wd wp Пошук: ⬜

Непарыўны дроб

Непары́ўны дроб (або ланцуго́вы дроб) — гэта матэматычны выраз віду

[

;

, ⋯ ]

…

{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}};}

$\{\displaystyle [a_\{0\};a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\cdots ]=a_\{0\}+\{\cfrac \{1\}\{a_\{1\}+\{\cfrac \{1\}\{a_\{2\}+\{\cfrac \{1\}\{a_\{3\}+\ldots \}\}\}\}\}\}\;\}$ дзе a0 ёсць цэлы лік, і ўсе астатнія a**n — натуральныя лікі (дадатныя цэлыя).

Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе непарыўнага дробу (канечнага ці бесканечнага). Лік можна прадставіць канечным ланцуговым дробам тады і толькі тады(руск.) бел., калі ён рацыянальны. Лік можна прадставіць перыядычным ланцуговым дробам тады і толькі тады, калі ён ёсць квадратычная ірацыянальнасць.

Раскладанне ў непарыўны дроб

Любы рэчаісны лік

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ можна прадставіць (канечным ці бесканечным, перыядычным ці неперыядычным) ланцуговым дробам

[

;

, ⋯ ]

{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}

$\{\displaystyle [a_\{0\};a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\cdots ]\}$ , дзе

= ⌊ x ⌋ ,

= x −

{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,x_{0}=x-a_{0},}

$\{\displaystyle a_\{0\}=\lfloor x\rfloor ,x_\{0\}=x-a_\{0\},\}$

⌊

⌋

−

{\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},}

$\{\displaystyle a_\{1\}=\left\lfloor \{\frac \{1\}\{x_\{0\}\}\}\right\rfloor ,x_\{1\}=\{\frac \{1\}\{x_\{0\}\}\}-a_\{1\},\}$

…

{\displaystyle \dots }

$\{\displaystyle \dots \}$

⌊

n − 1

⌋

n − 1

−

{\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},}

$\{\displaystyle a_\{n\}=\left\lfloor \{\frac \{1\}\{x_\{n-1\}\}\}\right\rfloor ,x_\{n\}=\{\frac \{1\}\{x_\{n-1\}\}\}-a_\{n\},\}$

…

{\displaystyle \dots }

$\{\displaystyle \dots \}$ дзе

⌊ x ⌋

{\displaystyle \lfloor x\rfloor }

$\{\displaystyle \lfloor x\rfloor \}$ абазначае цэлую частку(руск.) бел. ліку

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ .

Для рацыянальнага ліку

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ гэта раскладанне абарвецца па дасягненні нулявога

{\displaystyle x_{n}}

$\{\displaystyle x_\{n\}\}$ для некаторага n. У гэтым выпадку

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ прадстаўляецца канечным непарыўным дробам

x

[

;

, ⋯ ,

]

{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}

$\{\displaystyle x=[a_\{0\};a_\{1\},\cdots ,a_\{n\}]\}$ .

Для ірацыянальнага

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ усе велічыні

{\displaystyle x_{n}}

$\{\displaystyle x_\{n\}\}$ будуць ненулявыя і працэс раскладання можна працягваць без канца. У гэтым выпадку

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ прадстаўляецца бесканечным ланцуговым дробам

x

[

;

, ⋯ ]

{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}

$\{\displaystyle x=[a_\{0\};a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\cdots ]\}$ .

Каб хутка раскласці рацыянальны лік у ланцуговы дроб, можна скарыстаць алгарытм Еўкліда.

Падыходныя дробы

n-ым падыходным дробам (або падыходзячым дробам) для ланцуговага дробу

x

[

;

, ⋯ ]

{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}

$\{\displaystyle x=[a_\{0\};a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\cdots ]\}$ называецца канечны ланцуговы дроб

[

;

, ⋯ ,

]

{\displaystyle [a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}

$\{\displaystyle [a_\{0\};a_\{1\},\cdots ,a_\{n\}]\}$ . Значэнне падыходнага дробу раўняецца некатораму рацыянальнаму ліку

{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{p_\{n\}\}\{q_\{n\}\}\}\}$ . Падыходзячыя дробы з цотнымі нумарамі ўтвараюць нарастаючую паслядоўнасць, граніца якой роўная

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ . Аналагічна, падыходзячыя дробы з няцотнымі нумарамі ўтвараюць спадаючую паслядоўнасць, граніца якой таксама роўная

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ .

Эйлер вывеў зваротныя формулы(англ.) бел. для вылічэння лічнікаў і назоўнікаў падыходных дробаў:

− 1

= 1 ,

n − 1

n − 2

;

{\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}

$\{\displaystyle p_\{-1\}=1,\quad p_\{0\}=a_\{0\},\quad p_\{n\}=a_\{n\}p_\{n-1\}+p_\{n-2\};\}$

− 1

= 0 ,

= 1 ,

n − 1

n − 2

{\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}

$\{\displaystyle q_\{-1\}=0,\quad q_\{0\}=1,\quad q_\{n\}=a_\{n\}q_\{n-1\}+q_\{n-2\}.\}$ Такім чынам, велічыні

{\displaystyle p_{n}}

$\{\displaystyle p_\{n\}\}$ і

{\displaystyle q_{n}}

$\{\displaystyle q_\{n\}\}$ прадстаўляюцца значэннямі кантынуантаў(англ.) бел.:

n + 1

(

, ⋯ ,

)

{\displaystyle p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n})}

$\{\displaystyle p_\{n\}=K_\{n+1\}(a_\{0\},a_\{1\},\cdots ,a_\{n\})\}$

(

, ⋯ ,

)

{\displaystyle q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}

$\{\displaystyle q_\{n\}=K_\{n\}(a_\{1\},a_\{2\},\cdots ,a_\{n\})\}$ Паслядоўнасці

{

}

{\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}

$\{\displaystyle \left\\{p_\{n\}\right\\}\}$ і

{

}

{\displaystyle \left\{q_{n}\right\}}

$\{\displaystyle \left\\{q_\{n\}\right\\}\}$ нарастаюць.

Лічнікі і назоўнікі суседніх падыходных дробаў звязаны суадносінамі:

n − 1

−

n − 1

= ( − 1

)

n − 1

{\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1},}

$\{\displaystyle p_\{n\}q_\{n-1\}-q_\{n\}p_\{n-1\}=(-1)^\{n-1\},\}$ (1) якія можна перапісаць у выглядзе

−

n − 1

( − 1

)

n − 1

{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{p_\{n\}\}\{q_\{n\}\}\}-\{\frac \{p_\{n-1\}\}\{q_\{n-1\}\}\}=\{\frac \{(-1)^\{n-1\}\}\{q_\{n-1\}q_\{n\}\}\}.\}$ Адкуль вынікае, што

x −

n − 1

{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q_{n-1}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{n-1}^{2}}}.}

$\{\displaystyle \left|x-\{\frac \{p_\{n-1\}\}\{q_\{n-1\}\}\}\right|<\{\frac \{1\}\{q_\{n-1\}q_\{n\}\}\}<\{\frac \{1\}\{q_\{n-1\}^\{2\}\}\}.\}$ Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі

Непарыўныя дробы дазваляюць эфектыўна знаходзіць добрыя рацыянальныя прыбліжэнні рэчаісных лікаў. А іменна, калі рэчаісны лік

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ раскласці ў ланцуговы дроб, то яго падыходныя дробы будуць задавальняць няроўнасць

x −

{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.}

$\{\displaystyle \left|x-\{\frac \{p_\{n\}\}\{q_\{n\}\}\}\right|<\{\frac \{1\}\{q_\{n\}^\{2\}\}\}.\}$ Адсюль, сярод іншага, вынікае:

падыходны дроб

{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{p_\{n\}\}\{q_\{n\}\}\}\}$ з’яўляецца найлепшым прыбліжэннем для

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ сярод усіх дробаў, назоўнік якіх не пераўзыходзіць

{\displaystyle q_{n}}

$\{\displaystyle q_\{n\}\}$ ;

мера ірацыянальнасці(руск.) бел. любога ірацыянальнага ліку не меншая чым 2.

Прыклады

Раскладзём лік [π

{\displaystyle \pi }

$\{\displaystyle \pi \}$ ](/Пі,_лік “Пі, лік”)=3,14159265… у непарыўны дроб і падлічым яго падыходныя дробы: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Другі падыходны дроб 22/7 — гэта вядомае архімедава прыбліжэнне. Чацвёрты падыходны дроб 355/113 быў упершыю атрыман у Старажытным Кітаі(руск.) бел..

