wd wp Пошук: ⬜

Трыганаметрычныя функцыі

Запыт «sin» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні. Запыт «sec» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні. Запыт «Сінус» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі

• сінус (

sin ⁡ x

{\displaystyle \sin x}

)

• косінус (

cos ⁡ x

{\displaystyle \cos x}

)

вытворныя трыганаметрычныя функцыі

• тангенс (

tg ⁡ x

{\displaystyle \operatorname {tg} x}

)

• катангенс (

ctg ⁡ x

{\displaystyle \operatorname {ctg} x}

)

іншыя трыганаметрычныя функцыі

• секанс (

sec ⁡ x

{\displaystyle \sec x}

)

• касеканс (

cosec ⁡ x

{\displaystyle \operatorname {cosec} x}

)

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца

tan ⁡ x , cot ⁡ x , csc ⁡ x

{\displaystyle \tan x,\cot x,\csc x}

.

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з’яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах

± π n +

π 2

{\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}}

, а катангенс і касеканс — у пунктах

± π n

{\displaystyle \pm \pi n}

.

Спосабы вызначэння

Геаметрычнае азначэнне

Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

• Сінусам вугла

α

{\displaystyle \alpha }

называецца дзель

A B

O B

{\displaystyle {\frac {AB}{OB}}}

(адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).

• Косінусам вугла

α

{\displaystyle \alpha }

называецца дзель

O A

O B

{\displaystyle {\frac {OA}{OB}}}

(адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).

• Тангенсам вугла

α

{\displaystyle \alpha }

называецца дзель

A B

O A

{\displaystyle {\frac {AB}{OA}}}

(адносіна процілеглага катэта к прылегламу).

• Катангенсам вугла

α

{\displaystyle \alpha }

называецца дзель

O A

A B

{\displaystyle {\frac {OA}{AB}}}

(адносіна прылеглага катэта да процілеглага).

• Секансам вугла

α

{\displaystyle \alpha }

называецца дзель

O B

O A

{\displaystyle {\frac {OB}{OA}}}

(адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).

• Касекансам вугла

α

{\displaystyle \alpha }

называецца дзель

O B

A B

{\displaystyle {\frac {OB}{AB}}}

(адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O, напрамкам восі абсцыс уздоўж OA і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R з цэнтрам у пачатку каардынат O. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня OB. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта B абазначым

x

B

{\displaystyle x_{B}}

, ардынату —

y

B

{\displaystyle y_{B}}

.

• Сінусам называецца дзель

sin ⁡ α

y

B

R

.

{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.}

• Косінусам называецца дзель

cos ⁡ α

x

B

R

.

{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.}

• Тангенс вызначаецца як

tg ⁡ α

sin ⁡ α

cos ⁡ α

=

y

B

x

B

.

{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.}

• Катангенс вызначаецца як

ctg ⁡ α

cos ⁡ α

sin ⁡ α

=

x

B

y

B

.

{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.}

• Секанс вызначаецца як

sec ⁡ α

1

cos ⁡ α

=

R

x

B

.

{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.}

• Касеканс вызначаецца як

cosec ⁡ α

1

sin ⁡ α

=

R

y

B

.

{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.}

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце

y

B

{\displaystyle y_{B}}

, а косінус — абсцысе

x

B

{\displaystyle x_{B}}

. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі

α

{\displaystyle \alpha }

— рэчаісны лік, то сінусам

α

{\displaystyle \alpha }

ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная

α

{\displaystyle \alpha }

, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

d

2

d

φ

2

R ( φ )

− R ( φ ) ,

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}

з пачатковымі ўмовамі

cos ⁡ ( 0 )

sin ′

⁡ ( 0 )

{\displaystyle \cos(0)=\sin ‘(0)=1.}

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

(

cos ⁡ x

)

″

= − cos ⁡ x ,

{\displaystyle \left(\cos x\right)’’=-\cos x,}

(

sin ⁡ x

)

″

= − sin ⁡ x .

{\displaystyle \left(\sin x\right)’’=-\sin x.}

Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні (

f

{\displaystyle f}

і

g

{\displaystyle g}

адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

{

f ( x + y )

=

f ( x ) f ( y ) − g ( x ) g ( y ) ,

g ( x + y )

=

g ( x ) f ( y ) + f ( x ) g ( y ) .

