wd wp Пошук:
    ⬜

    Фрактал

    Набор Мандэльброта
    Прагляд набору Мандэльброта у прыбліжэнні

    У матэматыцы фрактал (лат. fractus — дроблены, зламаны, разбіты) — гэта падмноства эўклідавай прасторы з фрактальнай памернасцю (у сэнсе Мінкоўскага або Хаўсдорфа), якая строга перавышае яе тапалагічную памернасць. Фракталы выглядаюць аднолькава ў розных маштабах, як паказана ў паслядоўных павелічэннях мноства Мандэльброта. [1] [2] [3] [4] Фракталы дэманструюць падобныя ўзоры ва ўсё меншых маштабах. Гэта ўласцівасць, званая самападабенствам, таксама вядомая як пашыраючаяся сіметрыя або сіметрыя разгортвання. Калі такое падабенства абсалютна аднолькавае ў кожным маштабе, як у губкі Менгера [5], яно называецца афінным самападабенствам. Фрактальная геаметрыя ляжыць у рамках матэматычнай галіны тэорыі меры.

    Адным са спосабаў адрознення фракталаў ад канчатковых геаметрычных фігур з’яўляецца іх маштабаванне. Падваенне даўжыні краю шматвугольніка памнажае яго плошчу на чатыры, што складае два (адносіны даўжыні новай да старой стараны) у ступені два (памернасць прасторы, у якой знаходзіцца шматкутнік). Калі радыус сферы павялічыцца ўдвая, яе аб’ём павялічыцца на восем, што роўна два (адносіны новага радыусу да старога) у ступені тры (вымярэнне, у якім знаходзіцца сфера). Аднак, калі ўсе аднамерныя даўжыні фрактала падвоіць, плошча або аб’ём фракталу павялічыцца на ступень, якая не абавязкова з’яўляецца цэлым лікам . [1] Гэтая ступень называецца фрактальнай памернасцю фрактала, і яна звычайна перавышае тапалагічную памернасць фрактала. [6]

    Аналітычна большасць фракталаў не дыферэнцыруюцца канечным лікам бакоў. [1] [4] Бясконцая фрактальная крывая можа ўяўляцца як лінія ў прасторы, што праходзіць інакш, чым прамая лінія — хоць яна па-ранейшаму з’яўляецца тапалагічна 1-мернай, яе фрактальная памернасць паказвае, што яна таксама нагадвае паверхню. [1] [6]

    Дыван Сярпінскага (да ўзроўню 6), фрактал з тапалагічным памерам 1 і памернасцю Хаўсдорфа 1,893

    Пачынаючы з 17-га стагоддзя з паняццямі рэкурсіі, фракталы прайшлі праз больш строгую матэматычную апрацоўку і вывучэнне бесперапынных, але не дыферэнцыруемых функцый у 19-м стагоддзі дзякуючы працам Бернарда Бальцана, Бернхарда Рымана і Карла Вейерштраса [7]. Слова «фрактал» ўвёў Бенуа Мандэльброт у 1975 годзе і выкарыстаў яго для пашырэння паняцця тэарэтычных дробавых памераў на геаметрычныя ўзоры ў прыродзе. Яно стала шырока вядома з выхадам у 1977 годзе яго кнігі «Фрактальная геаметрыя прыроды». З развіццём вылічальнай тэхнікі з’явілася магчымасць больш хуткага графічнага выяўлення фракталаў. [8] [9]

    Сярод матэматыкаў існуюць некаторыя рознагалоссі наконт таго, як павінна быць фармальна вызначана паняцце фрактала. Сам Мандэльброт рэзюмаваў гэта як «прыгожае, надзвычай цяжкае, усё больш карыснае. Гэта фракталы» [10] Больш фармальна, у 1982 годзе Мандэльброт вызначыў фрактал наступным чынам: “Фрактал — гэта мноства, для якога памернасць Хаўсдорфа-Бесіковіча строга перавышае тапалагічную памернасць “. [11] Пазней, лічачы гэта занадта абмежавальным, ён спрасціў і пашырыў вызначэнне да наступнага: «Фрактал — гэта форма, складзеная з частак, у нечым падобных да цэлага». [12] Яшчэ пазней Мандэльброт прапанаваў «выкарыстоўваць фрактал без педантычнага вызначэння, выкарыстоўваць фрактальную памернасць у якасці агульнага тэрміна, які ўжываецца да ўсіх варыянтаў». [13]

    Сярод матэматыкаў адзіны кансэнсус заключаецца ў тым, што тэарэтычныя фракталы — гэта бясконца самападобныя, паўтараючыяся і дэталёвыя матэматычныя структуры, якія маюць фрактальныя памеры, прыкладаў якіх было сфармулявана і вывучана шмат.

