wd wp Пошук: ⬜

Сума

Су́ма (лац.: summa — вынік) — вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц і г. д.). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з’яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:

• перастаўляльны закон

а + b = b + a

• спалучальны закон

а + (b + c) = (а + b) + c

• правы размеркавальны закон

(а + b)с = ас + bc

• левы размеркавальны закон

с(а + b) = ca + cb У тэорыі мностваў сумай (ці аб’яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з’яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

Вызначаная сума

Часта суму n складнікаў ak, ak+1, …, aN абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

a

k

a

k + 1

. . . +

a

N

=

∑

i

k

N

a

i

{\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+…+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}}

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай ai паi ад k да N.

Для зручнасці замест

∑

i

k

N

a

i

{\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}}

, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць

∑

P ( i )

a

i

{\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}

, дзе

P ( i )  

{\displaystyle P(i)\ }

 — некаторая ўмова для

i  

{\displaystyle i\ }

, такім чынам

∑

P ( i )

a

i

{\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}

гэта канечная сума ўсіх

a

i

 

{\displaystyle a_{i}\ }

, дзе

i ∈ Z : P ( i )  

{\displaystyle i\in Z:P(i)\ }

Уласцівасці вызначанай сумы:

1. (

∑

i

k

1

k

2

a

i

)

(

∑

j

p

1

p

2

b

j

)

=

∑

i

k

1

k

2

(

∑

j

p

1

p

2

a

i

b

j

)

{\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)}

2. ∑

i

k

1

k

2

∑

j

p

1

p

2

a

i j

=

∑

j

p

1

p

2

∑

i

k

1

k

2

a

i j

{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}}

3. ∑

i

k

1

k

2

(

a

i

b

i

)

∑

i

k

1

k

2

a

i

∑

i

k

1

k

2

b

i

{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}}

4. ∑

i

k

1

k

2

z ⋅

a

i

= z ⋅

∑

i

k

1

k

2

a

i

{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}}

Прыклады

1. Сума арыфметычнай прагрэсіі:

∑

i

0

n

(

a

0

b ⋅ i )

( n + 1 )

a

0

a

n

2

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}

2. Сума геаметрычнай прагрэсіі:

∑

i

0

n

a

0

⋅

b

i

=

a

0

⋅

1 −

b

n + 1

1 − b

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}

3. ∑

i

0

n

(

1 p

)

i

=

p

p − 1

(

1 −

1

p

n + 1

)

,

p ≠ 1 , n ≥ 0

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}

Чаму гэта так  

∑

i

0

n

(

1 p

)

i

=

∑

i

0

n

1 ⋅

1

p

i

= 1 ⋅

1 −

(

1 p

)

n + 1

1 −

1 p

=

p

n + 1

− 1

p

n + 1

p − 1

p

=

p

n + 1

− 1

p

n

( p − 1 )

=

p

p − 1

(

1 −

1

p

n + 1

)

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}

1. ∑

i

0

n

i

p

i

=

n

p

n + 2

− ( n + 1 )

p

n + 1

p

( p − 1

)

2

,

p ≠ 1

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}

Чаму гэта так  

Доказ:

∑

i

0

n

i

p

i

=

∑

i

1

n

i

p

i

= p ⋅

∑

i

1

n

i

p

i − 1

= p ⋅

∑

i

0

n − 1

( i + 1 )

p

i

= p ⋅

(

∑

i

0

n − 1

i

p

i

∑

i

0

n − 1

p

i

)

= p ⋅

∑

i

0

n

i

p

i

− p ⋅ n

p

n

p ⋅

1 −

p

n

1 − p

⇒

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }

⇒ ( 1 − p )

∑

k

0

n

i

p

i

=

− n

p

n − 1

( 1 − p ) + p −

p

n + 1

1 − p

⇒

∑

i

0

n

i

p

i

=

n

p

n + 2

− ( n + 1 )

p

n + 1

p

( 1 − p

)

2

{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{k=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}

1. ∑

i

0

n

p

i

= ( p − 1 )

∑

i

0

n − 1

( ( n − i )

p

i

) + n + 1 ,

p ≠ 1

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}

Чаму гэта так  

Доказ:

( p − 1 )

∑

i

0

n − 1

( ( n − i )

p

i

) + n + 1

( p − 1 )

∑

i

0

n

( ( n − i )

p

i

) + n + 1

( p − 1 )

(

n ⋅

∑

i

0

n

p

i

−

∑

i

0

n

i

p

i

)

n + 1

{\displaystyle (p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{i=0}^{n}p^{i}-\sum _{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=}

= ( p − 1 )

(

n ⋅

1 −

p

n + 1

1 − p

−

n

p

n + 2

− ( n + 1 )

p

n + 1

p

( 1 − p

)

2

)

n + 1

{\displaystyle =(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=}

=

n

p

n + 2

− n p − n

p

n + 1

n − n

p

n + 2

n

p

n + 1

p

n + 1

− p + p n − n + p − 1

p − 1

=

{\displaystyle ={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=}

=

p

n + 1

− 1

p − 1

=

∑

i

0

n

p

i

{\displaystyle ={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}}

1. • Пры

   p

   10  

   {\displaystyle p=10\ }

   атрымліваем

   ∑

   i

   0

   n

   10

   i

   = 9 ⋅

   ∑

   i

   0

   n − 1

   ( ( n − i )

   10

   i

   ) + n + 1

   {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}

   , а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:

   1

   9 ⋅ 0 + 1 ,

   11

   9 ⋅ 1 + 2 ,

   111

   9 ⋅ 12 + 3 ,

   1111

   9 ⋅ 123 + 4 ,

   11111

   9 ⋅ 1234 + 5

   {\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}

   

Нявызначаная сума

Нявызначанай сумай ai по i называецца такая функцыя f(i), якая абазначаецца

∑

i

a

i

{\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}}

, что

∀ i f ( i + 1 ) − f ( i )

a

i + 1

{\displaystyle \forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}}

.

Формула Ньютана — Лейбніца

Асноўны артыкул: Формула Ньютана — Лейбніца Калі знайдзена нявызначаная сума

∑

i

a

i

= f ( i )

{\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}

, тады

∑

i

k

N

a

i

= f ( N + 1 ) − f ( k )

{\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)}

. 

Паходжанне слова

Лацінскае слова summa перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з’яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

Гл. таксама

• Кантрольная сума

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Элементарная матэматыка