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).\end{array}}\right.}

Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

sin ⁡ x

x −

x

3

3 !

x

5

5 !

−

x

7

7 !

x

9

9 !

− ⋯

∑

n

0

∞

( − 1

)

n

x

2 n + 1

( 2 n + 1 ) !

,

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}

cos ⁡ x

1 −

x

2

2 !

x

4

4 !

−

x

6

6 !

x

8

8 !

− ⋯

∑

n

0

∞

( − 1

)

n

x

2 n

( 2 n ) !

.

{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

tg ⁡ x

sin ⁡ x

cos ⁡ x

,

ctg ⁡ x

cos ⁡ x

sin ⁡ x

,

sec ⁡ x

1

cos ⁡ x

,

cosec ⁡ x

1

sin ⁡ x

,

{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad \sec x={\frac {1}{\cos x}},\quad \operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}},}

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

tg ⁡ x

x +

1 3

x

3

2 15

x

5

17 315

x

7

62 2835

x

9

⋯

∑

n

1

∞

2

2 n

(

2

2 n

− 1 )

|

B

2 n

|

( 2 n ) !

x

2 n − 1

,

(

−

π 2

< x <

π 2

)

,

{\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}},x^{3}+{\frac {2}{15}},x^{5}+{\frac {17}{315}},x^{7}+{\frac {62}{2835}},x^{9}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}

ctg ⁡ x

1 x

−

x 3

−

x

3

45

−

2

x

5

945

−

x

7

4725

− ⋯

1 x

−

∑

n

1

∞

2

2 n

|

B

2 n

|

( 2 n ) !

x

2 n − 1

,

(

− π < x < π

)

,

{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\dots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}},x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}

sec ⁡ x

1 +

1 2

x

2

5 24

x

4

61 720

x

6

277 8064

x

8

⋯

∑

n

0

∞

|

E

n

|

( 2 n ) !

x

2 n

,

(

−

π 2

< x <

π 2

)

,

{\displaystyle \sec x=1+{\frac {1}{2}},x^{2}+{\frac {5}{24}},x^{4}+{\frac {61}{720}},x^{6}+{\frac {277}{8064}},x^{8}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}},x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}

cosec ⁡ x

1 x

1 6

x +

7 360

x

3

31 15120

x

5

127 604800

x

7

⋯

1 x

∑

n

1

∞

2 (

2

2 n − 1

− 1 )

|

B

2 n

|

( 2 n ) !

x

2 n − 1

,

(

− π < x < π

)

,

{\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}},x+{\frac {7}{360}},x^{3}+{\frac {31}{15120}},x^{5}+{\frac {127}{604800}},x^{7}+\dots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}},x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}

дзе

B

n

{\displaystyle B_{n}}

— лікі Бернулі,

E

n

{\displaystyle E_{n}}

— лікі Эйлера. Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў

Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

$\{\displaystyle \alpha \,\!\}$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\{\displaystyle \sin \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{2\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \cos \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{2\}\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\sqrt \{3\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{0\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$
$\{\displaystyle \sec \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{2\{\sqrt \{3\}\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{2\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{cosec\} \alpha \,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{2\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\sqrt \{2\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{2\{\sqrt \{3\}\}\}\{3\}\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{-1\}\,\!\}$	$\{\displaystyle \{\infty \}\,\!\}$

Уласцівасці трыганаметрычных функцый

Найпрасцейшыя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя тоеснасці Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

sin

2

⁡ α +

cos

2

⁡ α

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.,}

Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

1 +

tg

2

⁡ α

1

cos

2

⁡ α

,

{\displaystyle 1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},}

1 +

ctg

2

⁡ α

1

sin

2

⁡ α

.

{\displaystyle 1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.}

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

tg ⁡ α ⋅

c t g

α

{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } ,\alpha =1.}

Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву

±

90

∘

,

±

270

∘

,

±

450

∘

,

… ;

{\displaystyle \pm 90^{\circ },;\pm 270^{\circ },;\pm 450^{\circ },;\dots ;}

катангенс і касеканс —

0

∘

,

±

180

∘

,

±

360

∘

,

… .

