wd wp Пошук: ⬜

Геаметрычная прагрэсія

Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.

Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў b1, b2, b3, … (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік q ≠ 0 (назо́ўнік прагрэсіі)[1][2].

n − 1

q ,

n

2 , 3 , … .

{\displaystyle b_{n}=b_{n-1}q,\qquad n=2,3,\dots .}

$\{\displaystyle b_\{n\}=b_\{n-1\}q,\qquad n=2,3,\dots .\}$ Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі) называецца геаметры́чным ра́дам. Часта геаметрычным радам называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

a , a q , a

, a

, … ,

{\displaystyle a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \dots ,}

$\{\displaystyle a,\ aq,\ aq^\{2\},\ aq^\{3\},\ aq^\{4\},\ \dots ,\}$ дзе a — першы член геаметрычнай прагрэсіі, q ≠ 0 - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях геаметрычны рад мае выгляд:

a + a q + a

… .

{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots .}

$\{\displaystyle a+aq+aq^\{2\}+aq^\{3\}+aq^\{4\}+\dots .\}$ Апісанне

n-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

n − 1

{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad }

$\{\displaystyle b_\{n\}=b_\{1\}q^\{n-1\}\quad \}$ Калі

{\displaystyle b_{1}>0}

$\{\displaystyle b_\{1\}>0\}$ і

{\displaystyle q>1}

$\{\displaystyle q>1\}$ , прагрэсія з’яўляецца нарастаючай паслядоўнасцю, калі

0 < q < 1

{\displaystyle 0<q<1}

$\{\displaystyle 0<q<1\}$ , — спадаючай паслядоўнасцю, а пры

q < 0

{\displaystyle q<0}

$\{\displaystyle q<0\}$ — знакачаргавальнай[2].

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці:

n − 1

n + 1

{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

$\{\displaystyle |b_\{n\}|=\{\sqrt \{b_\{n-1\}b_\{n+1\}\}\},\}$ гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

Уласцівасці

Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі яны вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію

Доказ Няхай

log

⁡

{\displaystyle w_{n}=\log _{p}b_{n}\ }

$\{\displaystyle w_\{n\}=\log \{p\}b\{n\}\ \}$ . Тады для любога n > 1

n − 1

n + 1

log

⁡

n − 1

log

⁡

n + 1

log

⁡

n − 2

log

⁡

log

⁡ (

2 n − 2

)

2 ⋅

log

⁡

n − 1

log

⁡

{\displaystyle {\frac {w_{n-1}+w_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{n-1}+\log _{p}b_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{1}q^{n-2}+\log _{p}b_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log _{p}(b_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log _{p}b_{1}q^{n-1}}{2}}=\log _{p}b_{n}=w_{n}}

$\{\displaystyle \{\frac \{w_\{n-1\}+w_\{n+1\}\}\{2\}\}=\{\frac \{\log \{p\}b\{n-1\}+\log \{p\}b\{n+1\}\}\{2\}\}=\{\frac \{\log \{p\}b\{1\}q^\{n-2\}+\log \{p\}b\{1\}q^\{n\}\}\{2\}\}=\{\frac \{\log \{p\}(b\{1\}^\{2\}q^\{2n-2\})\}\{2\}\}=\{\frac \{2\cdot \log \{p\}b\{1\}q^\{n-1\}\}\{2\}\}=\log \{p\}b\{n\}=w_\{n\}\}$ Атрыманая роўнасць ёсць адметнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі.

Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі:

n − i

n + i

0 ≤ i < n

{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i},\qquad 0\leq i<n}

$\{\displaystyle b_\{n\}^\{2\}=b_\{n-i\}b_\{n+i\},\qquad 0\leq i<n\}$ Доказ

n − 1

n − 1 − i

n − 1 + i

n − i

n + i

{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}}

$\{\displaystyle b_\{n\}^\{2\}=b_\{n\}b_\{n\}=b_\{1\}q^\{n-1\}b_\{1\}q^\{n-1\}=b_\{1\}q^\{n-1-i\}b_\{1\}q^\{n-1+i\}=b_\{n-i\}b_\{n+i\}\}$

Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

= (

⋅

)

n 2

{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}

$\{\displaystyle P_\{n\}=(b_\{1\}\cdot b_\{n\})^\{\frac \{n\}\{2\}\}\}$ Доказ

∏

i

∏

i

i − 1

∏

i

i − 1

n 2

n ( 0 + ( n − 1 ) )

= (

n − 1

)

n 2

= (

)

n 2

{\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}}

$\{\displaystyle P_\{n\}=\prod \{i=1\}^\{n\}b\{i\}=\prod \{i=1\}^\{n\}b\{1\}q^\{i-1\}=b_\{1\}^\{n\}\prod \{i=1\}^\{n\}q^\{i-1\}=b\{1\}^\{\frac \{n\}\{2\}\}b_\{1\}^\{\frac \{n\}\{2\}\}q^\{\frac \{n(0+(n-1))\}\{2\}\}=(b_\{1\}b_\{1\}q^\{n-1\})^\{\frac \{n\}\{2\}\}=(b_\{1\}b_\{n\})^\{\frac \{n\}\{2\}\}\}$

Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад k да n можна вылічыць па формуле:

k , n

k − 1

{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}

$\{\displaystyle P_\{k,n\}=\{\frac \{P_\{n\}\}\{P_\{k-1\}\}\}\}$ Доказ

k , n

∏

i

∏

i

∏

j

k − 1

{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}

$\{\displaystyle P_\{k,n\}=\prod \{i=k\}^\{n\}b\{i\}=\{\frac \{\prod \{i=1\}^\{n\}b\{i\}\}\{\prod \{j=1\}^\{k-1\}b\{j\}\}\}=\{\frac \{P_\{n\}\}\{P_\{k-1\}\}\}\}$

Сума n першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:

∑

i

{

1 −

1 − q

q ≠ 1 ,

q

{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\begin{cases}b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}},&q\neq 1,\nb_{1},&q=1.\end{cases}}}

$\{\displaystyle S_\{n\}=\sum \{i=1\}^\{n\}b\{i\}=\{\begin\{cases\}b_\{1\}\{\frac \{1-q^\{n\}\}\{1-q\}\},&q\neq 1,\\nb_\{1\},&q=1.\end\{cases\}\}\}$ Доказ

Праз пераўтварэнні сумы:

∑

i

i − 1

∑

i

i − 1

∑

i

i − 2

∑

i

n − 1

i − 1

∑

i

i − 1

−

= q

( 1 −

)

{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}=qS_{n}+b_{1}(1-q^{n})}

$\{\displaystyle S_\{n\}=\sum \{i=1\}^\{n\}b\{1\}q^\{i-1\}=b_\{1\}+\sum \{i=2\}^\{n\}b\{1\}q^\{i-1\}=b_\{1\}+q\sum \{i=2\}^\{n\}b\{1\}q^\{i-2\}=b_\{1\}+q\sum \{i=1\}^\{n-1\}b\{1\}q^\{i-1\}=b_\{1\}+q\sum \{i=1\}^\{n\}b\{1\}q^\{i-1\}-b_\{1\}q^\{n\}=qS_\{n\}+b_\{1\}(1-q^\{n\})\}$ Адсюль вынікае

( 1 − q )

( 1 −

) .

{\displaystyle (1-q)S_{n}=b_{1}(1-q^{n}).}

$\{\displaystyle (1-q)S_\{n\}=b_\{1\}(1-q^\{n\}).\}$

індукцыяй па n:

n

1 :

∑

i

1 −

1 − q

{\displaystyle n=1:S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}}

$\{\displaystyle n=1:S_\{1\}=\sum \{i=1\}^\{1\}b\{i\}=b_\{1\}=b_\{1\}\{\frac \{1-q^\{1\}\}\{1-q\}\}\}$

n → n + 1 :

n + 1

∑

i

n + 1

∑

i

n + 1

1 −

1 − q

(

1 −

1 − q

)

(

1 −

−

n + 1

1 − q

)

1 −

n + 1

1 − q

{\displaystyle n\rightarrow n+1:S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}

$\{\displaystyle n\rightarrow n+1:S_\{n+1\}=\sum \{i=1\}^\{n+1\}b\{i\}=\sum \{i=1\}^\{n\}b\{i\}+b_\{n+1\}=b_\{1\}\{\frac \{1-q^\{n\}\}\{1-q\}\}+b_\{1\}q^\{n\}=b_\{1\}\left(\{\frac \{1-q^\{n\}\}\{1-q\}\}+q^\{n\}\right)=b_\{1\}\left(\{\frac \{1-q^\{n\}+q^\{n\}-q^\{n+1\}\}\{1-q\}\}\right)=b_\{1\}\{\frac \{1-q^\{n+1\}\}\{1-q\}\}\}$

Геаметрычны рад

Геаметры́чны ра́д — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі. У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:

a + a q + a

…

{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots }

$\{\displaystyle a+aq+aq^\{2\}+aq^\{3\}+aq^\{4\}+\dots \}$ або

∑

k

∞

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}.}

$\{\displaystyle \sum _\{k=0\}^\{\infty \}aq^\{k\}.\}$ Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі |q| < 1. Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум S**n:

∑

k

∞

lim

n → ∞

∑

k

lim

n → ∞

1 −

1 − q

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}aq^{k}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}

$\{\displaystyle \sum _\{k=0\}^\{\infty \}aq^\{k\}=\lim _\{n\to \infty \}\sum _\{k=0\}^\{n\}aq^\{k\}=\lim _\{n\to \infty \}a\{\frac \{1-q^\{n\}\}\{1-q\}\}.\}$ А раз |q| < 1, то велічыня q**n імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні n. Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:

a + a q + a

⋯

1 − q

{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots ={\frac {a}{1-q}}.}

$\{\displaystyle a+aq+aq^\{2\}+aq^\{3\}+aq^\{4\}+\dots =\{\frac \{a\}\{1-q\}\}.\}$ Калі ж |q| ≥ 1, геаметрычны рад разбягаецца.

Перыядычныя дзесятковыя дробы

Гл. таксама: Дзесятковы дроб Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне. Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада. Справядліва наступная тэарэма:

Бясконцы дзесятковы дроб з'яўляецца перыядычным, калі і толькі калі гэта запіс пэўнага рацыянальнага ліку (г.зн. нейкага звычайнага дробу).

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:

( 7 )

0,777 77 ⋯

7 + 0

07 + 0,007 + ⋯

1 10

(

1 10

)

(

1 10

)

⋯

7 10

1 −

1 10

7 9

{\displaystyle 0{,}(7)=0{,}77777\dots =0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots =7{\frac {1}{10}}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {7}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {7}{9}}}

$\{\displaystyle 0\{,\}(7)=0\{,\}77777\dots =0\{,\}7+0\{,\}07+0\{,\}007+\dots =7\{\frac \{1\}\{10\}\}+7\left(\{\frac \{1\}\{10\}\}\right)^\{2\}+7\left(\{\frac \{1\}\{10\}\}\right)^\{3\}+\dots =\{\frac \{\frac \{7\}\{10\}\}\{1-\{\frac \{1\}\{10\}\}\}\}=\{\frac \{7\}\{9\}\}\}$

( 9 )

0,999 99 ⋯

9 + 0

09 + 0,009 + ⋯

1 10

(

1 10

)

(

1 10

)

⋯

9 10

1 −

1 10

9 9

= 1

{\displaystyle 0{,}(9)=0{,}99999\dots =0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots =9{\frac {1}{10}}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{9}}=1}

$\{\displaystyle 0\{,\}(9)=0\{,\}99999\dots =0\{,\}9+0\{,\}09+0\{,\}009+\dots =9\{\frac \{1\}\{10\}\}+9\left(\{\frac \{1\}\{10\}\}\right)^\{2\}+9\left(\{\frac \{1\}\{10\}\}\right)^\{3\}+\dots =\{\frac \{\frac \{9\}\{10\}\}\{1-\{\frac \{1\}\{10\}\}\}\}=\{\frac \{9\}\{9\}\}=1\}$

( 143 )

0,143 143 ⋯

0,143 + 0,000 143 + 0,000 000143 + ⋯

143

1 1000

143

(

1 1000

)

143

(

1 1000

)

⋯

143 1000

1 −

1 1000

143 999

{\displaystyle 0{,}(143)=0{,}143143\dots =0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots =143{\frac {1}{1000}}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{2}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {143}{1000}}{1-{\frac {1}{1000}}}}={\frac {143}{999}}}

$\{\displaystyle 0\{,\}(143)=0\{,\}143143\dots =0\{,\}143+0\{,\}000143+0\{,\}000000143+\dots =143\{\frac \{1\}\{1000\}\}+143\left(\{\frac \{1\}\{1000\}\}\right)^\{2\}+143\left(\{\frac \{1\}\{1000\}\}\right)^\{3\}+\dots =\{\frac \{\frac \{143\}\{1000\}\}\{1-\{\frac \{1\}\{1000\}\}\}\}=\{\frac \{143\}\{999\}\}\}$

85 ( 3 )

0,853 33 ⋯

85 + 0,003 + 0,000 3 + ⋯

85 100

3 1000

⋅

1 10

3 1000

(

1 10

)

⋯

17 20

3 1000

1 −

1 10

17 20

1 300

64 75

{\displaystyle 0{,}85(3)=0{,}85333\dots =0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots ={\frac {85}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac {3}{1000}}\cdot {\frac {1}{10}}+{\frac {3}{1000}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+\dots ={\frac {17}{20}}+{\frac {\frac {3}{1000}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {17}{20}}+{\frac {1}{300}}={\frac {64}{75}}}

$\{\displaystyle 0\{,\}85(3)=0\{,\}85333\dots =0\{,\}85+0\{,\}003+0\{,\}0003+\dots =\{\frac \{85\}\{100\}\}+\{\frac \{3\}\{1000\}\}+\{\frac \{3\}\{1000\}\}\cdot \{\frac \{1\}\{10\}\}+\{\frac \{3\}\{1000\}\}\left(\{\frac \{1\}\{10\}\}\right)^\{2\}+\dots =\{\frac \{17\}\{20\}\}+\{\frac \{\frac \{3\}\{1000\}\}\{1-\{\frac \{1\}\{10\}\}\}\}=\{\frac \{17\}\{20\}\}+\{\frac \{1\}\{300\}\}=\{\frac \{64\}\{75\}\}\}$ Прыклады геаметрычных прагрэсій

Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата[3].
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
π , π , π , π

{\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi }

$\{\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi \}$ — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

Гл. таксама

Зноскі

↑ БЭ ў 18 т. Т. 5.
1 2
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
↑
Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Рады і паслядоўнасці
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Арыфметыка
Катэгорыя·Элементарная матэматыка