wd wp Пошук: ⬜

Формула Эйлера

У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Формула Эйлера, значэнні.

Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці)

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ выконваецца наступная роўнасць:

i x

= cos ⁡ x + i sin ⁡ x

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

$\{\displaystyle e^\{ix\}=\cos x+i\sin x\}$ , дзе

{\displaystyle e}

$\{\displaystyle e\}$ — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай:

e

lim

x → ∞

(

1 +

1 x

)

{\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}

$\{\displaystyle e=\lim _\{x\to \infty \}\left(1+\{\frac \{1\}\{x\}\}\right)^\{x\}\}$ ,

{\displaystyle i}

$\{\displaystyle i\}$ — уяўная адзінка. Гісторыя

Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (лац.: Logometria), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе[1] і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (лац.: Harmonia mensurarum), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара[2]. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд[3]:

ln ⁡ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x )

i x .

{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.}

$\{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.\}$ Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (лац.: Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у Г. Весселя.

Вытворныя формулы

З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі

sin

{\displaystyle \sin }

$\{\displaystyle \sin \}$ і

cos

{\displaystyle \cos }

$\{\displaystyle \cos \}$ наступным чынам:

sin ⁡ x

i x

−

− i x

2 i

{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}

$\{\displaystyle \sin x=\{\frac \{e^\{ix\}-e^\{-ix\}\}\{2i\}\},\}$

cos ⁡ x

i x

− i x

{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}

$\{\displaystyle \cos x=\{\frac \{e^\{ix\}+e^\{-ix\}\}\{2\}\}.\}$ Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай

x

i y

{\displaystyle x=iy}

$\{\displaystyle x=iy\}$ , тады:

sin ⁡ i y

− y

−

2 i

= i

s h

y ,

{\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } ,y,}

$\{\displaystyle \sin iy=\{\frac \{e^\{-y\}-e^\{y\}\}\{2i\}\}=i\mathop \{\mathrm \{sh\} \} \,y,\}$

cos ⁡ i y

− y

c h

y .

{\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } ,y.}

$\{\displaystyle \cos iy=\{\frac \{e^\{-y\}+e^\{y\}\}\{2\}\}=\mathop \{\mathrm \{ch\} \} \,y.\}$ Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

i π

1

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

$\{\displaystyle e^\{i\pi \}+1=0\}$ з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры

x

{\displaystyle x=\pi }

$\{\displaystyle x=\pi \}$ .

Прымяненне ў камплексным аналізе

Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:

x

a + i b

( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ )

i φ

{\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }.}

$\{\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^\{i\varphi \}.\}$ Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:

x

i φ

{\displaystyle x=|x|e^{i\varphi }}

$\{\displaystyle x=|x|e^\{i\varphi \}\}$ ,

n i φ

{\displaystyle x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }.}

$\{\displaystyle x^\{n\}=|x|^\{n\}e^\{ni\varphi \}.\}$ Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ ў ступень

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ , а вугал павароту адносна восі

O X

{\displaystyle OX}

$\{\displaystyle OX\}$ павялічваецца ў

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ , але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

Узаемасувязь з трыганаметрыяй

Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

cos ⁡ x

R e

{

i x

}

i x

− i x

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}

$\{\displaystyle \cos x=\mathrm \{Re\} \\{e^\{ix\}\\}=\{e^\{ix\}+e^\{-ix\} \over 2\}\}$

sin ⁡ x

I m

{

i x

}

i x

−

− i x

2 i

{\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

$\{\displaystyle \sin x=\mathrm \{Im\} \\{e^\{ix\}\\}=\{e^\{ix\}-e^\{-ix\} \over 2i\}.\}$ Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

i x

= cos ⁡ x + i sin ⁡ x

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x;}

$\{\displaystyle e^\{ix\}=\cos x+i\sin x\;\}$

− i x

= cos ⁡ ( − x ) + i sin ⁡ ( − x )

cos ⁡ x − i sin ⁡ x

{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x;}

$\{\displaystyle e^\{-ix\}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;\}$ з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:

cos ⁡ ( i y )

− y

= cosh ⁡ ( y ) ,

{\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y),}

$\{\displaystyle \cos(iy)=\{e^\{-y\}+e^\{y\} \over 2\}=\cosh(y),\}$

sin ⁡ ( i y )

− y

−

2 i

= −

1 i

−

− y

= i sinh ⁡ ( y ) .