{\displaystyle 0^{\circ },;\pm 180^{\circ },;\pm 360^{\circ },;\dots .}

Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

sin ⁡ ( − α )

− sin ⁡ α ,

{\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha ,}

cos ⁡ ( − α )

cos ⁡ α ,

{\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha ,}

tg ⁡ ( − α )

− tg ⁡ α ,

{\displaystyle \operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha ,}

ctg ⁡ ( − α )

− ctg ⁡ α ,

{\displaystyle \operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha ,}

sec ⁡ ( − α )

sec ⁡ α ,

{\displaystyle \sec(-\alpha )=\sec \alpha ,}

cosec ⁡ ( − α )

− cosec ⁡ α .

{\displaystyle \operatorname {cosec} (-\alpha )=-\operatorname {cosec} \alpha .}

Перыядычнасць

Функцыі

y

sin ⁡ x ,

{\displaystyle y=\sin x,}

y

cos ⁡ x ,

{\displaystyle y=\cos x,}

y

sec ⁡ x ,

{\displaystyle y=\sec x,}

y

cosec ⁡ x

{\displaystyle y=\operatorname {cosec} x}

— перыядычныя з перыядам

2 π

{\displaystyle 2\pi }

, функцыі

y

tg ⁡ x

{\displaystyle y=\operatorname {tg} x}

і

y

ctg ⁡ x

{\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}

— з перыядам

π

{\displaystyle \pi }

.

Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

f ( n π + α )

± f ( α ) ,

{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),,}

f ( n π − α )

± f ( α ) ,

{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),,}

f

(

( 2 n + 1 ) π

2

α

)

= ± g ( α ) ,

{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),,}

f

(

( 2 n + 1 ) π

2

− α

)

= ± g ( α ) .

{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).,}

Тут

f

{\displaystyle f}

— любая трыганаметрычная функцыя,

g

{\displaystyle g}

— адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), n — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

cos ⁡

(

π 2

− α

)

= sin ⁡ α ,

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ,}

Некаторыя формулы прывядзення:

$\{\displaystyle \beta \,\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\pi \}\{2\}\}+\alpha \}$	$\{\displaystyle \pi +\alpha \,\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{3\,\pi \}\{2\}\}+\alpha \}$	$\{\displaystyle \{\frac \{\pi \}\{2\}\}-\alpha \}$	$\{\displaystyle \pi -\alpha \,\}$	$\{\displaystyle \{\frac \{3\,\pi \}\{2\}\}-\alpha \}$	$\{\displaystyle 2\,\pi -\alpha \}$
$\{\displaystyle \sin \beta \,\}$	$\{\displaystyle \cos \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\sin \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\cos \alpha \,\}$	$\{\displaystyle \cos \alpha \,\}$	$\{\displaystyle \sin \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\cos \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\sin \alpha \,\}$
$\{\displaystyle \cos \beta \,\}$	$\{\displaystyle -\sin \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\cos \alpha \,\}$	$\{\displaystyle \sin \alpha \,\}$	$\{\displaystyle \sin \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\cos \alpha \,\}$	$\{\displaystyle -\sin \alpha \,\}$	$\{\displaystyle \cos \alpha \,\}$
$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \,\beta \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{tg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{tg\} \,\alpha \}$
$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} \,\beta \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{tg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{tg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \,\alpha \}$	$\{\displaystyle -\operatorname \{ctg\} \,\alpha \}$

Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

sin ⁡

(

α ± β

)

= sin ⁡ α

cos ⁡ β ± cos ⁡ α

sin ⁡ β ,

{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha ,\cos \beta \pm \cos \alpha ,\sin \beta ,}

cos ⁡

(

α ± β

)

= cos ⁡ α

cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α

sin ⁡ β ,

{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha ,\cos \beta \mp \sin \alpha ,\sin \beta ,}

tg ⁡

(

α ± β

)

=

tg

α ± tg

β

1 ∓ tg

α

tg

β

,

{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} ,\alpha \pm \operatorname {tg} ,\beta }{1\mp \operatorname {tg} ,\alpha ,\operatorname {tg} ,\beta }},}

ctg ⁡

(

α ± β

)

=

ctg

α

ctg

β ∓ 1

ctg

β ± ctg

α

.

{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} ,\alpha ,\operatorname {ctg} ,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} ,\beta \pm \operatorname {ctg} ,\alpha }}.}

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

sin ⁡

(

α + β + γ

)

= sin ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ + cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ γ + cos ⁡ α cos ⁡ β sin ⁡ γ − sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ ,

{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}

cos ⁡

(

α + β + γ

)

= cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ α cos ⁡ β sin ⁡ γ − cos ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ .

{\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}

Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

sin ⁡ 2 α

2 sin ⁡ α cos ⁡ α

2

tg

α

1 +

tg

2

⁡ α

=

2

ctg

α

1 +

ctg

2

⁡ α

=

2

tg

α + ctg

α

,

{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2,\operatorname {tg} ,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2,\operatorname {ctg} ,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} ,\alpha +\operatorname {ctg} ,\alpha }},}

cos ⁡ 2 α

cos

2

⁡ α

−

sin

2

⁡ α

2

cos

2

⁡ α

−

1

1

−

2

sin

2

⁡ α

1 −

tg

2

⁡ α

1 +

tg

2

⁡ α

=

ctg

2

⁡ α − 1

ctg

2

⁡ α + 1

=

ctg

α − tg

α

ctg

α + tg

α

,

{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha ,-,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha ,-,1=1,-,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} ,\alpha -\operatorname {tg} ,\alpha }{\operatorname {ctg} ,\alpha +\operatorname {tg} ,\alpha }},}

tg

2 α

2

tg

α

1 −

tg

2

⁡ α

=

2

ctg

α

ctg

2

⁡ α − 1

=

2

ctg

α − tg

α

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,2\alpha ={\frac {2,\operatorname {tg} ,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2,\operatorname {ctg} ,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} ,\alpha -\operatorname {tg} ,\alpha }},}

ctg

2 α

ctg

2

⁡ α − 1

2

ctg

α

=

ctg

α − tg

α

2

.

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2,\operatorname {ctg} ,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ,\alpha -\operatorname {tg} ,\alpha }{2}}.}

Формулы трайнога вугла:

sin

3 α

3 sin ⁡ α − 4

sin

3

⁡ α ,

{\displaystyle \sin ,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}

cos

3 α

4

cos

3

⁡ α − 3 cos ⁡ α ,

{\displaystyle \cos ,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}

tg

3 α

3

tg

α −

tg

3

α

1 − 3

tg

2

α

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,3\alpha ={\frac {3,\operatorname {tg} ,\alpha -\operatorname {tg} ^{3},\alpha }{1-3,\operatorname {tg} ^{2},\alpha }},}

ctg

3 α

ctg

3

α − 3

ctg

α

3

ctg

2

α − 1

.

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3},\alpha -3,\operatorname {ctg} ,\alpha }{3,\operatorname {ctg} ^{2},\alpha -1}}.}

Іншыя формулы для кратных вуглоў:

sin

4 α

cos ⁡ α

(

4 sin ⁡ α − 8

sin

3

⁡ α

)

,

{\displaystyle \sin ,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),}

cos

4 α

8

cos

4

⁡ α − 8

cos

2

⁡ α + 1 ,

{\displaystyle \cos ,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,}

tg

4 α

4

tg

α − 4

tg

3

α

1 − 6

tg

2

α +

tg

4

α

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,4\alpha ={\frac {4,\operatorname {tg} ,\alpha -4,\operatorname {tg} ^{3},\alpha }{1-6,\operatorname {tg} ^{2},\alpha +\operatorname {tg} ^{4},\alpha }},}

ctg

4 α

ctg

4

α − 6

ctg

2

α + 1

4

ctg

3

α − 4

ctg

α

,

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4},\alpha -6,\operatorname {ctg} ^{2},\alpha +1}{4,\operatorname {ctg} ^{3},\alpha -4,\operatorname {ctg} ,\alpha }},}

sin

5 α

16

sin

5

⁡ α − 20

sin

3

⁡ α + 5 sin ⁡ α ,

{\displaystyle \sin ,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,}

cos

5 α

16

cos

5

⁡ α − 20

cos

3

⁡ α + 5 cos ⁡ α ,

{\displaystyle \cos ,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,}

tg

5 α

tg ⁡ α

tg

4

⁡ α − 10

tg

2

⁡ α + 5

5

tg

4

⁡ α − 10

tg

2

⁡ α + 1

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},}

ctg

5 α

ctg ⁡ α

ctg

4

⁡ α − 10

ctg

2

⁡ α + 5

5

ctg

4

⁡ α − 10

ctg

2

⁡ α + 1

,

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},}

sin ⁡ ( n α )

