wd wp Пошук: ⬜

Адваротная функцыя

Адваро́тная фу́нкцыя — функцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f ад аргумента x дае значэнне y, то яе адваротная функцыя g ад y дае x, г. зн. f(x) = y, і g(y) = x. Коратка гэта можна запісаць так: g(f(x)) = x.

Функцыю, адваротную да функцыі f, звычайна абазначаюць як f −1.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

Азначэнне

Функцыя

g : Y → X

{\displaystyle g:Y\to X}

$\{\displaystyle g:Y\to X\}$ з’яўляецца адваротнаю да функцыі

f : X → Y

{\displaystyle f:X\to Y}

$\{\displaystyle f:X\to Y\}$ , калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

f ( g ( y ) ) = y

{\displaystyle f(g(y))=y}

$\{\displaystyle f(g(y))=y\}$ для ўсіх

y ∈ Y ;

{\displaystyle y\in Y;}

$\{\displaystyle y\in Y;\}$

g ( f ( x ) ) = x

{\displaystyle g(f(x))=x}

$\{\displaystyle g(f(x))=x\}$ для ўсіх

x ∈ X .

{\displaystyle x\in X.}

$\{\displaystyle x\in X.\}$

Існаванне

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне

y

f ( x )

{\displaystyle y=f(x)}

$\{\displaystyle y=f(x)\}$ адносна

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ . Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ , не існуе. Такім чынам, функцыя

f ( x )

{\displaystyle f(x)}

$\{\displaystyle f(x)\}$ абарачальная на прамежку

( a , b )

{\displaystyle (a,b)}

$\{\displaystyle (a,b)\}$ тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін’ектыўная.

Для непарыўнай функцыі

F ( y )

{\displaystyle F(y)}

$\{\displaystyle F(y)\}$ выразіць

{\displaystyle y}

$\{\displaystyle y\}$ з ураўнення

x − F ( y )

{\displaystyle x-F(y)=0}

$\{\displaystyle x-F(y)=0\}$ можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя

F ( y )

{\displaystyle F(y)}

$\{\displaystyle F(y)\}$ манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад,

{\displaystyle {\sqrt {x}}}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{x\}\}\}$ з’яўляецца адваротнаю да

{\displaystyle x^{2}}

$\{\displaystyle x^\{2\}\}$ на

[ 0 , + ∞ )

{\displaystyle [0,+\infty )}

![{\displaystyle 0,+\infty )}, хоць на прамежку

( − ∞ , 0 ]

{\displaystyle (-\infty ,0]}

![{\displaystyle (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0241c015ef4c611c9c9aeafb395e7c4a16178405) адваротная функцыя іншая:

−

{\displaystyle -{\sqrt {x}}}

$\{\displaystyle -\{\sqrt \{x\}\}\}$ .

Прыклады

Калі

F :

→

F ( x )

{\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},;F(x)=a^{x}}

$\{\displaystyle F:\mathbb \{R\} \to \mathbb \{R\} _\{+\},\;F(x)=a^\{x\}\}$ , дзе

0 ,

{\displaystyle a>0,}

$\{\displaystyle a>0,\}$ то

− 1

( x )

log

⁡ x .

{\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}

$\{\displaystyle F^\{-1\}(x)=\log _\{a\}x.\}$

Калі

F ( x )

a x + b ,

x ∈

{\displaystyle F(x)=ax+b,;x\in \mathbb {R} }

$\{\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb \{R\} \}$ , дзе

a , b ∈

{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }

$\{\displaystyle a,b\in \mathbb \{R\} \}$ вызначаныя пастаянныя і

a ≠ 0

{\displaystyle a\neq 0}

$\{\displaystyle a\neq 0\}$ , то

− 1

( x )

x − b

{\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}

$\{\displaystyle F^\{-1\}(x)=\{\frac \{x-b\}\{a\}\}.\}$

Калі

F ( x )

, x ≥ 0 , n ∈

{\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }

$\{\displaystyle F(x)=x^\{n\},x\geq 0,n\in \mathbb \{Z\} \}$ , то

− 1

( x )

{\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}

$\{\displaystyle F^\{-1\}(x)=\{\sqrt[\{n\}]\{x\}\}.\}$

Уласцівасці

Вобласцю вызначэння

− 1

{\displaystyle F^{-1}}

$\{\displaystyle F^\{-1\}\}$ з’яўляецца мноства

{\displaystyle Y}

$\{\displaystyle Y\}$ , а вобласцю значэнняў — мноства

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ .

Па азначэнню маем:

y

F ( x ) ⇔ x

− 1

( y )

{\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}

$\{\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^\{-1\}(y)\}$ ці

(

− 1

( y )

)

= y ,

∀ y ∈ Y ,

{\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,;\forall y\in Y,}

$\{\displaystyle F\left(F^\{-1\}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y,\}$

− 1

( F ( x ) )

x ,

∀ x ∈ X ,

{\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,;\forall x\in X,}

$\{\displaystyle F^\{-1\}(F(x))=x,\;\forall x\in X,\}$ або карацей

F ∘

− 1

i d

{\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y},}

$\{\displaystyle F\circ F^\{-1\}=\mathrm \{id\} _\{Y\},\}$

− 1

∘ F

i d

{\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X},}

$\{\displaystyle F^\{-1\}\circ F=\mathrm \{id\} _\{X\},\}$ дзе

∘

{\displaystyle \circ }

$\{\displaystyle \circ \}$ абазначае кампазіцыю функцый, а

i d

{\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}

$\{\displaystyle \mathrm \{id\} _\{X\},\mathrm \{id\} _\{Y\}\}$ — тоесныя адлюстраванні на

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ і

{\displaystyle Y}

$\{\displaystyle Y\}$ адпаведна.

Функцыя

{\displaystyle F}

$\{\displaystyle F\}$ з’яўляецца адваротнаю да

− 1

{\displaystyle F^{-1}}

$\{\displaystyle F^\{-1\}\}$ :

(

− 1

)

− 1

= F

{\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}

$\{\displaystyle \left(F^\{-1\}\right)^\{-1\}=F\}$ .

Няхай

F : X ⊂

→ Y ⊂

{\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }

$\{\displaystyle F:X\subset \mathbb \{R\} \to Y\subset \mathbb \{R\} \}$ — біекцыя. Няхай

− 1

: Y → X

{\displaystyle F^{-1}:Y\to X}

$\{\displaystyle F^\{-1\}:Y\to X\}$ яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый

y

F ( x )

{\displaystyle y=F(x)}

$\{\displaystyle y=F(x)\}$ і

y

− 1

( x )

{\displaystyle y=F^{-1}(x)}

$\{\displaystyle y=F^\{-1\}(x)\}$ сіметрычныя адносна прамой

y

{\displaystyle y=x}

$\{\displaystyle y=x\}$ .

Раскладанне ў ступенны рад

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

− 1

( y )

∑

k

∞

(

)

( y − f (

)

k !

{\displaystyle F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}

$\{\displaystyle F^\{-1\}(y)=\sum \{k=0\}^\{\infty \}A\{k\}(x_\{0\})\{\frac \{(y-f(x_\{0\}))^\{k\}\}\{k!\}\},\}$ дзе каэфіцыенты

{\displaystyle A_{k}}

$\{\displaystyle A_\{k\}\}$ задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

( x )

{

( x )

x ,

n + 1

( x )

′

( x )

F ′

( x )

{\displaystyle A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x,\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}’(x)}{F’(x)}}.\end{cases}}}

$\{\displaystyle A_\{k\}(x)=\{\begin\{cases\}A_\{0\}(x)=x,\\A_\{n+1\}(x)=\{\frac \{A_\{n\}’(x)\}\{F’(x)\}\}.\end\{cases\}\}\}$ Гл. таксама

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Функцыі