У матэматыцы, ступенны рад (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду
∑
0
∞
a
n
(
x − c
)
n
=
a
0
a
1
( x − c
)
1
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}}
a
2
( x − c
)
2
a
3
( x − c
)
3
⋯
{\displaystyle +a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
дзе an — каэфіцыент пры n-м ступенным члене, c — пастаянная, а x прымае значэнні каля c (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад цэнтраваны ў c). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.
У многіх задачах c раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від
∑
0
∞
a
n
x
n
=
a
0
a
1
x +
a
2
x
2
a
3
x
3
⋯ .
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}
Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам x, роўным 1⁄10. У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.
Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра c, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен
x
2
2 x + 3
{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}
можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта
0
{\displaystyle c=0}
:
3 + 2 x + 1
x
2
0
x
3
0
x
4
⋯
{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots ,}
ці ў наваколлі пункта
1
{\displaystyle c=1}
:
6 + 4 ( x − 1 ) + 1 ( x − 1
)
2
{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}
0 ( x − 1
)
3
0 ( x − 1
)
4
⋯
{\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots ,}
ці ў наваколлі любога іншага пункта c.
Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.
Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі
1
1 − x
=
∑
0
∞
x
n
= 1 + x +
x
2
x
3
⋯ ,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}
справядлівая пры
|
x
|
< 1
{\displaystyle |x|<1}
, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.
Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з’яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі
e
x
=
∑
0
∞
x
n
n !
= 1 + x +
x
2
2 !
x
3
3 !
⋯ ,
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
і сінуса
∑
0
∞
( − 1
)
n
x
2 n + 1
( 2 n + 1 ) !
= x −
x
3
3 !
x
5
5 !
−
x
7
7 !
⋯ ,
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}
справядлівыя для ўсіх рэчаісных x.
Названыя рады таксама з’яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.
Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад
1 +
x
− 1
x
− 2
⋯
{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
не разглядаецца як ступенны (хаця з’яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад
x
1
/
2
{\displaystyle x^{1/2}}
, таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты
a
n
{\displaystyle a_{n}}
не павінны залежаць ад
x
{\displaystyle x}
, таму, напрыклад, выраз:
sin ( x ) x + sin ( 2 x )
x
2
sin ( 3 x )
x
3
⋯
{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots ,}
не з’яўляецца ступенным радам.
Ступенны рад можа для адных значэнняў x збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады f(x) па ступенях (x-c) будуць збягацца ў пункце x = c. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае f(c) = a0, трэба прыняць па азначэнню, што 00 роўны 1.) Калі c — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік r, 0 < r ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |x − c| < r і разбягаецца пры |x − c| > r. Лік r называецца радыусам збежнасці ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як
lim inf
n → ∞
|
a
n
|
−
1 n
{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}
ці, што раўназначна, як
r
− 1
=
lim sup
n → ∞
|
a
n
|
1 n
.
{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}
Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.
Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу
r
− 1
=
lim
n → ∞
|
a
n + 1
a
n
|
,
{\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|,}
калі яна існуе.
Рад збягаецца абсалютна пры |x − c| < r і раўнамерна на любым кампактным падмностве круга збежнасці {x : |x − c| < r}. Г. зн. рад абсалютна і кампактна збежны ўнутры круга збежнасці.
Пры |x − c| = r у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных тэарэма Абеля сцвярджае, што сума рада непарыўная ў x, калі рад збягаецца ў x. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае c і x.
Калі дзве функцыі f і g раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта c, ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:
∑
0
∞
a
n
( x − c
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}
∑
0
∞
b
n
( x − c
)
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}
то
∑
0
∞
(
a
n
±
b
n
) ( x − c
)
n
.
{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}
З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:
(
∑
0
∞
a
n
( x − c
)
n
)
(
∑
0
∞
b
n
( x − c
)
n
)
{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}
=
∑
0
∞
∑
0
∞
a
i
b
j
( x − c
)
i + j
{\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}
=
∑
0
∞
(
∑
0
n
a
i
b
n − i
)
( x − c
)
n
.
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}
Паслядоўнасць
m
n
=
∑
0
n
a
i
b
n − i
{\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}
вядома як згортка паслядоўнасцей
a
n
{\displaystyle a_{n}}
і
b
n
{\displaystyle b_{n}}
.
Для дзелі маем:
f ( x )
g ( x )
=
∑
0
∞
a
n
( x − c
)
n
∑
0
∞
b
n
( x − c
)
n
=
∑
0
∞
d
n
( x − c
)
n
{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}
(
∑
0
∞
b
n
( x − c
)
n
)
(
∑
0
∞
d
n
( x − c
)
n
)
{\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}
і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты d**n.
Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:
f ′
∑
1
∞
a
n
n
(
x − c
)
n − 1
=
∑
0
∞
a
n + 1
(
n + 1
)
(
x − c
)
n
{\displaystyle f’(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}
∫ f ( x )
∑
0
∞
a
n
(
x − c
)
n + 1
n + 1
∑
1
∞
a
n − 1
(
x − c
)
n
n
k .
{\displaystyle \int f(x),dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}
Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.
Функцыя f, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве U мноства R ці C, называецца аналітычнаю, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта a ∈ U ёсць адкрытае наваколле V ⊆ U, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам a, які збягаецца да f(x) для любога x ∈ V.
Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.
Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты a**n можна вылічыць па формуле
a
n
=
f
( n )
( c )
n !
{\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}
дзе
f
( n )
( c )
{\displaystyle f^{(n)}(c)}
— n-я вытворная функцыі f у пункце c, і
f
( 0 )
f ( c )
{\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}
. Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.
На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі f і g дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве U, і існуе элемент c∈U, такі што f(n)(c) = g(n)(c) для ўсіх n ≥ 0, тады f(x) = g(x) для ўсіх x ∈ U.
Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці r, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі f, вызначаныя на мноствах, большых чым { x : |x − c| < r }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік r з’яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць камплексны лік x на акружнасці |x − c| = r, такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.
Раскладанне адваротнай да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні.
Асноўны артыкул: Фармальны ступенны рад У абстрактнай алгебры, імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся палямі рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця фармальнага ступеннага рада, вельмі карыснага ў алгебраічнай камбінаторыцы.
Для мэт аналізу функцый многіх зменных неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, ступенны рад — гэта бесканечны рад віду
f (
x
1
, … ,
x
n
∑
j
1
, … ,
j
n
= 0
∞
a
j
1
, … ,
j
n
∏
1
n
(
x
k
−
c
k
)
j
k
,
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}
дзе j = (j1, …, j**n) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты
a(j1,…,jn) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр c = (c1, …, c**n) і аргумент x = (x1, …, x**n) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як
∑
α ∈
N
n
a
α
(
x − c
)
α
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}
Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад
∑
0
∞
x
1
n
x
2
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}
збягаецца абсалютна на мностве
{ (
x
1
,
x
2
) :
|
x
1
x
2
|
< 1 }
{\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}
паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад лагарыфмічна выпуклага мноства ў тым сэнсе, што мноства пунктаў
( log
|
x
1
|
, log
|
x
2
|
)
{\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}
, дзе
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})}
ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.