Мнагачлен
Мнагачле́н, або мнагаскла́д[1], паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў[2], г.зн. складнікаў выгляду
a
k
1
,
k
2
, … ,
k
n
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
n
k
n
,
{\displaystyle a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{n}^{k_{n}},}
a
k
1
,
k
2
, … ,
k
n
{\displaystyle a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}
Мнагачлен ступені n ад адной зменнай x мае выгляд:
f ( x )
a
n
x
n
a
n − 1
x
n − 1
⋯ +
a
1
x +
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень). Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, x2 − x/4 + 7 − мнагачлен, а x2 − 4/x + 7x3/2 − не, таму што ягоны другі складнік (4/x) утрымлівае дзяленне на зменную x, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.
Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (лац.: polynomial); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.
Слова «паліном» (лац.: polynomial) было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет [3].
Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з’явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з’яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.
Віды
Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду
c
n
x
n
⋯ +
c
1
x +
c
0
,
{\displaystyle c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0},}
c
i
{\displaystyle c_{i}}
x
{\displaystyle x}
Прыклад:
x
10
15
x
7
− 11
x
5
{\displaystyle x^{10}+15x^{7}-11x^{5}+1.}
Мнагачлен ад k зменных − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду
c
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
x
1
i
1
x
2
i
2
…
x
k
i
k
,
{\displaystyle c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\ldots x_{k}^{i_{k}},}
c
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
{\displaystyle c_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}}
x
1
,
x
2
, …
x
k
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots x_{k}}
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
{\displaystyle i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}
Прыклад:
17 + 12 x − y −
x
2
16 x y + 5
y
7
{\displaystyle 17+12x-y-x^{2}+16xy+5y^{7}}
Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік
c
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
x
1
i
1
x
2
i
2
…
x
k
i
k
.
{\displaystyle c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\ldots x_{k}^{i_{k}}.}
Характарыстыкі
Ступенню адначлена
t
c
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
x
1
i
1
x
2
i
2
…
x
k
i
k
{\displaystyle t=c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\ldots x_{k}^{i_{k}}}
c
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
≠ 0
{\displaystyle c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}\neq 0}
deg ( t )
i
1
i
2
… +
i
k
{\displaystyle \deg(t)=i_{1}+i_{2}+\ldots +i_{k}}
У выпадку
c
i
1
,
i
2
, … ,
i
k
= 0
{\displaystyle c_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}=0}
deg ( 0 )
− ∞ .
{\displaystyle \deg(0)=-\infty .}
Прыклад:
deg ( 25
x
3
y
11
z )
{\displaystyle \deg(25x^{3}y^{11}z)=15.}
Ступенню мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.
Прыклад:
deg (
x
10
15
x
7
− 11
x
5
1 )
{\displaystyle \deg(x^{10}+15x^{7}-11x^{5}+1)=10.}
Простыя ўласцівасці
- Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
- Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
- Вытворная мнагачлена anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 роўная мнагачлену nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + … + 2a2x + a1.
Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:
( ( ⋯ ( (
a
n
x +
a
n − 1
) x +
a
n − 2
) x + ⋯ +
a
3
) x +
a
2
) x +
a
1
) x +
a
0
.
{\displaystyle ((\cdots ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}
Прыклады графікаў
Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.
- Графік нулявога мнагачлена
f(x) = 0 вось x.
- Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)
f(x) = a0, дзе a0 ≠ 0, лінія, паралельная восі x, якая перасякае вось y у пункце (0,a0).
- Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)
f(x) = a0 + a1x , дзе a1 ≠ 0, нахіленая прамая, што перасякае вось y у пункце (0,a0) і мае вуглавы каэфіцыент a1.
- Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратнага трохчлена)
f(x) = a0 + a1x + a2x2, дзе a2 ≠ 0 парабала.
- Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, дзе a3 ≠ 0 кубічная крывая.
- Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anx**n , дзе a**n ≠ 0 і n ≥ 2 з’яўляюцца непарыўнымі нелінейнымі крывымі.
Квадратны мнагачлен:
f(x) = x2 - x - 2
Кубічны мнагачлен:
f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2
Мнагачлен 4-й ступені:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) +
- 0.5
Мнагачлен 5-й ступені:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) +- 2
мнагачлен 6-й ступені:
f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1) ×
× (x-3)(x-4) + 2
Мнагачлен 7-й ступені:
f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)
Гл. таксама
Зноскі
- ↑
Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001. - ↑ БЭ ў 18 т. Т. 10. Мн., 2000.
- ↑
Florian Cajori. A History of Mathematics. — AMS, 1991. — ISBN 978-0-8218-2102-2.|
Літаратура
- Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
- В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
Катэгорыя·Мнагачлены