У тэорыі музыкі трэба адшукаць рацыянальнае прыбліжэнне для

log

⁡

3 2

≈ 0,585

{\displaystyle \textstyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585}

$\{\displaystyle \textstyle \log _\{2\}\{\frac \{3\}\{2\}\}\approx 0\{,\}585\}$ . Трэці падыходны дроб 7/12 дазваляе абгрунтаваць класічнае дзяленне актавы на 12 паўтонаў(руск.) бел.[1].

Уласцівасці і прыклады

Любы рацыянальны лік можна прадставіць у выглядзе канечнага непарыўнага дробу двума спосабамі, напрыклад:

4 [ 2 ; 3 , 1 ]

[ 2 ; 4 ]

{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4];}

$\{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;\}$

Тэарэма Лагранжа: Лік прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага перыядычнага ланцуговага дробу тады і толькі тады, калі ён з’яўляецца ірацыянальным рашэннем квадратнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі.

Напрыклад:

= [ 1 ; 2 , 2 , 2 , 2 , … ]

{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{2\}\}=[1;2,2,2,2,\dots ]\}$ залатое сячэнне

ϕ

[ 1 ; 1 , 1 , 1 , … ]

{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}

$\{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]\}$

Для алгебраічных лікаў ступені, большай за 2, характар раскладанняў у непарыўны дроб невядомы. Напрыклад, нават для

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}

$\{\displaystyle \{\sqrt[\{3\}]\{2\}\}\}$ невядома, ці канечная колькасць розных лікаў у яго раскладанні (паслядоўнасць A002945 у OEIS).

Для некаторых трансцэндэнтных лікаў можна знайсці простую заканамернасць. Напрыклад, для асновы натуральнага лагарыфма:

e − 1

[ 1 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , … , 1 , 1 , 2 n − 2 , 1 , 1 , 2 n , … ]

{\displaystyle e-1=[1;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ]}

$\{\displaystyle e-1=[1;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ]\}$ для ліку

1

[ 1 ; 1 , 1 , 3 , 1 , 5 , 1 , 7 , … , 1 , 2 n + 1 , 1 , 2 n + 3 , … ]

{\displaystyle \operatorname {tg} ,1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ]}

$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} \,1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ]\}$

У ліку пі простай заканамернасці не відаць[2]:

π

[ 3 ; 7 , 15 , 1 , 292 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 14 , 2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 84 , 2 , 1 , 1 , 15 , … ]

{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]}

$\{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]\}$

Тэарэма Гауса — Кузьміна(англ.) бел.: Амаль для ўсіх(руск.) бел. (акрамя мноства нулявой меры) рэчаісных лікаў існуе сярэдняе геаметрычнае каэфіцыентаў адпаведных ім ланцуговых дробаў, і яно роўнае пастаяннай Хінчына(англ.) бел..
Тэарэма Маршала Хола. Калі ў раскладанні ліку

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ у непарыўны дроб, пачынаючы з другога элемента не сустракаюцца лікі, большыя за

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ , то кажуць, што лік

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ адносіцца да класа

F ( n )

{\displaystyle F(n)}

$\{\displaystyle F(n)\}$ . Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух лікаў з класа

F ( 4 )

{\displaystyle F(4)}

$\{\displaystyle F(4)\}$ і ў выглядзе здабытку двух лікаў з класа

F ( 4 )

{\displaystyle F(4)}

$\{\displaystyle F(4)\}$ [3]. У далейшым было паказана, што любы рэчаісны лік можна прадставіць сумаю трох лікаў з класа

F ( 3 )

{\displaystyle F(3)}

$\{\displaystyle F(3)\}$ і сумаю чатырох лікаў з класа

F ( 2 )

{\displaystyle F(2)}

$\{\displaystyle F(2)\}$ . Колькасць неабходных складнікаў у гэтай тэарэме нельга паменшыць — для прадстаўлення некаторых лікаў названым спосабам меншай колькасці складнікаў недастаткова[4][5].

Прыкладанні непарыўных дробаў

Тэорыя календара

Пры распрацоўцы сонечнага календара(руск.) бел. неабходна знайсці рацыянальнае прыбліжэнне для ліку дзён у годзе, які роўны 365,2421988… Падлічым падыходныя дробы для дробнай часткі гэтага ліку:

1 4

;

7 29

;

8 33

;

31 128

;

132 545

⋯

{\displaystyle {\frac {1}{4}};{\frac {7}{29}};{\frac {8}{33}};{\frac {31}{128}};{\frac {132}{545}}\cdots }