    Фракталам можа называцца прадмет, праяўляючы, па меньшай меры, адну з наступных уласцівасцяў:

    Прыклады аб’ектаў у прыродзе, што маюць уласцівасці фрактала: ўзбярэжжа, аблокі, кроны дрэў, сняжынкі, сістэма кровазвароту, альвеолы, і іншыя . Фракталы не абмяжоўваюцца геаметрычнымі ўзорамі, але таксама могуць апісваць працэсы ў часе. Фрактальныя ўзоры з рознай ступенню самападабенства былі апрацаваны або вывучаны ў візуальных, фізічных і слыхавых носьбітах і знойдзены ў тэхналогіях, мастацтве, архітэктуры [14] і праве. Фракталы маюць асаблівае значэнне ў галіне тэорыі хаосу, таму што графікі большасці хаатычных працэсаў з’яўляюцца фракталамі. Многія рэальныя і мадэльныя сеткі маюць фрактальныя асаблівасці, такія як самападабенства.

    Уводзіны

    Простае фрактальнае дрэва
    Фрактальнае «дрэва» пабудаванае да адзінаццаці ітэрацый

    Слова «фрактал» часта нясе розныя сэнсы для непрафесіяналаў і матэматыкаў. Грамадскасць звычайна больш знаёмая з фрактальным мастацтвам, чым з матэматычным паняццем. Для спрашчэння разумення мы будзем апісваць паняцце па яго ключавых рысах, не па яго навуковым вызначэнні.

    Так, рысу «самападабенства» лёгка зразумець па аналогіі з павелічэннем з дапамогай аб’ектыва або іншай прылады, якая павялічвае лічбавыя выявы, каб выявіць больш тонкія, раней нябачныя новыя прыкметы. Калі гэта робіцца на фракталах, новыя дэталі не з’яўляюцца; нічога не мяняецца, і амаль адна і тая ж карціна паўтараецца зноў. Самападабенства самое па сябе не абавязкова з’яўляецца супрацьінтуітыўным (так, людзі разважалі аб самападабенстве нефармальна, напрыклад, у бясконцым шэрагу адлюстраванняў у паралельных люстэрках, або ў Гамункуле, маленькім чалавеку ў галаве маленькага чалавека ў галаве. . .). Розніца для фракталаў заключаецца ў тым, што выяўлены ўзор павінен быць дэталізаваны. [1] [2] [15]

    Гэтая ідэя дэталізацыі звязана з іншай рысай, якую можна зразумець без спецыяльнай матэматычнай падрыхтоўкі. Фрактальная памернасць, большая за тапалагічную памернасць, значыць, што фрактал маштабуецца троху інакш чым звычайныя геаметрычныя фігуры. Прамая лінія, напрыклад, звычайна разумеецца як аднамерная; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожны памерам 1/3 даўжыні арыгінала, то заўсёды застаецца тры роўныя часткі. Суцэльны квадрат разумеецца як двухмерны; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожная паменшаная ў 1/3 у абодвух вымярэннях, у агульнай складанасці атрымаецца 3 ² = 9 частак.

    Мы бачым, што для звычайных самападобных аб’ектаў n-мернасць азначае, што, калі іх разбіваць на кавалкі, кожны з якіх памяншаецца на каэфіцыент 1/ r, у агульнай складанасці застаецца r n частак. Разгледзім крывую Коха . Яе можна разбіць на чатыры часткі, кожная у маштабе 1/3. Такім чынам, строга па аналогіі, мы можам разглядаць «памернасць» крывой Коха як сапраўдны лік D, які задавальняе 3 D = 4. Матэматыкі называюць гэты лік фрактальнай памернасцю крывой Коха. Вядома, гэта не тое, што звычайна ўспрымаецца як памернасць крывой (гэты лік нават не цэлы!). Так, крывая Коха мае фрактальную памернасць, якая адрозніваецца ад яе звычайна зразумелай памернасці (або яе тапалагічнай памернасці), і гэта вызначае яе як фрактал.

    Крывая Коха.
    3D фрактал, згенераваны кампутарам

    Гэта таксама прыводзіць да разумення трэцяй асаблівасці, што фракталы як матэматычныя ўраўненні «нідзе не дыферэнцыруюцца». У канкрэтным сэнсе гэта азначае, што традыцыйныя спосабы вымярэння не дастатковыя для фракталаў. [1] [4] Спрабуючы вылічыць даўжыню хвалістай нефрактальнай крывой, можна знайсці прамыя адрэзкі нейкага вымяральнага інструмента, дастаткова малыя, каб палажыць іх упрытык да хваляў. Кавалкі могуць быць дастаткова малымі, каб лічыцца шчыльна і дакладна дапасаванымі да хвалістай крывой падобна звычайнаму спосабу вымярэння рулеткай.

    Пры вымярэнні бясконца «хілістай» фрактальнай крывой, такой як сняжынка Коха, ніколі не знойдзецца досыць малы прамой адрэзак, каб адпавядаць крывой. Няроўны ўзор заўсёды будзе з’яўляцца зноўку, у заўгодна малых маштабах. Гэты ўзор кожны раз будзе цягнуць больш і больш рулеткі ў агульную даўжыню, калі вы паспрабуеце прыкласці рулетку ўсё шчыльней і шчыльней да крывой. У выніку спатрэбіцца бясконцая стужка, каб ідэальна пакрыць усю крывую, г.зн. сняжынка мае бясконцы перыметр. [1]

    Гісторыя

    Сняжынка Коха — гэта фрактал, які пачынаецца з роўнабаковага трохвугольніка, а затым замяняе сярэднюю траціну кожнага адрэзка прамой парай адрэзкаў, якія ўтвараюць роўнабаковы выступ
    Траічны набор Кантара.
    Мноства Джуліі, фрактал, звязаны з мноствам Мандэльброта
    Пракладку Серпінскага можна стварыць з дапамогай фрактальнага дрэва.

