wd wp Пошук: ⬜

Камплексная плоскасць

Камплексная плоскасць — гэта двухмерная рэчаісная прастора

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{2\}\}$ , ізаморфная полю камплексных лікаў

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$ . Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду

( x , y )

{\displaystyle (x,y)}

$\{\displaystyle (x,y)\}$ , дзе

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ і

{\displaystyle y}

$\{\displaystyle y\}$ — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку

z

x + i y

{\displaystyle z=x+iy}

$\{\displaystyle z=x+iy\}$ :

x

R e

z ,

{\displaystyle x=\mathrm {Re} ,z,}

$\{\displaystyle x=\mathrm \{Re\} \,z,\}$

y

I m

z .

{\displaystyle y=\mathrm {Im} ,z.}

$\{\displaystyle y=\mathrm \{Im\} \,z.\}$ Упарадкаваную пару

( x , y )

{\displaystyle (x,y)}

$\{\displaystyle (x,y)\}$ натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце

( x , y )

{\displaystyle (x,y)}

$\{\displaystyle (x,y)\}$ .

З прычыны ізамарфізму

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$ і

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{2\}\}$ , алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:

складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з’яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{2\}\}$ , можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб’ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

Мноствы на камплекснай плоскасці

Адкрытыя мноствы

Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\}$ пункта

∈

{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }

$\{\displaystyle z_\{0\}\in \mathbb \{C\} \}$ называецца мноства выгляду

= { z :

z −

< r } ,

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},,r>0}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}=\\{z\colon |z-z_\{0\}|<r\\},\,r>0\}$ . Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі

∖ {

}

{\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}}

$\{\displaystyle \{\dot \{\mathcal \{U\}\}\}\{z\{0\}\}=\{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\setminus \\{z_\{0\}\\}\}$ .

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$ цалкам вызначана.

Гранічны пункт і замкнёнае мноства

Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт

∈

{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }

$\{\displaystyle z_\{0\}\in \mathbb \{C\} \}$ будзе гранічным для мноства

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ , калі для адвольнага наваколля

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\}$ перасячэнне

∩ G

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\cap G\}$ будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з’яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як

G ′

{\displaystyle G’}

$\{\displaystyle G’\}$ .

Мноства

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне

G ′

⊂ G

{\displaystyle G’\subset G}

$\{\displaystyle G’\subset G\}$ . Ясна відаць, што для адвольнага мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ мноства

G ¯

= G ∪

G ′

{\displaystyle {\overline {G}}=G\cup G’}

$\{\displaystyle \{\overline \{G\}\}=G\cup G’\}$ будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ .

Мяжа

Кропка

∈

{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }

$\{\displaystyle z_\{0\}\in \mathbb \{C\} \}$ называецца межавою для мноства

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ , калі для адвольнага наваколля

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\}$ перасячэнні

∩ G

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\cap G\}$ і

∩ (

∖ G )

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\cap (\{\mathbb \{C\} \}\setminus G)\}$ пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам

∂ G

{\displaystyle \partial G}

$\{\displaystyle \partial G\}$ або проста мяжой.

Усюды шчыльныя мноствы

Мноства

E ⊂

{\displaystyle E\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle E\subset \mathbb \{C\} \}$ называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ , калі для адвольнага пункта

∈ G

{\displaystyle z_{0}\in G}

$\{\displaystyle z_\{0\}\in G\}$ і любога наваколля

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\}$ перасячэнне

∩ E

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{U\}\}\{z\{0\}\}\cap E\}$ непустое.

Звязнасць

Адлегласць паміж мноствамі

Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам

{\displaystyle z_{0}}

$\{\displaystyle z_\{0\}\}$ і некаторым мноствам

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ як велічыню

d i s t

(

, G )

inf

z ∈ G

z −

{\displaystyle \mathrm {dist} ,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|}

$\{\displaystyle \mathrm \{dist\} \,(z_\{0\},G)=\inf \{z\in G\}|z-z\{0\}|\}$ .

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$

d i s t

(

)

inf

z ∈

d i s t

( z ,

)

inf

z ∈

d i s t

( z ,

)

{\displaystyle \mathrm {dist} ,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} ,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} ,(z,G_{1})}

$\{\displaystyle \mathrm \{dist\} \,(G_\{1\},G_\{2\})=\inf \{z\in G\{1\}\}\mathrm \{dist\} \,(z,G_\{2\})=\inf \{z\in G\{2\}\}\mathrm \{dist\} \,(z,G_\{1\})\}$ .

Звязнасць

Мноства

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ называецца звязным, калі для яго выконваюцца суадносіны

inf

∈ G

−

= 0

{\displaystyle \inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0}

$\{\displaystyle \inf \{z\{1\},z_\{2\}\in G\}|z_\{1\}-z_\{2\}|=0\}$ . Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца нязвязным. Можна паказаць, што нязвязнае мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ можна прадставіць у выглядзе аб’яднання (канечнага або злічальнага)

∑

{\displaystyle \sum G_{n}}

$\{\displaystyle \sum G_\{n\}\}$ , дзе

{\displaystyle G_{n}}

$\{\displaystyle G_\{n\}\}$ — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя звязнымі кампанентамі мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ . Магутнасць мноства звязных кампанент называецца парадкам звязнасці.

Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствы

Мноства

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ называецца зорным адносна пункта

∈ G

{\displaystyle z_{0}\in G}

$\{\displaystyle z_\{0\}\in G\}$ , калі для адвольнага пункта

z ∈ G

{\displaystyle z\in G}

$\{\displaystyle z\in G\}$ справядліва ўключэнне

⊂ G

{\displaystyle {\overline {z_{0}z}}\subset G}

$\{\displaystyle \{\overline \{z_\{0\}z\}\}\subset G\}$ .

Мноства

G ⊂

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

$\{\displaystyle G\subset \mathbb \{C\} \}$ называецца выпуклым, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства

∗

{\displaystyle G^{*}}

$\{\displaystyle G^\{*\}\}$ называецца выпуклай абалонкай мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , калі яно выпуклае,

G ⊂

∗

{\displaystyle G\subset G^{*}}

$\{\displaystyle G\subset G^\{*\}\}$ і для любога выпуклага мноства

∗ ∗

{\displaystyle G^{**}}

$\{\displaystyle G^\{**\}\}$ , якое змяшчае мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , выконваецца ўключэнне

∗

⊂

∗ ∗

{\displaystyle G^{*}\subset G^{**}}

$\{\displaystyle G^\{*\}\subset G^\{**\}\}$ .

Ламанаю

{\displaystyle \Gamma }

$\{\displaystyle \Gamma \}$ называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб’яднання адрэзкаў. Мноства

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў

∈ G

{\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}

$\{\displaystyle z_\{1\},z_\{2\}\in G\}$ існуе ламаная

Γ ⊂ G

{\displaystyle \Gamma \subset G}

$\{\displaystyle \Gamma \subset G\}$ такая, што выконваецца

∈ Γ

{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \Gamma }

$\{\displaystyle z_\{1\},z_\{2\}\in \Gamma \}$ .

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

Крывыя на

{\displaystyle \mathbb {C} }

Крывыя і шляхі

Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$ называецца адлюстраванне выгляду

φ ( t ) : [ 0 ; 1 ] →

{\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb \{C\} \}$ . Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі

φ ( t )

{\displaystyle \varphi (t)}

$\{\displaystyle \varphi (t)\}$ , але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі

φ ( t )

{\displaystyle \varphi (t)}

$\{\displaystyle \varphi (t)\}$ і

η ( t )

φ ( 1 − t )

{\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)}

$\{\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)\}$ будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

Гоматопія крывых

Крывыя

( t ) : [ 0 ; 1 ] →

{\displaystyle \varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \varphi _\{0\}(t)\colon [0;1]\to \mathbb \{C\} \}$ і

( t ) : [ 0 ; 1 ] →

{\displaystyle \varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \varphi _\{1\}(t)\colon [0;1]\to \mathbb \{C\} \}$ называюцца гоматопнымі, калі існуе крывая

ξ ( t , q ) : [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ] →

{\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb \{C\} \}$ , якая залежыць ад параметра

{\displaystyle q}

$\{\displaystyle q\}$ такім чынам, што

ξ ( t , 0 ) ≡

{\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi _{0}}

$\{\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi _\{0\}\}$ і

ξ ( t , 1 ) ≡

{\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi _{1}}

$\{\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi _\{1\}\}$ .

Бясконца аддалены пункт

У камплексным аналізе часта карысна разглядаць поўную камплексную плоскасць[1], дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам:

z

∞

{\displaystyle z=\infty }

$\{\displaystyle z=\infty \}$ . Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:

z ∞

= 0 ; z + ∞

∞ ( z ≠ ∞ )

{\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )}

$\{\displaystyle \{\frac \{z\}\{\infty \}\}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )\}$

z ⋅ ∞ = ∞ ;

z 0

= ∞ ( z ≠ 0 )

{\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)}

$\{\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;\{\frac \{z\}\{0\}\}=\infty (z\neq 0)\}$

{\displaystyle \varepsilon }

$\{\displaystyle \varepsilon \}$ -наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў

{\displaystyle z}

$\{\displaystyle z\}$ , модуль якіх большы, чым

{\displaystyle \varepsilon }

$\{\displaystyle \varepsilon \}$ , гэта значыць знешняя частка

{\displaystyle \varepsilon }

$\{\displaystyle \varepsilon \}$ -наваколляў пачатку каардынат.

Зноскі

↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.

Літаратура

Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Category:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%96%2C %D1%8F%D0%BA%D1%96%D1%8F %D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%9E%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%86%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%8F %D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%96 %D1%9E %D1%81%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8B%D0%BC %D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B5
Катэгорыя·Камплексны аналіз