wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма косінусаў

Тэарэма косінусаў — адна з тэарэм геаметрыі, абагульненне тэарэмы Піфагора.

Тэарэма сцвярджае:

Квадрат стараны трохвугольніка роўны суме квадратаў дзвюх другіх старон без падвоенага здабытку гэтых старон на косінус вугла паміж імі.

Тое ж у выглядзе формулы:

Для трохвугольніка са старанамі a, b, c і вуглом α, процілеглым да стараны a, справядліва роўнасць: $\{\displaystyle a^\{2\}=b^\{2\}+c^\{2\}-2bc\cos \alpha .\}$

Доказ  

Разгледзім трохвугольнік ABC. З вяршыні C на старану AB апусцім вышыню CD. З трохвугольніка ADC маем:

A D

b cos ⁡ α ,

{\displaystyle AD=b\cos \alpha ,}

D B

c − b cos ⁡ α .

{\displaystyle DB=c-b\cos \alpha .}

Запішам тэарэму Піфагора для двух прамавугольных трохвугольнікаў ADC і BDC:

h

2

=

b

2

− ( b cos ⁡ α

)

2

( 1 )

{\displaystyle h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)}

h

2

=

a

2

− ( c − b cos ⁡ α

)

2

( 2 )

{\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)}

Прыраўняем правыя часткі ўраўненняў (1) і (2):

b

2

− ( b cos ⁡ α

)

2

=

a

2

− ( c − b cos ⁡ α

)

2

.

{\displaystyle b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}.}

Пасля пераўтварэнняў маем:

a

2

=

b

2

c

2

− 2 b c cos ⁡ α .

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .}

Выпадак, калі адзін з вуглоў пры аснове тупы (і вышыня падае на працяг асновы), цалкам аналагічны разгледжанаму.

Выразы для старон b і c:

b

2

=

a

2

c

2

− 2 a c cos ⁡ β ,

{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,}

c

2

=

a

2

b

2

− 2 a b cos ⁡ γ .

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}

Варыяцыі і абагульненні

• Тэарэмы косінусаў (Сферычная геаметрыя)
• Тэарэмы косінусаў (геаметрыя Лабачэўскага)

Гл. таксама

• Тэарэма Піфагора
• Тэарэма сінусаў
• Тэарэма сінусаў (Сферычная геаметрыя)

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Трыганаметрыя
Катэгорыя·Тэарэмы