wd wp Пошук: ⬜

Плоскасць

Пло́скасць — адно з асноўных паняццяў геаметрыі. Плоскасць — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе прамыя, што праходзяць праз якія-небудзь два пункты плоскасці. У алгебры плоскасць вызначаецца як двухмерная афінная прастора.

У планіметрыі плоскасць разглядаецца як універсум, да якога належаць усе геаметрычныя фігуры. Стэрэаметрыя разглядае бесканечнае мноства плоскасцей, размешчаных у прасторы.

Ураўненні плоскасці

Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.

• Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці

A x + B y + C z + D

0 ,

( 1 )

{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0,\qquad (1)}

дзе

A , B , C

{\displaystyle A,B,C}

і

D

{\displaystyle D}

 — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў A, B і C не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці

|

A

|

|

B

|

|

C

|

≠ 0

{\displaystyle |A|+|B|+|C|\neq 0}

); у вектарнай форме:

(

r

,

N

) + D

0 ,

{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0,}

дзе

r

{\displaystyle \mathbf {r} }

 — радыус-вектар пункта

M ( x , y , z )

{\displaystyle M(x,y,z)}

, вектар

N

= ( A , B , C )

{\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}

перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). Накіравальныя косінусы вектары

N

{\displaystyle \mathbf {N} }

:

cos ⁡ α

A

A

2

B

2

C

2

,

{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}

cos ⁡ β

B

A

2

B

2

C

2

,

{\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}

cos ⁡ γ

C

A

2

B

2

C

2

.

{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}

Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным. Пры

D

0

{\displaystyle D=0}

плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры

A

0

{\displaystyle A=0}

(або

B

0

{\displaystyle B=0}

,

C

0

{\displaystyle C=0}

) плоскасць паралельная восі

O x

{\displaystyle Ox}

(адпаведна

O y

{\displaystyle Oy}

або

O z

{\displaystyle Oz}

). Пры

A

B

0

{\displaystyle A=B=0}

(

A

C

0

{\displaystyle A=C=0}

, або

B

C

0

{\displaystyle B=C=0}

) плоскасць паралельная плоскасці

O x y

{\displaystyle Oxy}

(адпаведна

O x z

{\displaystyle Oxz}

або

O y z

{\displaystyle Oyz}

).

• Ураўненне плоскасці ў адрэзках:

x a

y b

z c

= 1 ,

{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}

дзе

a

− D

/

A , b

− D

/

B , c

− D

/

C

{\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C}

 — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях

O x , O y

{\displaystyle Ox,Oy}

і

O z

{\displaystyle Oz}

.

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт

M (

x

0

,

y

0

,

z

0

)

{\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}

перпендыкулярна вектару нармалі

N

( A , B , C )

{\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}

:

A ( x −

x

0

) + B ( y −

y

0

) + C ( z −

z

0

)

0 ;

{\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}

у вектарнай форме:

( (

r

−

r

0

) ,

N

)

{\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты

M (

x

i

,

y

i

,

z

i

)

{\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}

, якія не ляжаць на адной прамой:

( (

r

−

r

1

) , (

r

2

−

r

1

) , (

r

3

−

r

1

) )

0 ,

{\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0,}

дзе

(

x

,

y

,

z

)

{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}

абазначае змешаны здабытак[ru] вектараў x, y і z, па-іншаму

|

x −

x

1

y −

y

1

z −

z

1

x

2

−

x

1

y

2

−

y

1

z

2

−

z

1

x

3

−

x

1

y

3

−

y

1

z

3

−

z

1

|

= 0.

{\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\end{matrix}}\right|=0.}

• Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці

x cos ⁡ α + y cos ⁡ β + z cos ⁡ γ − p

0 ,

( 2 )

{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0,\qquad (2)}

у вектарнай форме:

(

r

,

N

0

)

− p

= 0 ,

{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}

дзе

N

0

{\displaystyle \mathbf {N^{0}} }

 — адзінкавы вектар,

p

{\displaystyle p}

 — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) дамнажэннем на нармавальны множнік

μ

±

1

A

2

B

2

C

2

{\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}

(знакі

μ

{\displaystyle \mu }

і

D

{\displaystyle D}

супрацьлеглыя). Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Плоскасць
• Плоскость (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Еўклідава геаметрыя
Катэгорыя·Аксіяматычныя тэрміны