{\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).}

$\{\displaystyle \sin(iy)=\{e^\{-y\}-e^\{y\} \over 2i\}=-\{1 \over i\}\{e^\{y\}-e^\{-y\} \over 2\}=i\sinh(y).\}$ Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

(

i x

− i x

)

⋅

(

i y

− i y

)

1 2

⋅

i ( x + y )

i ( x − y )

i ( − x + y )

i ( − x − y )

1 2

[

i ( x + y )

− i ( x + y )

⏟

cos ⁡ ( x + y )

i ( x − y )

− i ( x − y )

⏟

cos ⁡ ( x − y )

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{aligned\}\cos x\cdot \cos y&=\{\frac \{(e^\{ix\}+e^\{-ix\})\}\{2\}\}\cdot \{\frac \{(e^\{iy\}+e^\{-iy\})\}\{2\}\}\\&=\{\frac \{1\}\{2\}\}\cdot \{\frac \{e^\{i(x+y)\}+e^\{i(x-y)\}+e^\{i(-x+y)\}+e^\{i(-x-y)\}\}\{2\}\}\\&=\{\frac \{1\}\{2\}\}\left[\underbrace \{\frac \{e^\{i(x+y)\}+e^\{-i(x+y)\}\}\{2\}\} _\{\cos(x+y)\}+\underbrace \{\frac \{e^\{i(x-y)\}+e^\{-i(x-y)\}\}\{2\}\} _\{\cos(x-y)\}\right].\end\{aligned\}\}\}$ Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

cos ⁡ ( n x )

R e

{

i n x

}

R e

{

i ( n − 1 ) x

⋅

i x

}

R e

{

i ( n − 1 ) x

⋅ (

i x

− i x

−

− i x

) }

R e

{

i ( n − 1 ) x

⋅

(

i x

− i x

)

⏟

2 cos ⁡ ( x )

−

i ( n − 2 ) x

}

= cos ⁡ [ ( n − 1 ) x ] ⋅ 2 cos ⁡ ( x ) − cos ⁡ [ ( n − 2 ) x ] .

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{aligned\}\cos(nx)&=\mathrm \{Re\} \\{\ e^\{inx\}\ \\}=\mathrm \{Re\} \\{\ e^\{i(n-1)x\}\cdot e^\{ix\}\ \\}\\&=\mathrm \{Re\} \\{\ e^\{i(n-1)x\}\cdot (e^\{ix\}+e^\{-ix\}-e^\{-ix\})\ \\}\\&=\mathrm \{Re\} \\{\ e^\{i(n-1)x\}\cdot \underbrace \{(e^\{ix\}+e^\{-ix\})\} _\{2\cos(x)\}-e^\{i(n-2)x\}\ \\}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end\{aligned\}\}\}$ Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).

Доказ

Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю

i x

{\displaystyle e^{ix}}

$\{\displaystyle e^\{ix\}\}$ у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ . Атрымаем:

i x

= 1 +

i x

1 !

( i x

)

2 !

( i x

)

3 !

…

(

1 −

2 !

4 !

−

6 !

…

)

(

1 !

−

3 !

5 !

−

7 !

…

)

{\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}

$\{\displaystyle e^\{ix\}=1+\{\frac \{ix\}\{1!\}\}+\{\frac \{(ix)^\{2\}\}\{2!\}\}+\{\frac \{(ix)^\{3\}\}\{3!\}\}+\ldots =\left(1-\{\frac \{x^\{2\}\}\{2!\}\}+\{\frac \{x^\{4\}\}\{4!\}\}-\{\frac \{x^\{6\}\}\{6!\}\}+\ldots \right)+i\left(\{\frac \{x\}\{1!\}\}-\{\frac \{x^\{3\}\}\{3!\}\}+\{\frac \{x^\{5\}\}\{5!\}\}-\{\frac \{x^\{7\}\}\{7!\}\}+\ldots \right)\}$

Але

1 −

2 !

4 !

−

6 !

…

cos ⁡ x

{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x}

$\{\displaystyle 1-\{\frac \{x^\{2\}\}\{2!\}\}+\{\frac \{x^\{4\}\}\{4!\}\}-\{\frac \{x^\{6\}\}\{6!\}\}+\ldots =\cos x\}$

1 !

−

3 !

5 !

−

7 !

…

sin ⁡ x

{\displaystyle {\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x}

$\{\displaystyle \{\frac \{x\}\{1!\}\}-\{\frac \{x^\{3\}\}\{3!\}\}+\{\frac \{x^\{5\}\}\{5!\}\}-\{\frac \{x^\{7\}\}\{7!\}\}+\ldots =\sin x\}$

Таму

i x

= cos ⁡ x + i sin ⁡ x

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

$\{\displaystyle e^\{ix\}=\cos x+i\sin x\}$ , што і трэба было даказаць.

Паказчыкавая форма камплекснага ліку

Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік

{\displaystyle z}

$\{\displaystyle z\}$ у трыганаметрычнай форме мае выгляд

z

r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ )

{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}

$\{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\}$ . Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем: