wd wp Пошук: ⬜

Рад Ларана

Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях

( z − a )

{\displaystyle (z-a)}

$\{\displaystyle (z-a)\}$ над полем камплексных лікаў:

∑

n ∈

( z − a

)

{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}(z-a)^{n},}

$\{\displaystyle \sum \{n\in \mathbb \{Z\} \}a\{n\}(z-a)^\{n\},\}$ дзе

z ,

, a ∈

{\displaystyle z,a_{n},a\in \mathbb {C} .}

$\{\displaystyle z,a_\{n\},a\in \mathbb \{C\} .\}$

Гэты рад з’яўляецца сумай двух радоў:

n

∞

( z − a

)

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}

$\{\displaystyle \sum \{n=0\}^\{\infty \}a\{n\}(z-a)^\{n\}\}$ — неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і 2. ∑

n

− ∞

− 1

( z − a

)

{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{a_{n}}{(z-a)^{n}}}

$\{\displaystyle \sum \{n=-\infty \}^\{-1\}\{a\{n\}\}\{(z-a)^\{n\}\}\}$ — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.

Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.

Уласцівасці

Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца

D

{ z ∈

∣ r <

z − a

< R < ∞ }

{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R<\infty \}}

$\{\displaystyle D=\\{z\in \mathbb \{C\} \mid r<|z-a|<R<\infty \\}\}$

Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці

{\displaystyle D}

$\{\displaystyle D\}$ рад Ларана сыходзіцца абсалютна;

Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
На любым кампактным падмностве

K ⊂ D

{\displaystyle K\subset D}

$\{\displaystyle K\subset D\}$ рад збягаецца раўнамерна;

Сума рада Ларана ў

{\displaystyle D}

$\{\displaystyle D\}$ ёсць аналітычная функцыя

f ( z )

{\displaystyle f(z)}

$\{\displaystyle f(z)\}$ ;

Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у

{\displaystyle D}

$\{\displaystyle D\}$ пачленна;

Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у

{\displaystyle D}

$\{\displaystyle D\}$ , то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.

Каэфіцыенты

{\displaystyle a_{n}}

$\{\displaystyle a_\{n\}\}$ рада Ларана вызначаюцца праз яго суму

f ( z )

{\displaystyle f(z)}

$\{\displaystyle f(z)\}$ формуламі

2 π i

∫

f ( z )

d z

( z − a

)

n + 1

{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z),dz}{(z-a)^{n+1}}},}

$\{\displaystyle a_\{n\}=\{\frac \{1\}\{2\pi i\}\}\int \limits _\{\gamma \}\{\frac \{f(z)\,dz\}\{(z-a)^\{n+1\}\}\},\}$ дзе

γ ( t )

a + ρ

i t

{\displaystyle \gamma (t)=a+\rho e^{it}}

$\{\displaystyle \gamma (t)=a+\rho e^\{it\}\}$ ,

t ∈ [ 0 , 2 π ]

{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}

$\{\displaystyle t\in [0,2\pi ]\}$ ,

r < ρ < R

{\displaystyle r<\rho <R}

$\{\displaystyle r<\rho <R\}$ — любая акружнасць з цэнтрам a, размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці. Тэарэма Ларана

Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:

Любую адназначную аналітычную функцыю

f ( z )

{\displaystyle f(z)}

$\{\displaystyle f(z)\}$ у колцы

D

{ z ∈

: r <

z − a

< R < ∞ }

{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :r<|z-a|<R<\infty \}}

$\{\displaystyle D=\\{z\in \mathbb \{C\} :r<|z-a|<R<\infty \\}\}$ можна прадставіць у

{\displaystyle D}

$\{\displaystyle D\}$ збежным радам Ларана.

У тым ліку, у праколатым наваколлі

D

{ z ∈

: 0 <

z − a

< R < ∞ }

{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :0<|z-a|<R<\infty \}}

$\{\displaystyle D=\\{z\in \mathbb \{C\} :0<|z-a|<R<\infty \\}\}$ ізаляванага асаблівага пункта

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ адназначная аналітычная функцыя

f ( z )

{\displaystyle f(z)}

$\{\displaystyle f(z)\}$ прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.

Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:

Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.

Літаратура

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Рады
Катэгорыя·Камплексны аналіз