    У 1904 годзе Хельге фон Кох, пашыраючы ідэі Пуанкарэ і незадаволены абстрактным і аналітычным вызначэннем Вейерштраса, даў больш геаметрычнае вызначэнне, уключаючы намаляваныя ад рукі выявы падобнай функцыі, якая цяпер называецца сняжынкай Коха . [8] :25[9] У 1915 годзе Вацлаў Серпінскі пабудаваў свой знакаміты трохкутнік, а праз год — дыван. Да 1918 г. два французскія матэматыкі, П’ер Фату і Гастон Жулія, хоць і працавалі незалежна адзін ад аднаго, па сутнасці, адначасова прыйшлі да вынікаў, якія апісваюць тое, што цяпер разглядаецца як фрактальныя паводзіны, звязаныя з адлюстраваннем комплексных лікаў і ітэрацыйных функцый. Гэтыя фрактальныя рысы нагадалі далейшыя ідэі аб атрактарах і рэпелёрах (г.зн. кропкі, якія прыцягваюць або адштурхваюць іншыя кропкі), якія сталі наступнай вехай у вывучэнні фракталаў. [4] [8] [9]

    Неўзабаве пасля таго, як гэтая праца была прадстаўлена, у сакавіку 1918 года Фелікс Хаўсдорф пашырыў вызначэнне «размернасці», істотна для эвалюцыі вызначэння фракталаў, каб дазволіць мноствам мець нецэлалікі памер. [9] Ідэю самападобных крывых удасканаліў Поль Леві, які ў сваёй працы 1938 года «Крывыя і паверхні ў плоскасці або прасторы, якія складаюцца з частак, падобных да цэлага», апісаў новую фрактальную крывую — крывую Леві C.

    Дзіўны атрактар, які дэманструе мультыфрактальнае маштабаванне
    Раўнамерны фрактал трохкутніка з цэнтрам мас
    Рэкурсіўная ітэрацыйная функцыя 2x 120 градусаў.

    Без дапамогі сучаснай камп’ютэрнай графікі першыя даследчыкі былі абмежаваныя тым, што маглі адлюстраваць у ручных малюнках. Налёгка было візуалізаваць прыгажосць і ацаніць некаторыя наступствы многіх выяўленых імі ўзораў. Набор Джуліі можна было ўявіць толькі праз некалькі ітэрацый як вельмі простыя малюнкі. [1] [16] [9] У 1960-х гадах Бенуа Мандэльброт пачаў пісаць пра самападабенства ў такіх артыкулах, як «Даўжыня ўзбярэжжа Брытаніі», «Статыстычная самападобнасць і дробавае вымярэнне» [17] [18] якая пашыралі даследванні і ідэі, закладзеныя ў ранейшай працы Льюіса Фрая Рычардсана.

    У 1975 г. [15] Мандэльброт крышталізаваў сотні гадоў мыслення і матэматычнага развіцця, стварыўшы слова «фрактал». Ён праілюстраваў сваё матэматычнае вызначэнне з дапамогай уразлівых кампутарных візуалізацый. Гэтыя выявы, напрыклад, яго кананічны набор Мандэльброта, захапілі думкі матэматычнай супольнасці. Многія выявы былі заснаваныя на рэкурсіі, што прывяло да папулярнага значэння тэрміна «фрактал». [19] [16] [8] [20]

    У 1980 годзе Лорэн Карпентэр выступіў з прэзентацыяй на SIGGRAPH, дзе ён прадставіў сваё праграмнае забеспячэнне для стварэння і візуалізацыі фрактальна генераваных ландшафтаў. [21]

    Азначэнне і характарыстыкі

    Часта цытуецца апісанне, якое Мандэльброт апублікаваў для характарызацыі геаметрычных фракталаў, — гэта «нярўоная або фрагментаваная геаметрычная фігура, якую можна падзяліць на часткі, кожная з якіх з’яўляецца (прынамсі прыблізна) паменшанай копіяй цэлага». Хоць гэтае вызначэнне звычайна карыснае, яно абмежаванае. Аўтары разыходзяцца ў меркаванні адносна дакладнага вызначэння фрактала, але часцей за ўсё ўдакладняюць асноўныя ідэі самападабенства і незвычайныя адносіны, якія фракталы маюць з прасторай, дзе яны знаходзяцца. [1]

    Навукоўцы згадняюцца, што фрактальныя ўзоры характарызуюцца фрактальнымі памерамі. Памеры колькасна вызначаюць складанасць — змяненне дэталяў са змяненнем маштабу. Памеры не апісваюць і не вызначаюць дэталяў таго, як пабудаваць канкрэтныя фрактальныя мадэлі. [22] У 1975 годзе, калі Мандэльброт прыдумаў слова «фрактал», ён зрабіў гэта для абазначэння аб’екта, памернасць Хаўсдорфа-Бесіковіча якога большая за тапалагічную памернасць . [15] Аднак гэтаму патрабаванню не адпавядаюць крывыя, якія запаўняюць прастору, такія як крывая Гільберта .

