wd wp Пошук: ⬜

Граніца функцыі

У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Граніца (матэматыка). Грані́ца фу́нкцыі, або лімі́т фу́нкцыі[1] — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання граніцы функцыі называецца грані́чным перахо́дам.

Калі функцыя f(x) мае граніцу A ў пункце a, гэта абазначаецца наступным чынам:

lim

x → a

f ( x )

A .

{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A.}

$\{\displaystyle \lim _\{x\to a\}f(x)=A.\}$ Азначэнне граніцы

(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)

Лік A называецца граніцаю функцыі f(x) пры імкненні x да a, калі для любога ліку ε > 0 існуе такі лік δ > 0, што для ўсіх x, якія задавальняюць умову

0 <

x − a

< δ ,

{\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,}

$\{\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,\}$ справядлівая няроўнасць

f ( x ) − A

< ε .

{\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .}

$\{\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .\}$ Або, кажучы словамі, функцыя мае граніцу A ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога ε > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад A больш чым на ε > 0.

Азначэнне праз граніцу паслядоўнасці (паводле Гейнэ)

Функцыя f мае ў пункце a канечную граніцу A, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці

(

)

n

∞

{\displaystyle \scriptstyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle \scriptstyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ , якая збягаецца да пункта a:

lim

n → ∞

= a ,

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}x\{n\}=a,\}$ адпаведная паслядоўнасць

(

f (

)

n

∞

{\displaystyle \scriptstyle \left(f(x_{n})\right)_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle \scriptstyle \left(f(x_\{n\})\right)_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ значэнняў функцыі збягаецца да A:

lim

n → ∞

f (

)

A .

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=A.}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}f(x\{n\})=A.\}$ Крытэрыі і прыкметы існавання канечнай граніцы

Крытэрый Кашы існавання канечнай граніцы

Функцыя f(x) мае ў пункце a канечную граніцу, калі і толькі калі для адвольнага ε > 0 існуе такое δ > 0, што для любых x1 і x2, узятых з δ-наваколля пункта a, спраўджваецца няроўнасць

f (

) − f (

)

< ε .

{\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}

$\{\displaystyle |f(x_\{1\})-f(x_\{2\})|<\varepsilon .\}$ Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне граніцы. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне граніцы, але нічога не кажа пра само гранічнае значэнне.

Уласцівасці

Калі існуюць канечныя граніцы

lim

x → a

f ( x )

{\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)}

$\{\displaystyle \scriptstyle \lim _\{x\to a\}f(x)\}$ і

lim

x → a

g ( x )

{\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}g(x)}

$\{\displaystyle \scriptstyle \lim _\{x\to a\}g(x)\}$ , тады справядлівыя сцвярджэнні:

Гранічны пераход з’яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе граніца лінейнай камбінацыі

lim

x → a

( λ f ( x ) + μ g ( x ) )

lim

x → a

f ( x ) + μ

lim

x → a

g ( x ) .

{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda \lim \limits _{x\to a}f(x)+\mu \lim \limits _{x\to a}g(x).}

$\{\displaystyle \lim \limits _\{x\to a\}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda \lim \limits _\{x\to a\}f(x)+\mu \lim \limits _\{x\to a\}g(x).\}$ Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

lim

x → a

( f ( x ) + g ( x ) )

lim

x → a

f ( x ) +

lim

x → a

g ( x ) ,

lim

x → a

( f ( x ) − g ( x ) )

lim

x → a

f ( x ) −

lim

x → a

g ( x ) .

{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to a}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)+\lim \limits _{x\to a}g(x),\\lim \limits _{x\to a}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)-\lim \limits _{x\to a}g(x).\end{matrix}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{matrix\}\lim \limits _\{x\to a\}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _\{x\to a\}f(x)+\lim \limits _\{x\to a\}g(x),\\\lim \limits _\{x\to a\}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _\{x\to a\}f(x)-\lim \limits _\{x\to a\}g(x).\end\{matrix\}\}\}$ 2) Існуе граніца здабытку гэтых функцый, прычым:

lim

x → a

( f ( x ) ⋅ g ( x ) )

lim

x → a

f ( x ) ⋅

lim

x → a

g ( x ) .

{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits _{x\to a}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to a}g(x).}

$\{\displaystyle \lim \limits _\{x\to a\}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits _\{x\to a\}f(x)\cdot \lim \limits _\{x\to a\}g(x).\}$ 3) Калі

lim

x → a

g ( x ) ≠ 0

{\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}g(x)\neq 0}

$\{\displaystyle \scriptstyle \lim _\{x\to a\}g(x)\neq 0\}$ , то існуе граніца дзелі, прычым:

lim

x → a

f ( x )

g ( x )

lim

x → a

f ( x )

lim

x → a

g ( x )

{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}.}

$\{\displaystyle \lim \limits _\{x\to a\}\{\frac \{f(x)\}\{g(x)\}\}=\{\frac \{\lim \limits _\{x\to a\}f(x)\}\{\lim \limits _\{x\to a\}g(x)\}\}.\}$ 4) Калі f(x) > 0 і

lim

x → a

f ( x ) ≠ 0

{\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to a}f(x)\neq 0}

$\{\displaystyle \scriptstyle \lim _\{x\to a\}f(x)\neq 0\}$ , то існуе граніца ступені, прычым:

lim

x → a

(

f ( x

)

g ( x )

)

(

lim

x → a

f ( x )

)

lim

x → a

g ( x )

{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)\right)^{\lim \limits _{x\to a}g(x)}.}

$\{\displaystyle \lim \limits _\{x\to a\}\left(f(x)^\{g(x)\}\right)=\left(\lim \limits _\{x\to a\}f(x)\right)^\{\lim \limits _\{x\to a\}g(x)\}.\}$ Гл. таксама

Зноскі

↑
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Граніцы
Катэгорыя·Матэматычны аналіз