2

n − 1

∏

k

0

n − 1

sin ⁡

(

α +

π k

n

)

{\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)}

Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

sin ⁡ ( n α )

∑

k

0

[ n

/

2 ]

( − 1

)

k

(

n

2 k + 1

)

cos

n − 2 k − 1

⁡ α

sin

2 k + 1

⁡ α ,

{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha ,\sin ^{2k+1}\alpha ,}

cos ⁡ ( n α )

∑

k

0

[ n

/

2 ]

( − 1

)

k

(

n

2 k

)

cos

n − 2 k

⁡ α

sin

2 k

⁡ α ,

{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha ,\sin ^{2k}\alpha ,}

t g

( n α )

sin ⁡ ( n α )

cos ⁡ ( n α )

=

∑

k

0

[ n

/

2 ]

( − 1

)

k

(

n

2 k + 1

)

t g

2 k + 1

α

∑

k

0

[ n

/

2 ]

( − 1

)

k

(

n

2 k

)

t g

2 k

α

,

{\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},}

c t g

( n α )

cos ⁡ ( n α )

sin ⁡ ( n α )

=

∑

k

0

[ n

/

2 ]

( − 1

)

k

(

n

2 k

)

c t g

n − 2 k

α

∑

k

0

[ n

/

2 ]

( − 1

)

k

(

n

2 k + 1

)

c t g

n − 2 k − 1

α

,

{\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},}

дзе

[ n ]

{\displaystyle [n]}

— цэлая частка ліку

n

{\displaystyle n}

,

(

n k

)

{\displaystyle {\binom {n}{k}}}

— біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

sin ⁡

α 2

=

1 − cos ⁡ α

2

,

0 ⩽ α ⩽ 2 π ,

{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,}

cos ⁡

α 2

=

1 + cos ⁡ α

2

,

− π ⩽ α ⩽ π ,

{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,}

tg

α 2

=

1 − cos ⁡ α

sin ⁡ α

=

sin ⁡ α

1 + cos ⁡ α

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}

ctg

α 2

=

sin ⁡ α

1 − cos ⁡ α

=

1 + cos ⁡ α

sin ⁡ α

,

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},}

tg

α 2

=

1 − cos ⁡ α

1 + cos ⁡ α

,

0 ⩽ α < π ,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,}

ctg

α 2

=

1 + cos ⁡ α

1 − cos ⁡ α

,

0 < α ⩽ π .

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .}

Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

sin ⁡ α sin ⁡ β

cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β )

2

,

{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}

sin ⁡ α cos ⁡ β

sin ⁡ ( α − β ) + sin ⁡ ( α + β )

2

,

{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},}

cos ⁡ α cos ⁡ β

cos ⁡ ( α − β ) + cos ⁡ ( α + β )

2

,

{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},}

tg

α

tg

β

cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β )

cos ⁡ ( α − β ) + cos ⁡ ( α + β )

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,\alpha ,\operatorname {tg} ,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},}

tg

α

ctg

β

sin ⁡ ( α − β ) + sin ⁡ ( α + β )

sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β )

,

{\displaystyle \operatorname {tg} ,\alpha ,\operatorname {ctg} ,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},}

ctg

α

ctg

β

cos ⁡ ( α − β ) + cos ⁡ ( α + β )

cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β )

.

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,\alpha ,\operatorname {ctg} ,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.}

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ

sin ⁡ ( α + β − γ ) + sin ⁡ ( β + γ − α ) + sin ⁡ ( α − β + γ ) − sin ⁡ ( α + β + γ )

4

,

{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}

sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ γ

− cos ⁡ ( α + β − γ ) + cos ⁡ ( β + γ − α ) + cos ⁡ ( α − β + γ ) − cos ⁡ ( α + β + γ )

4

,

{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}

sin ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ

sin ⁡ ( α + β − γ ) − sin ⁡ ( β + γ − α ) + sin ⁡ ( α − β + γ ) − sin ⁡ ( α + β + γ )

4

,

{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}

cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ

cos ⁡ ( α + β − γ ) + cos ⁡ ( β + γ − α ) + cos ⁡ ( α − β + γ ) + cos ⁡ ( α + β + γ )

4

.