    З-за праблем, звязаных з пошукам агульнапрымальнага вызначэння для фракталаў, некаторыя сцвярджаюць, што фракталы не павінны быць строга вызначанымі. Паводле Фальконера, фракталы мусяць нідзе не быць дыферэнцыяванымі, мець фрактальную памернасць, і характарызавацца гештальтам толькі наступных прыкмет; [2]

    Як група, гэтыя крытэрыі ўтвараюць кіруючыя прынцыпы для выключэння пэўных выпадкаў, напрыклад тых, якія могуць быць самападобнымі, не маючы іншых тыповых фрактальных асаблівасцяў. Прамая лінія, напрыклад, самападобная, але не фрактальная, таму што яна не мае дэталяў, лёгка апісваецца на эўклідавай мове, мае тую ж памернасць Хаўсдорфа, што і тапалагічная, і цалкам вызначана без неабходнасці рэкурсіі. [1] [4]

    Распаўсюджаныя метады генерацыі фракталаў

    Самападобны шаблон галінавання, змадэляваны на камп’ютары з выкарыстаннем прынцыпаў L-сістэм [25]

    Выявы фракталаў могуць быць створаны з дапамогай праграм генерацыі фракталаў. З-за эфекту матылька невялікая змена адной пераменнай можа мець непрадказальны вынік.

    Фрактал, спароджаны правілам канечнага падраздзялення для пераменнага звяна

    Мадэляванне фракталаў

    Фрактальныя ўзоры мадэляваліся шырока, хоць і ў межах дыяпазону маштабаў, але не бясконца, з-за практычных межаў фізічнага часу і прасторы. Мадэлі могуць мадэляваць тэарэтычныя фракталы або прыродныя з’явы з фрактальнымі асаблівасцямі . Вынікі працэсу мадэлявання могуць быць высокамастацкімі візуалізацыямі, вынікамі для расследавання або эталонамі для фрактальнага аналізу. Выявы і іншыя вынікі мадэлявання звычайна называюць «фракталамі», нават калі яны не маюць строга фрактальных характарыстык, напрыклад, калі можна павялічыць вобласць фрактальнага малюнка, якая не праяўляе ніякіх фрактальных уласцівасцяў. Акрамя таго, яны могуць уключаць разлік або адлюстраванне артэфактаў, якія не з’яўляюцца характарыстыкамі сапраўдных фракталаў.

    Змадэляванымі фракталамі могуць быць гукі, [28] лічбавыя выявы, электрахімічныя ўзоры, сутачныя рытмы [29] і г.д. Аднаўленне фрактальных мадэляў у фізічнай 3-мернай прасторы [30] :10 практычна часта называецца мадэляваннем " in silico “. [31] Мадэлі фракталаў, як правіла, ствараюцца з дапамогай праграмнага забеспячэння для стварэння фракталаў, якое рэалізуе апісаныя вышэй метады. [4] [23] [30] У якасці ілюстрацыі, дрэвы, папараць, клеткі нервовай сістэмы [25] Event location: Canberra, Australia, сасуды крыві і лёгкіх [31] і іншыя схемы галінавання ў прыродзе можна змадэляваць на камп’ютары з дапамогай рэкурсіўных алгарытмаў і метадаў L-сістэм . [25]

    Рэкурсіўнасць некаторых узораў відавочная ў пэўных прыкладах — галінка з дрэва або лісток з папараці з’яўляецца мініяцюрнай копіяй цэлага: не тоеснага, але падобнага па сваёй прыродзе. Аналагічным чынам, выпадковыя фракталы выкарыстоўваліся для апісання/стварэння многіх вельмі нерэгулярных аб’ектаў рэальнага свету. Падабенства фрактальнай мадэлі з прыроднай з’явай не сведчыць аб падабенстве прыроднага працэсу ўтварэння гэтай з’явы да фрактальнага алгарытму.

    З’явы прыроды з фрактальнымі асаблівасцямі

    Прыблізныя фракталы, знойдзеныя ў прыродзе, дэманструюць самападабенства ў пашыраных, але канчатковых дыяпазонах маштабу. Сувязь паміж фракталамі і лісцем, напрыклад, у цяперашні час выкарыстоўваецца, каб вызначыць, колькі вугляроду змяшчаецца ў дрэвах. [32] З’явы, якія маюць фрактальныя асаблівасці, уключаюць:

    Фракталы ў біялогіі клетак

    Фракталы часта з’яўляюцца ў сферы жывых арганізмаў, дзе яны ўзнікаюць у выніку працэсаў галінавання і іншых складаных шаблонаў. Ян Вонг і яго супрацоўнікі паказалі, што мігруючыя клеткі могуць утвараць фракталы шляхам кластарызацыі і разгалінавання . [34] Нервовыя клеткі функцыянуюць праз працэсы на паверхні клеткі, са з’явамі, якія ўзмацняюцца за кошт значнага павелічэння суадносін паверхні да аб’ёму. Як следства, нервовыя клеткі часта ўтвараюцца ў фрактальныя ўзоры. [35] Гэтыя працэсы маюць вырашальнае значэнне ў фізіялогіі клетак і розных паталогіях . [36]

    Выяўлена таксама, што некалькі субклеткавых структур збіраюцца ў фракталы. Дыега Крапф паказаў, што праз працэсы разгалінавання актінавыя ніткі ў клетках чалавека збіраюцца ў фрактальныя ўзоры. Аналагічным чынам Маціас Вайс паказаў, што эндаплазматычная сетка мае фрактальныя асаблівасці. [37] Цяперашняе разуменне заключаецца ў тым, што фракталы ўсюдыісныя ў біялогіі клетак, ад бялкоў да арганэл і цэлых клетак.

