wd wp Пошук:

Ступенны рад

У матэматыцы, ступенны рад (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду

f ( x )

n

0

a

n

(

x − c

)

n

=

a

0

a

1

( x − c

)

1

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}}

\{\displaystyle f(x)=\sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n\}\left(x-c\right)^\{n\}=a_\{0\}+a_\{1\}(x-c)^\{1\}\}

a

2

( x − c

)

2

a

3

( x − c

)

3

{\displaystyle +a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }

\{\displaystyle +a_\{2\}(x-c)^\{2\}+a_\{3\}(x-c)^\{3\}+\cdots \} дзе an — каэфіцыент пры n-м ступенным члене, c — пастаянная, а x прымае значэнні каля c (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад цэнтраваны ў c). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.

У многіх задачах c раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від

f ( x )

n

0

a

n

x

n

=

a

0

a

1

x +

a

2

x

2

a

3

x

3

⋯ .

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}

\{\displaystyle f(x)=\sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n\}x^\{n\}=a_\{0\}+a_\{1\}x+a_\{2\}x^\{2\}+a_\{3\}x^\{3\}+\cdots .\} Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам x, роўным 1⁄10. У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

Прыклады

Паказчыкавая функцыя (сіняя), і сума першых n+1 членаў яе ступеннага рада Маклорэна (чырвоная).

Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра c, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен

f ( x )

x

2

2 x + 3

{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}

\{\displaystyle f(x)=x^\{2\}+2x+3\} можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта

c

0

{\displaystyle c=0}

\{\displaystyle c=0\}:

f ( x )

3 + 2 x + 1

x

2

0

x

3

0

x

4

{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots ,}

\{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^\{2\}+0x^\{3\}+0x^\{4\}+\cdots \,\} ці ў наваколлі пункта

c

1

{\displaystyle c=1}

\{\displaystyle c=1\}:

f ( x )

6 + 4 ( x − 1 ) + 1 ( x − 1

)

2

{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}

\{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^\{2\}\}

0 ( x − 1

)

3

0 ( x − 1

)

4

{\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots ,}

\{\displaystyle +0(x-1)^\{3\}+0(x-1)^\{4\}+\cdots \,\} ці ў наваколлі любога іншага пункта c.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі

1

1 − x

=

n

0

x

n

= 1 + x +

x

2

x

3

⋯ ,

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}

\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{1-x\}\}=\sum _\{n=0\}^\{\infty \}x^\{n\}=1+x+x^\{2\}+x^\{3\}+\cdots ,\} справядлівая пры

|

x

|

< 1

{\displaystyle |x|<1}

\{\displaystyle |x|<1\}, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з’яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі

e

x

=

n

0

x

n

n !

= 1 + x +

x

2

2 !

x

3

3 !

⋯ ,

{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}

\{\displaystyle e^\{x\}=\sum _\{n=0\}^\{\infty \}\{\frac \{x^\{n\}\}\{n!\}\}=1+x+\{\frac \{x^\{2\}\}\{2!\}\}+\{\frac \{x^\{3\}\}\{3!\}\}+\cdots ,\} і сінуса

sin ⁡ ( x )

n

0

( − 1

)

n

x

2 n + 1

( 2 n + 1 ) !

= x −

x

3

3 !

x

5

5 !

x

7

7 !

⋯ ,

{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}

\{\displaystyle \sin(x)=\sum _\{n=0\}^\{\infty \}\{\frac \{(-1)^\{n\}x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}\}=x-\{\frac \{x^\{3\}\}\{3!\}\}+\{\frac \{x^\{5\}\}\{5!\}\}-\{\frac \{x^\{7\}\}\{7!\}\}+\cdots ,\} справядлівыя для ўсіх рэчаісных x. Названыя рады таксама з’яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад

1 +

x

− 1

x

− 2

{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }

\{\displaystyle 1+x^\{-1\}+x^\{-2\}+\cdots \} не разглядаецца як ступенны (хаця з’яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад

x

1

/

2

{\displaystyle x^{1/2}}

\{\displaystyle x^\{1/2\}\}, таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты

a

n

{\displaystyle a_{n}}

\{\displaystyle a_\{n\}\} не павінны залежаць ад

x

{\displaystyle x}

\{\displaystyle x\}, таму, напрыклад, выраз:

sin ⁡ ( x ) x + sin ⁡ ( 2 x )

x

2

sin ⁡ ( 3 x )

x

3

{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots ,}

\{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^\{2\}+\sin(3x)x^\{3\}+\cdots \,\} не з’яўляецца ступенным радам.