{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}

Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

Ступені

$\{\displaystyle \sin ^\{2\}\alpha =\{\frac \{1-\cos 2\,\alpha \}\{2\}\},\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} ^\{2\}\,\alpha =\{\frac \{1-\cos 2\,\alpha \}\{1+\cos 2\,\alpha \}\},\}$
$\{\displaystyle \cos ^\{2\}\alpha =\{\frac \{1+\cos 2\,\alpha \}\{2\}\},\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} ^\{2\}\,\alpha =\{\frac \{1+\cos 2\,\alpha \}\{1-\cos 2\,\alpha \}\},\}$
$\{\displaystyle \sin ^\{3\}\alpha =\{\frac \{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha \}\{4\}\},\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} ^\{3\}\,\alpha =\{\frac \{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha \}\{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha \}\},\}$
$\{\displaystyle \cos ^\{3\}\alpha =\{\frac \{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha \}\{4\}\},\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} ^\{3\}\,\alpha =\{\frac \{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha \}\{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha \}\},\}$
$\{\displaystyle \sin ^\{4\}\alpha =\{\frac \{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3\}\{8\}\},\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} ^\{4\}\,\alpha =\{\frac \{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3\}\{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3\}\},\}$
$\{\displaystyle \cos ^\{4\}\alpha =\{\frac \{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3\}\{8\}\},\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} ^\{4\}\,\alpha =\{\frac \{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3\}\{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3\}\}.\}$

Сумы

sin ⁡ α ± sin ⁡ β

2 sin ⁡

α ± β

2

cos ⁡

α ∓ β

2

{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}

cos ⁡ α + cos ⁡ β

2 cos ⁡

α + β

2

cos ⁡

α − β

2

{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}

cos ⁡ α − cos ⁡ β

− 2 sin ⁡

α + β

2

sin ⁡

α − β

2

{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}

tg ⁡ α ± tg ⁡ β

sin ⁡ ( α ± β )

cos ⁡ α cos ⁡ β

{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}

ctg ⁡ α ± ctg ⁡ β

sin ⁡ ( β ± α )

sin ⁡ α sin ⁡ β

{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}

1 ± sin ⁡

2 α

= ( sin ⁡ α ± cos ⁡ α

)

2

.

{\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}.}

Для функцый ад аргумента

x

{\displaystyle x}

існуе прадстаўленне:

A sin ⁡   x + B cos ⁡   x

A

2

B

2

sin ⁡ ( x + ϕ ) ,

{\displaystyle A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}

дзе вугал

ϕ

{\displaystyle \phi }

вызначаецца з суадносін:

sin ⁡ ϕ

B

A

2

B

2

, cos ⁡ ϕ

A

A

2

B

2

.

{\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

sin ⁡ x

sin ⁡ x

1

=

2 sin ⁡

x 2

cos ⁡

x 2

sin

2

⁡

x 2

cos

2

⁡

x 2

=

2 tg ⁡

x 2

1 +

tg

2

⁡

x 2

{\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

cos ⁡ x

cos ⁡ x

1

=

cos

2

⁡

x 2

−

sin

2

⁡

x 2

cos

2

⁡

x 2

sin

2

⁡

x 2

=

1 −

tg

2

⁡

x 2

1 +

tg

2

⁡

x 2

{\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

tg ⁡   x

sin ⁡ x

cos ⁡ x

=

2 tg ⁡

x 2

1 −

tg

2

⁡

x 2

{\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

ctg ⁡   x

cos ⁡ x

sin ⁡ x

=

1 −

tg

2

⁡

x 2

2 tg ⁡

x 2

{\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}

sec ⁡ x

1

cos ⁡ x

=

1 +

tg

2

⁡

x 2

1 −

tg

2

⁡

x 2

{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

cosec ⁡   x

1

sin ⁡ x

=

1 +

tg

2

⁡

x 2

2 tg ⁡

x 2

{\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}

Вытворныя і першаісныя

Гл. таксама: Спіс інтэгралаў ад трыганаметрычных функцый Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

( sin ⁡ x

) ′

= cos ⁡ x ,

{\displaystyle (\sin x)’=\cos x,}

( cos ⁡ x

) ′

= − sin ⁡ x ,

{\displaystyle (\cos x)’=-\sin x,}

( tg ⁡ x

) ′

=

1

cos

2

⁡ x

,

{\displaystyle (\operatorname {tg} x)’={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}

( ctg ⁡ x

) ′

= −

1

sin

2

⁡ x

,

{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)’=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},}

( sec ⁡ x

) ′

=

sin ⁡ x

cos

2

⁡ x

,

{\displaystyle (\sec x)’={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},}

( cosec ⁡ x

) ′

= −

cos ⁡ x

sin

2

⁡ x

.