    У творчых працах

    З 1999 года больш за 10 навуковых груп правялі фрактальны аналіз больш за 50 карцін Джэксана Полака (1912—1956), якія былі створаны шляхам налівання фарбы непасрэдна на яго гарызантальныя палотны [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50]  У апошні час фрактальны аналіз быў выкарыстаны для дасягнення 93 % поспеху ў адрозненні сапраўдных мінтаяў ад імітацыі. [51] Кагнітыўныя нейранавукоўцы паказалі, што фракталы Полака выклікаюць такое ж зніжэнне стрэсу ў назіральнікаў, як і фракталы, створаныя кампутарам, і фракталы прыроды. [52]

    Дэкалькаманія, тэхніка, якую выкарыстоўваюць такія мастакі, як Макс Эрнст, можа ствараць фрактальныя ўзоры. [53] Яна ўключае ў сябе націсканне фарбы паміж дзвюма паверхнямі і іх раз’яднанне.

    Кібернетык Рон Эглаш выказаў здагадку, што фрактальная геаметрыя і матэматыка з’яўляюцца распаўсюджанымі ў афрыканскім мастацтве, гульнях, варажбе, гандлі і архітэктуры. Круглыя дамы з’яўляюцца ў колах кругоў, прастакутныя — у прастакутніках з прастакутнікаў і г.д. Такія маштабавання ўзоры таксама можна сустрэць у афрыканскім тэкстылі, скульптуры, і нават у панкаўскай касе пад кукурузны радок. [54] [55] Хокі Сітунгкір таксама прапанаваў падобныя ўласцівасці ў традыцыйным мастацтве Інданезіі, батыку і арнаментах, якія сустракаюцца ў традыцыйных дамах. [56] [57]

    Этнаматэматык Рон Эглаш абмеркаваў запланаваную планіроўку горада Беніна з выкарыстаннем фракталаў у якасці асновы не толькі ў самім горадзе і вёсках, але нават у пакоях дамоў. Ён пракаментаваў: «Калі еўрапейцы ўпершыню прыехалі ў Афрыку, яны палічылі архітэктуру вельмі неарганізаванай і, такім чынам, прымітыўнай. Ім і ў галаву не прыходзіла, што афрыканцы, магчыма, выкарыстоўвалі такую форму матэматыкі, якую яны яшчэ нават не адкрылі» [58] .

    У інтэрв’ю Майкла Сільверблата ў 1996 годзе Дэвід Фостэр Уолес прызнаўся, што структура першага чарнавіка " Бясконцай жарты “, якую ён даў свайму рэдактару Майклу Пітчу, была натхнёная фракталамі, у прыватнасці трохкутнікам Серпінскага (ён жа пракладка Серпінскага), але адрэдагаваны раман «больш падобны на аднабокую пракладку Серпінскага». [59]

    Некаторыя працы галандскага мастака M.C. Escher, такія як Circle Limit III, утрымліваюць фігуры, паўтараюцца да бясконцасці, якія становяцца ўсё меншымі і меншымі па меры набліжэння да краёў, у малюнку, які заўсёды будзе выглядаць аднолькава, калі павялічыць.

    Фізіялагічныя рэакцыі

    Здаецца, людзі асабліва добра прыстасаваныя да апрацоўкі фрактальных патэрнаў са значэннямі D ад 1,3 да 1,5. [60] Калі людзі праглядаюць фрактальныя мадэлі са значэннямі D ад 1,3 да 1,5, гэта памяншае фізіялагічны стрэс. [61] [62]

    Прыкладанні ў тэхніцы

    Іённы рух

    Калі двухмерныя фракталы паўтараюцца шмат разоў, перыметр фрактала павялічваецца да бясконцасці, але плошча ніколі не можа перавышаць пэўнае значэнне. Фрактал у трохмернай прасторы мае падобную ўласцвасць; такі фрактал можа мець бясконцую плошчу паверхні, але ніколі не перавышаць пэўны аб’ём. Гэта можа быць выкарыстана для максімальнай эфектыўнасці іённага руху пры выбары канструкцыі і матэрыялу электроннага эмітэра. Такім чынам можа быць дасягнута максімальная эфектыўнасць працэсу выкіду.