Радыус збежнасці

Ступенны рад можа для адных значэнняў x збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады f(x) па ступенях (x-c) будуць збягацца ў пункце x = c. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае f(c) = a0, трэба прыняць па азначэнню, што 00 роўны 1.) Калі c — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік r, 0 < r ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |xc| < r і разбягаецца пры |xc| > r. Лік r называецца радыусам збежнасці ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як

r

lim inf

n → ∞

|

a

n

|

1 n

{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}

\{\displaystyle r=\liminf \{n\to \infty \}\left|a\{n\}\right|^\{-\{\frac \{1\}\{n\}\}\}\} ці, што раўназначна, як

r

− 1

=

lim sup

n → ∞

|

a

n

|

1 n

.

{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}

\{\displaystyle r^\{-1\}=\limsup \{n\to \infty \}\left|a\{n\}\right|^\{\frac \{1\}\{n\}\}.\} Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу

r

− 1

=

lim

n → ∞

|

a

n + 1

a

n

|

,

{\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|,}

\{\displaystyle r^\{-1\}=\lim \{n\to \infty \}\left|\{a\{n+1\} \over a_\{n\}\}\right|,\} калі яна існуе.

Рад збягаецца абсалютна пры |xc| < r і раўнамерна на любым кампактным падмностве круга збежнасці {x : |xc| < r}. Г. зн. рад абсалютна і кампактна збежны ўнутры круга збежнасці.

Пры |xc| = r у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных тэарэма Абеля сцвярджае, што сума рада непарыўная ў x, калі рад збягаецца ў x. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае c і x.

Аперацыі над ступеннымі радамі

Складанне і адыманне

Калі дзве функцыі f і g раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта c, ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:

f ( x )

n

0

a

n

( x − c

)

n

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}

\{\displaystyle f(x)=\sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n\}(x-c)^\{n\}\}

g ( x )

n

0

b

n

( x − c

)

n

{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}

\{\displaystyle g(x)=\sum \{n=0\}^\{\infty \}b\{n\}(x-c)^\{n\}\} то

f ( x ) ± g ( x )

n

0

(

a

n

±

b

n

) ( x − c

)

n

.

{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}

\{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum \{n=0\}^\{\infty \}(a\{n\}\pm b_\{n\})(x-c)^\{n\}.\}

Множанне і дзяленне

З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

f ( x ) g ( x )

(

n

0

a

n

( x − c

)

n

)

(

n

0

b

n

( x − c

)

n

)

{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}

\{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n\}(x-c)^\{n\}\right)\left(\sum \{n=0\}^\{\infty \}b\{n\}(x-c)^\{n\}\right)\}

=

i

0

j

0

a

i

b

j

( x − c

)

i + j

{\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}

\{\displaystyle =\sum \{i=0\}^\{\infty \}\sum \{j=0\}^\{\infty \}a\{i\}b\{j\}(x-c)^\{i+j\}\}

=

n

0

(

i

0

n

a

i

b

n − i

)

( x − c

)

n

.

{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}

\{\displaystyle =\sum \{n=0\}^\{\infty \}\left(\sum \{i=0\}^\{n\}a\{i\}b\{n-i\}\right)(x-c)^\{n\}.\} Паслядоўнасць

m

n

=

i

0

n

a

i

b

n − i

{\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}

\{\displaystyle m_\{n\}=\sum \{i=0\}^\{n\}a\{i\}b_\{n-i\}\} вядома як згортка паслядоўнасцей

a

n

{\displaystyle a_{n}}

\{\displaystyle a_\{n\}\} і

b

n

{\displaystyle b_{n}}

\{\displaystyle b_\{n\}\}.

Для дзелі маем:

f ( x )

g ( x )

=

n

0

a

n

( x − c

)

n

n

0

b

n

( x − c

)

n

=

n

0

d

n

( x − c

)

n

{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}

\{\displaystyle \{f(x) \over g(x)\}=\{\sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n\}(x-c)^\{n\} \over \sum \{n=0\}^\{\infty \}b\{n\}(x-c)^\{n\}\}=\sum \{n=0\}^\{\infty \}d\{n\}(x-c)^\{n\}\}

f ( x )

(

n

0

b

n

( x − c

)

n

)

(

n

0

d

n

( x − c

)

n

)

{\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}

\{\displaystyle f(x)=\left(\sum \{n=0\}^\{\infty \}b\{n\}(x-c)^\{n\}\right)\left(\sum \{n=0\}^\{\infty \}d\{n\}(x-c)^\{n\}\right)\} і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты d**n.