{\displaystyle (\operatorname {cosec} x)’=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.}

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

∫ sin ⁡ x

d x

− cos ⁡ x + C ,

{\displaystyle \int \sin x,dx=-\cos x+C,}

∫ cos ⁡ x

d x

sin ⁡ x + C ,

{\displaystyle \int \cos x,dx=\sin x+C,}

∫ tg ⁡ x

d x

− ln ⁡

|

cos ⁡ x

|

C ,

{\displaystyle \int \operatorname {tg} x,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C,}

∫ ctg ⁡ x

d x

ln ⁡

|

sin ⁡ x

|

C ,

{\displaystyle \int \operatorname {ctg} x,dx=\ln \left|\sin x\right|+C,}

∫ sec ⁡ x

d x

ln ⁡

|

tg ⁡

(

π 4

x 2

)

|

C ,

{\displaystyle \int \sec x,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C,}

∫ cosec ⁡ x

d x

ln ⁡

|

tg ⁡

x 2

|

C .

{\displaystyle \int \operatorname {cosec} x,dx=\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right|+C.}

Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

Азначэнне

Формула Эйлера:

e

i ϑ

= cos ⁡ ϑ + i sin ⁡ ϑ

{\displaystyle e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta }

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

sin ⁡ z

∑

n

0

∞

( − 1

)

n

( 2 n + 1 ) !

z

2 n + 1

=

e

i z

−

e

− i z

2 i

=

sh ⁡ i z

i

;

{\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};}

cos ⁡ z

∑

n

0

∞

( − 1

)

n

( 2 n ) !

z

2 n

=

e

i z

e

− i z

2

= ch ⁡ i z ;

{\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},=\operatorname {ch} iz;}

tg

z

sin ⁡ z

cos ⁡ z

=

e

i z

−

e

− i z

i (

e

i z

e

− i z

)

;

{\displaystyle \operatorname {tg} ,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};}

ctg

z

cos ⁡ z

sin ⁡ z

=

i (

e

i z

e

− i z

)

e

i z

−

e

− i z

;

{\displaystyle \operatorname {ctg} ,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};}

sec ⁡ z

1

cos ⁡ z

=

2

e

i z

e

− i z

;

{\displaystyle \sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};}

cosec

z

1

sin ⁡ z

=

2 i

e

i z

−

e

− i z

,

{\displaystyle \operatorname {cosec} ,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},,}

дзе

i

2

= − 1.

{\displaystyle i^{2}=-1.}

Адпаведна, для рэчаіснага x,

cos ⁡ x

Re ⁡ (

e

i x

) ,

{\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),}

sin ⁡ x

Im ⁡ (

e

i x

) .

{\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).}

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

sin ⁡ ( x + i y )

sin ⁡ x

ch ⁡ y + i cos ⁡ x

sh ⁡ y ,

{\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x,\operatorname {ch} y+i\cos x,\operatorname {sh} y,}

cos ⁡ ( x + i y )

cos ⁡ x

ch ⁡ y − i sin ⁡ x

sh ⁡ y .

{\displaystyle \cos(x+iy)=\cos x,\operatorname {ch} y-i\sin x,\operatorname {sh} y.}

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

• камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
• усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці

$\{\displaystyle \sin z\,\}$	$\{\displaystyle \cos z\,\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} z\,\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} z\,\}$	$\{\displaystyle \sec z\,\}$	$\{\displaystyle \operatorname \{cosec\} z\,\}$

Гісторыя назваў

Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

Гл. таксама

• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
• Гіпербалічныя функцыі
• Эліптычныя функцыі
• Інтэгральны сінус
• Інтэгральны косінус
• Рашэнне трохвугольнікаў
• Сінус-верзус
• Сферычная трыганаметрыя
• Функцыя Гудэрмана
• Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

Літаратура

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Трыганаметрычныя функцыі(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
• Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
• Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Трыганаметрыя
Катэгорыя·Элементарныя функцыі