    Зноскі

    1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. https://books.google.com/books?id=0R2LkE3N7-oC.
    2. 1 2 3 Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-84862-3.
    3. ↑ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. Thames and Hudson. ISBN 978-0-500-27693-8. https://archive.org/details/fractalspatterns0000brig.
    4. 1 2 3 4 5 6 7 Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. World Scientific. ISBN 978-981-02-0668-0.
    5. ↑ Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
    6. 1 2 3 Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fractals and Chaos. Springer. ISBN 978-0-387-20158-0.
    7. ↑ Segal, S. L.. Riemann’s example of a continuous ’nondifferentiable’ function continued.
    8. 1 2 3 4 Edgar, Gerald (2004). Classics on Fractals.
    9. 1 2 3 4 5 Trochet, Holly. A History of Fractal Geometry (нявызн.) (недаступная спасылка). MacTutor History of Mathematics (2009). Архівавана з першакрыніцы 4 лютага 2012March 12, 2012. Праверана 20 красавіка 2022.
    10. ↑ Mandelbrot, Benoit. 24/7 Lecture on Fractals (нявызн.). 2006 Ig Nobel Awards. Improbable Research. Архівавана з першакрыніцы 11 снежня 2021.
    11. ↑ Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15.
    12. ↑ Feder, Jens. Fractals. Springer Science & Business Media. https://books.google.com/books?id=mgvyBwAAQBAJ&pg=PA11.
    13. ↑ Edgar, Gerald. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Science & Business Media. https://books.google.com/books?id=dk2vruTv0_gC&pg=PR7.
    14. 1 2 Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture. Birhauser, Basel. DOI:10.1007/978-3-319-32426-5.
    15. 1 2 3 Albers, Donald J. (2008). Mathematical people : profiles and interviews. AK Peters. ISBN 978-1-56881-340-0.
    16. 1 2 Gordon, Nigel (2000). Introducing fractal geometry. Icon. ISBN 978-1-84046-123-7. https://archive.org/details/introducingfract0000lesm/page/71.
    17. ↑ Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain?. pp. 636–638. http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473.  Архівавана 19 кастрычніка 2021.
    18. ↑ Batty, Michael (April 4, 1985). Fractals – Geometry Between Dimensions. https://books.google.com/books?id=sz6GAq_PsmMC&pg=PA31.
    19. ↑ Russ, John C. (1994). Fractal surfaces. Springer. p. 1. ISBN 978-0-306-44702-0.
    20. ↑ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling. p. 310. ISBN 978-1-4027-5796-9. https://archive.org/details/mathbookfrompyth00pick.
    21. ↑ kottke.org. 2009. Vol Libre, an amazing CG film from 1980. [online] Available at: http://kottke.org/09/07/vol-libre-an-amazing-cg-film-from-1980
    22. ↑ Karperien, Audrey (2004). Defining microglial morphology: Form, Function, and Fractal Dimension. Charles Sturt University. doi:10.13140/2.1.2815.9048.
    23. 1 2 Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6.
    24. ↑ Spencer, John; Thomas, Michael S. C.; McClelland, James L. (2009). Toward a unified theory of development : connectionism and dynamic systems theory re-considered. Oxford/New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-530059-8. https://archive.org/details/towardunifiedthe0000unse_o6k8.
    25. 1 2 3 .
    26. ↑ J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry. Finite subdivision rules. Conformal Geometry and Dynamics, vol. 5 (2001), pp. 153—196.
    27. ↑ J. W. Cannon, W. Floyd and W. Parry. Crystal growth, biological cell growth and geometry. Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics, pp. 65-82. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-3792-8, ISBN 978-981-02-3792-9.
    28. ↑ Brothers, Harlan J. (2007). Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3.
    29. ↑ Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). Fractal Dimension of the Drosophila Circadian Clock.
    30. 1 2 3 Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. https://books.google.com/books?id=t9l9GdAt95gC.
    31. 1 2 Hahn, Horst K.; Georg, Manfred (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. https://books.google.com/books?id=t9l9GdAt95gC.
    32. ↑ «Hunting the Hidden Dimensional». Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.
    33. ↑ Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (1999). Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation. 399. 315. doi:10.1038/20573. Bibcode: 1999Natur.399..315S.
    34. ↑ Leggett, Susan E.; Neronha, Zachary J.; Bhaskar, Dhananjay; Sim, Jea Yun; Perdikari, Theodora Myrto; Wong, Ian Y. (2019-08-27). “Motility-limited aggregation of mammary epithelial cells into fractal-like clusters” (in en). Proceedings of the National Academy of Sciences 116 (35): 17298–17306. doi:10.1073/pnas.1905958116. ISSN 0027-8424. PMID 31413194. Bibcode: 2019PNAS..11617298L.
    35. ↑ Jelinek, Herbert F; Fernandez, Eduardo (June 1998). “Neurons and fractals: how reliable and useful are calculations of fractal dimensions?” (in en). Journal of Neuroscience Methods 81 (1–2): 9–18. doi:10.1016/S0165-0270(98)00021-1. PMID 9696304.
    36. ↑ Cross, Simon S. (1997). “Fractals in Pathology” (in en). The Journal of Pathology 182 (1): 1–8. doi:10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1<1::AID-PATH808>3.0.CO;2-B. ISSN 1096-9896. PMID 9227334.
    37. ↑ Speckner, Konstantin; Stadler, Lorenz; Weiss, Matthias (2018-07-09). “Anomalous dynamics of the endoplasmic reticulum network” (in en). Physical Review E 98 (1): 012406. doi:10.1103/PhysRevE.98.012406. ISSN 2470-0045. PMID 30110830. Bibcode: 2018PhRvE..98a2406S. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.98.012406.
    38. ↑ Taylor, R. P.. “Fractal Analysis of Pollock’s Drip Paintings”. Nature 399 (6735). doi:10.1038/20833. Bibcode: 1999Natur.399..422T.
    39. ↑ Mureika, J. R.; Dyer, C. C.; Cupchik, G. C.. “Multifractal Structure in Nonrepresentational Art”. Physical Review E 72 (4): 046101–1–15. doi:10.1103/PhysRevE.72.046101. PMID 16383462. Bibcode: 2005PhRvE..72d6101M.
    40. ↑ Redies, C.; Hasenstein, J.; Denzler, J.. “Fractal-Like Image Statistics in Visual Art: Similarity to Natural Scenes”. Spatial Vision 21 (1): 137–148. doi:10.1163/156856807782753921. PMID 18073055.
    41. ↑ Lee, S.; Olsen, S.; Gooch, B.. “Simulating and Analyzing Jackson Pollock’s Paintings”. Journal of Mathematics and the Arts 1 (2): 73–83. doi:10.1080/17513470701451253.
    42. ↑ Alvarez-Ramirez, J.; Ibarra-Valdez, C.; Rodriguez, E.; Dagdug, L.. “1/f-Noise Structure in Pollock’s Drip Paintings”. Physica A 387 (1): 281–295. doi:10.1016/j.physa.2007.08.047. Bibcode: 2008PhyA..387..281A.
    43. ↑ Graham, D. J.; Field, D. J.. “Variations in Intensity for Representative and Abstract Art, and for Art from Eastern and Western Hemispheres”. Perception 37 (9): 1341–1352. doi:10.1068/p5971. PMID 18986061.
    44. ↑ Alvarez-Ramirez, J.; Echeverria, J. C.; Rodriguez, E.. “Performance of a high-dimensional R/S method for Hurst exponent estimation”. Physica A 387 (26): 6452–6462. doi:10.1016/j.physa.2008.08.014. Bibcode: 2008PhyA..387.6452A.
    45. ↑ Coddington, J.; Elton, J.; Rockmore, D.; Wang, Y.. “Multifractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings”. Proceedings of SPIE 6810 (68100F): 1–12. doi:10.1117/12.765015. Bibcode: 2008SPIE.6810E..0FC.
    46. ↑ Al-Ayyoub, M.; Irfan, M. T.; Stork, D. G.. “Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock’s Drip Paintings”. SPIE Proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II 7869 (78690H): 78690H. doi:10.1117/12.873142. Bibcode: 2011SPIE.7869E..0HA.
    47. ↑ Mureika, J. R.; Taylor, R. P.. “The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth?”. Signal Processing 93 (3). doi:10.1016/j.sigpro.2012.05.002.
    48. ↑ Taylor, R. P.. “Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry”. Pattern Recognition Letters 28 (6): 695–702. doi:10.1016/j.patrec.2006.08.012.
    49. ↑ Jones-Smith, K.. “Fractal Analysis: Revisiting Pollock’s Paintings”. Nature 444 (7119): E9–10. doi:10.1038/nature05398. PMID 17136047. Bibcode: 2006Natur.444E…9J.
    50. ↑ Taylor, R. P.. “Fractal Analysis: Revisiting Pollock’s Paintings (Reply)”. Nature 444 (7119): E10–11. doi:10.1038/nature05399. Bibcode: 2006Natur.444E..10T.
    51. ↑ Shamar, L.. “What Makes a Pollock Pollock: A Machine Vision Approach”. International Journal of Arts and Technology 8: 1–10. doi:10.1504/IJART.2015.067389.
    52. ↑ Taylor, R. P.; Spehar, B.; Van Donkelaar, P.; Hagerhall, C. M.. “Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock’s Fractals”. Frontiers in Human Neuroscience 5: 1–13. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMID 21734876.
    53. ↑ Frame, Michael; and Mandelbrot, Benoît B.; A Panorama of Fractals and Their Uses Архівавана 23 снежня 2007.
    54. ↑ African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design (нявызн.) (недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 3 студзеня 2018. Праверана 20 красавіка 2022.
    55. ↑ Nelson, Bryn; Sophisticated Mathematics Behind African Village Designs Fractal patterns use repetition on large, small scale, San Francisco Chronicle, Wednesday, February 23, 2009
    56. ↑ Situngkir, Hokky; Dahlan, Rolan (2009). Fisika batik: implementasi kreatif melalui sifat fraktal pada batik secara komputasional. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. ISBN 978-979-22-4484-7
    57. ↑ Application maps out nation’s batik story (нявызн.) (October 6, 2015).
    58. ↑ Koutonin, Mawuna (March 18, 2016). «Story of cities #5: Benin City, the mighty medieval capital now lost without trace». Retrieved April 2, 2018.
    59. ↑ Wallace, David Foster. Bookworm on KCRW (нявызн.) (недаступная спасылка). Kcrw.com (4 жніўня 2006). Архівавана з першакрыніцы 11 лістапада 2010. Праверана 20 красавіка 2022.
    60. ↑ Taylor, Richard P. (2016). The Fractal Geometry of the Brain. pp. 485–496.
    61. ↑ Taylor, Richard P.. “Reduction of Physiological Stress Using Fractal Art and Architecture”. Leonardo 39 (3): 245–251. doi:10.1162/leon.2006.39.3.245. https://zenodo.org/record/894740.
    62. ↑ For further discussion of this effect, see Taylor, Richard P.; Spehar, Branka; Donkelaar, Paul Van. “Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock’s Fractals”. Frontiers in Human Neuroscience 5: 60. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMID 21734876.
