[6]. Маклорэн, фактычна выкарыстоўваючы найпрасцейшыя вызначальнікі ў трактаце, які выйшаў у 1748 годзе прыводзіць рашэнні сістэм з двух лінейных ураўненняў з дзвюма невядомымі і трох ураўненняў з трыма невядомымі[7]. Крамер і Безу ў працах па праблеме шукання плоскай крывой, якая праходзіць праз зададзеную кропку, зноў стварылі гэтае паняцце (правіла Крамера сфармуліраванае ў 1750 годзе), Вандэрмонд і Лагранж далі індуктыўнае азначэнне для выпадкаў

    n

    3

    {\displaystyle n>3}

    \{\displaystyle n>3\}[8], а цэласнае азначэнне і канечныя ўласцівасці вызначальнікаў далі Кашы (1815) і Якобі (1840-е гады)[2]. Гаўсу (каля 1800 года) належыць фармалізацыя метаду паслядоўнага выключэння пераменных для рашэння гэтых задач, які стаў вядомым пад яго імем[9] (хаця па сутнасці для рашэння сістэм лінейных ураўненняў менавіта гэты метад і выкарыстоўваўся са старажытнасці[3]).

    Гл. таксама

    Зноскі

    1. ↑ Клейнер, 2007, About 4000 years ago the Babylonians knew how to solve a system of two linear equations in two unknowns (a 2 × 2 system). In their famous Nine Chapters of the Mathematical Art the Chinese solved 3 × 3 systems by working solely with their (numerical) coefficients. These were prototypes of matrix methods, not unlike the “elimination methods” introduced by Gauss and others
    2. 1 2 Бурбаки, 1963, с. 74
    3. 1 2 Бурбаки, 1963, с. 75
    4. ↑ Прасолов, 1996, с. 9
    5. ↑ Клейнер, 2007, p. 80
    6. ↑ Прасолов, 1996, с. 10
    7. ↑ Клейнер, 2007, The first publication to contain some elementary information on determinants was Maclaurin’s Treatise of Algebra, in which they were used to solve 2 × 2 and 3 × 3 systems
    8. ↑ Даан-Дальмедико, 1986
    9. ↑ Клейнер, 2007, p. 79

    Літаратура

    Спасылкі

    Тэмы гэтай старонкі (3):
    Вікіпедыя:Істотныя артыкулы
    Лінейная алгебра
    Старонкі з нелікавымі аргументамі formatnum