Дыферэнцаванне і інтэграванне

Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:

f ′

( x )

n

1

a

n

n

(

x − c

)

n − 1

=

n

0

a

n + 1

(

n + 1

)

(

x − c

)

n

{\displaystyle f’(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}

\{\displaystyle f&rsquo;(x)=\sum \{n=1\}^\{\infty \}a\{n\}n\left(x-c\right)^\{n-1\}=\sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n+1\}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^\{n\}\}

∫ f ( x )

d x

n

0

a

n

(

x − c

)

n + 1

n + 1

k

n

1

a

n − 1

(

x − c

)

n

n

k .

{\displaystyle \int f(x),dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}

\{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum \{n=0\}^\{\infty \}\{\frac \{a\{n\}\left(x-c\right)^\{n+1\}\}\{n+1\}\}+k=\sum \{n=1\}^\{\infty \}\{\frac \{a\{n-1\}\left(x-c\right)^\{n\}\}\{n\}\}+k.\} Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

Аналітычныя функцыі

Функцыя f, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве U мноства R ці C, называецца аналітычнаю, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта aU ёсць адкрытае наваколле VU, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам a, які збягаецца да f(x) для любога xV.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты a**n можна вылічыць па формуле

a

n

=

f

( n )

( c )

n !

{\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}

\{\displaystyle a_\{n\}=\{\frac \{f^\{\left(n\right)\}\left(c\right)\}\{n!\}\}\} дзе

f

( n )

( c )

{\displaystyle f^{(n)}(c)}

\{\displaystyle f^\{(n)\}(c)\}n-я вытворная функцыі f у пункце c, і

f

( 0 )

( c )

f ( c )

{\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}

\{\displaystyle f^\{(0)\}(c)=f(c)\}. Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі f і g дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве U, і існуе элемент cU, такі што f(n)(c) = g(n)(c) для ўсіх n ≥ 0, тады f(x) = g(x) для ўсіх xU.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці r, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі f, вызначаныя на мноствах, большых чым { x : |xc| < r }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік r з’яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць камплексны лік x на акружнасці |xc| = r, такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.

Раскладанне адваротнай да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні.

Фармальныя ступенныя рады

Асноўны артыкул: Фармальны ступенны рад У абстрактнай алгебры, імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся палямі рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця фармальнага ступеннага рада, вельмі карыснага ў алгебраічнай камбінаторыцы.

Ступенныя рады ад некалькіх зменных

Для мэт аналізу функцый многіх зменных неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, ступенны рад — гэта бесканечны рад віду

f (

x

1

, … ,

x

n

)

j

1

, … ,

j

n

= 0

a

j

1

, … ,

j

n

k

1

n

(

x

k

c

k

)

j

k

,

{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}

\{\displaystyle f(x_\{1\},\dots ,x_\{n\})=\sum \{j\{1\},\dots ,j_\{n\}=0\}^\{\infty \}a_\{j_\{1\},\dots ,j_\{n\}\}\prod \{k=1\}^\{n\}\left(x\{k\}-c_\{k\}\right)^\{j_\{k\}\},\} дзе j = (j1, …, j**n) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты a(j1,…,jn) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр c = (c1, …, c**n) і аргумент x = (x1, …, x**n) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як

f ( x )

α ∈

N

n

a

α

(

x − c

)

α

.

{\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}

\{\displaystyle f(x)=\sum \{\alpha \in \mathbb \{N\} ^\{n\}\}a\{\alpha \}\left(x-c\right)^\{\alpha \}.\} Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад

n

0

x

1

n

x

2

n

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}

\{\displaystyle \sum \{n=0\}^\{\infty \}x\{1\}^\{n\}x_\{2\}^\{n\}\} збягаецца абсалютна на мностве

{ (

x

1

,

x

2

) :

|

x

1

x

2

|

< 1 }

{\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}

\{\displaystyle \\{(x_\{1\},x_\{2\}):|x_\{1\}x_\{2\}|<1\\}\} паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад лагарыфмічна выпуклага мноства ў тым сэнсе, што мноства пунктаў

( log ⁡

|

x

1

|

, log ⁡

|

x

2

|

)

{\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}

\{\displaystyle (\log |x_\{1\}|,\log |x_\{2\}|)\}, дзе

(

x

1

,

x

2

)

{\displaystyle (x_{1},x_{2})}

\{\displaystyle (x_\{1\},x_\{2\})\} ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.

Гл. таксама

Літаратура

Спасылкі

Тэмы гэтай старонкі (5):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Камплексны аналіз
Катэгорыя·Матэматычныя рады
Катэгорыя·Рэчаісны аналіз
Катэгорыя·Аналіз функцый многіх зменных