    63. ↑ Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (1999). “Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae”. Fractals 7 (1): 79–84. doi:10.1142/S0218348X99000098.
    64. ↑ Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; et al. (2012). “Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors”. Proceedings of ISPSD: 341–344. doi:10.1109/ISPSD.2012.6229091. ISBN 978-1-4577-1596-9.
    65. ↑ Review of Fractal Heat Exchangers (нявызн.) (PDF) (22 кастрычніка 2016). — International Refrigeration and Air Conditioning Conference. Paper 1725.
    66. ↑ Chen, Yanguang (2011). “Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions”. PLOS ONE 6 (9): e24791. doi:10.1371/journal.pone.0024791. PMID 21949753. Bibcode: 2011PLoSO…624791C.
    67. ↑ Applications (нявызн.) (недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 12 кастрычніка 2007October 12, 2007. Праверана 20 красавіка 2022.
    68. ↑ «Detecting ’life as we don’t know it’ by fractal analysis»
    69. ↑ C.M. Song, S. Havlin, H.A. Makse (2005). “Self-similarity of complex networks”. Nature 433 (7024): 392–5. doi:10.1038/nature03248. PMID 15674285. Bibcode: 2005Natur.433..392S.
    70. ↑ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). “Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging”. Biophysical Journal 85 (6): 4041–4046. doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMID 14645092. PMC: 1303704. Bibcode: 2003BpJ….85.4041L. https://archive.org/details/sim_biophysical-journal_2003-12_85_6/page/4041.
    71. ↑ Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). “Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer’s Disease and Affective Disorder”. Fractals 16 (2): 103. doi:10.1142/S0218348X08003880.
    72. ↑ Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B.; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). “Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice”. Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.) 2 (1): 109–122. doi:10.2147/OPTH.S1579. PMID 19668394.
    73. ↑ Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (1989). “Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria”. Mayo Clinic Proceedings 64 (4): 409–414. doi:10.1016/s0025-6196(12)65730-9. PMID 2716356. https://archive.org/details/sim_mayo-clinic-proceedings_1989-04_64_4/page/409.
    74. ↑ Landini, Gabriel (2011). “Fractals in microscopy”. Journal of Microscopy 241 (1): 1–8. doi:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x. PMID 21118245.
    75. ↑ Cheng, Qiuming (1997). “Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis”. Mathematical Geology 29 (7): 919–932. doi:10.1023/A:1022355723781.
    76. ↑ Chen, Yanguang (2011). “Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions”. PLOS ONE 6 (9): e24791. doi:10.1371/journal.pone.0024791. PMID 21949753. Bibcode: 2011PLoSO…624791C.
    77. ↑ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (2006). “Fractal analysis of Mesoamerican pyramids”. Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences 10 (1): 105–122. PMID 16393505.
    78. ↑ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (2005). “The Broken Past: Fractals in Archaeology”. Journal of Archaeological Method and Theory 12: 37–78. doi:10.1007/s10816-005-2396-6.
    79. ↑ Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). “Multifractal characterization of urban residential land price in space and time”. Applied Geography 34: 161–170. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
    80. ↑ Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A. (2009). “An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents”. Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: 93–98. ISBN 978-988-17-0125-1. http://www.iaeng.org/publication/WCE2009/WCE2009_pp93-98.pdf.
    81. ↑ Bunde, A.; Havlin, S. (2009). “Fractal Geometry, A Brief Introduction to”. Encyclopedia of Complexity and Systems Science. pp. 3700. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_218. ISBN 978-0-387-75888-6.
    82. ↑ GPU internals (нявызн.).
    83. ↑ sony patents (нявызн.).
    84. ↑ description of swizzled and hybrid tiled swizzled textures (нявызн.).
    85. ↑ US8773422B1 - System, method, and computer program product for grouping linearly ordered primitives (нявызн.). Google Patents (4 снежня 2007).
    86. ↑ US20110227921A1 - Processing of 3D computer graphics data on multiple shading engines (нявызн.). Google Patents (15 снежня 2010).
    87. ↑ Johns Hopkins Turbulence Databases (нявызн.).
    88. ↑ Li, Y.; Perlman, E.; Wang, M.; Yang, y.; Meneveau, C.; Burns, R.; Chen, S.; Szalay, A.; et al. (2008). “A Public Turbulence Database Cluster and Applications to Study Lagrangian Evolution of Velocity Increments in Turbulence”. Journal of Turbulence 9: N31. doi:10.1080/14685240802376389. Bibcode: 2008JTurb…9…31L.

    Спасылкі

    Тэмы гэтай старонкі (6):
    CS1 maint: multiple names: authors list
    Фракталы
    Старонкі з няправільным сінтаксісам спасылак на крыніцы
    Вылічальная матэматыка
    Старонкі з недагледжанымі перакладамі
    Тапалогія