wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма Гаўса

Тэарэ́ма Га́ўса — асноўная тэарэма электрастатыкі, якая ўстанаўлівае сувязь паміх патокам напружанасці электрычнага поля праз адвольную замкнёную паверхню і электрычным зарадам, што знаходзіцца ўнутры гэтай паверхні[1].

Фармулёўка

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю свабодных электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

Φ

{\displaystyle \Phi ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}}

$\{\displaystyle \Phi =\{\frac \{Q\}\{\varepsilon _\{0\}\varepsilon \}\}\}$ Доказ

Паток вектара напружанасці пунктавага зарада праз элемент паверхні dS складае

d Φ

E →

d S

→

q d S c o s φ

4 π

q d

4 π

{\displaystyle d\Phi ={\vec {E}}{\vec {dS}}={\frac {qdScos\varphi }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}={\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}}

$\{\displaystyle d\Phi =\{\vec \{E\}\}\{\vec \{dS\}\}=\{\frac \{qdScos\varphi \}\{4\pi \varepsilon \{0\}\varepsilon r^\{2\}\}\}=\{\frac \{qdS\{r\}\}\{4\pi \varepsilon _\{0\}\varepsilon r^\{2\}\}\}\}$ , дзе

{\displaystyle dS_{r}}

$\{\displaystyle dS_\{r\}\}$ праекцыя dS на плоскасць, перпендыкулярную да вектара

r →

{\displaystyle {\vec {r}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{r\}\}\}$ , накіраванага ад зарада да паверхні.

Велічыня

{\displaystyle {\frac {dS_{r}}{r^{2}}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{dS_\{r\}\}\{r^\{2\}\}\}\}$ уяўляе сабой цялесны вугал

d Ω

{\displaystyle d\Omega }

$\{\displaystyle d\Omega \}$ , пад якім з пункта знаходжання зарада бачна паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

Φ

∮

q d

4 π

= ∮

q d Ω

4 π

∮ d Ω

{\displaystyle \Phi =\oint {\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}=\oint {\frac {qd\Omega }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}\oint d\Omega ={\frac {q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}}

$\{\displaystyle \Phi =\oint \{\frac \{qdS_\{r\}\}\{4\pi \varepsilon _\{0\}\varepsilon r^\{2\}\}\}=\oint \{\frac \{qd\Omega \}\{4\pi \varepsilon _\{0\}\varepsilon \}\}=\{\frac \{q\}\{4\pi \varepsilon _\{0\}\varepsilon \}\}\oint d\Omega =\{\frac \{q\}\{\varepsilon _\{0\}\varepsilon \}\}\}$

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, то яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і іншы раз – выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып суперпазіцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

Φ

{\displaystyle \Phi =\Sigma \Phi _{i}={\frac {\Sigma q_{i}}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}}

$\{\displaystyle \Phi =\Sigma \Phi \{i\}=\{\frac \{\Sigma q\{i\}\}\{\varepsilon _\{0\}\varepsilon \}\}\}$

Тэарэма Гаўса з’яўляецца вынікам закона Кулона. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасць якіх вызначаецца законам, падобным да кулонаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасці будзе выконваць паскарэнне свабоднага падзення, а замест зарада будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

Φ

4 π G M

{\displaystyle \Phi =4\pi GM}

$\{\displaystyle \Phi =4\pi GM\}$

дзе G – гравітацыйная пастаянная.

Зноскі

↑ Болсун А. Гаўса тэарэма // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш.. — Мн.: БелЭн, 1997. — Т. 5: Гальцы — Дагон. — 576 с. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0090-0 (т. 5), ISBN 985-11-0035-8.

Літаратура

Мікуліч А. С. Курс агульнай фізікі. Электрычнасць і магнетызм: вучэб. дапаможнік. — Мн.: Вышэйшая школа, 1995.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Электрастатыка
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без назвы артыкула
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без нумароў старонак
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без аўтара