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{4\}\};\{\frac \{7\}\{29\}\};\{\frac \{8\}\{33\}\};\{\frac \{31\}\{128\}\};\{\frac \{132\}\{545\}\}\cdots \}$ Першы дроб азначае, што раз у 4 гады трэба дабаўляць дадатковы дзень; гэты прынцып лёг у аснову юліянскага календара. Пры гэтым памылка ў 1 дзень набіраецца за 128 гадоў. Другое значэнне (7/29) ніколі не выкарыстоўвалася. Трэці дроб (8/33), г.зн. 8 высакосных гадоў за перыяд у 33 гады, быў прапанован Амарам Хаямам у XI ст. і даў пачатак персідскаму календару(руск.) бел., у якім памылка ў дзень набіраецца за 4500 гадоў (у грыгарыянскім — за 3280 гадоў). Вельмі дакладны варыянт з чацвёртым дробам (31/128, памылка ў суткі набіраецца толькі за 100000 гадоў) прапагандаваў нямецкі астраном Іаган фон Медлер (1864), аднак вялікай цікавасці ён не выклікаў.

Рашэнне параўнанняў першай ступені

Разгледзім параўнанне(руск.) бел.:

a x ≡ b

( mod

m )

{\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}},}

$\{\displaystyle ax\equiv b\{\pmod \{m\}\},\}$ дзе

a , b

{\displaystyle a,\ b}

$\{\displaystyle a,\ b\}$ зададзеныя, прычым можна лічыць, што

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ узаемна простае з

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ . Трэба знайсці

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ .

Раскладзём

m a

{\displaystyle {\frac {m}{a}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{m\}\{a\}\}\}$ у непарыўны дроб. Ён будзе канечны, і апошні падыходны дроб

m a

{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{p_\{n\}\}\{q_\{n\}\}\}=\{\frac \{m\}\{a\}\}\}$ . Падставім у формулу (1):

n − 1

− a

n − 1

= ( − 1

)

n − 1

{\displaystyle mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.}

$\{\displaystyle mq_\{n-1\}-ap_\{n-1\}=(-1)^\{n-1\}.\}$ Адсюль вынікае:

n − 1

≡ ( − 1

)

( mod

m )

{\displaystyle ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m}}}

$\{\displaystyle ap_\{n-1\}\equiv (-1)^\{n\}\{\pmod \{m\}\}\}$ , ці:

a ( − 1

)

n − 1

≡ 1

( mod

m )

{\displaystyle \ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m}}.}

$\{\displaystyle \ a(-1)^\{n\}p_\{n-1\}\equiv 1\{\pmod \{m\}\}.\}$ Вывад: клас вылікаў

x ≡ ( − 1

)

n − 1

( mod

m )

{\displaystyle x\equiv (-1)^{n}p_{n-1}b{\pmod {m}}}

$\{\displaystyle x\equiv (-1)^\{n\}p_\{n-1\}b\{\pmod \{m\}\}\}$ ёсць рашэнне зыходнага параўнання.

Іншыя прыкладанні

Доказ ірацыянальнасці лікаў. Напрыклад, з дапамогаю ланцуговых дробаў была даказана ірацыянальнасць значэння дзэта-функцыі Рымана

ζ ( 3 )

{\displaystyle \zeta (3)}

$\{\displaystyle \zeta (3)\}$

Рашэнне ў цэлых ліках ураўнення Пеля(руск.) бел.[6]:

− n

= 1

{\displaystyle ;x^{2}-ny^{2}=1;}

$\{\displaystyle \;x^\{2\}-ny^\{2\}=1\;\}$ і іншых дыяфантавых ураўненняў(руск.) бел..

Вызначэнне заведама трансцэндэнтнага ліку (гл. тэарэма Ліувіля(руск.) бел.)
Алгарытмы фактарызацыі SQUFOF і CFRAC.
Характарыстыка артаганальных мнагачленаў(руск.) бел.
Характарыстыка ўстойлівых мнагачленаў(англ.) бел.

Уласцівасці залатога сячэння

Гл. таксама: Залатое сячэнне У непарыўным дробе залатога сячэння φ няма цэлых лікаў, большых за 1. Адсюль выцякае цікавы вынік: сярод рэчаісных лікаў лік φ — адзін з самых «цяжкіх» для прыбліжэння рацыянальнымі лікамі. Тэарэма Гурвіца[7] сцвярджае, што любы рэчаісны лік x можна прыблізіць дробам m/n так, што

x −

m n

{\displaystyle \left|x-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}

$\{\displaystyle \left|x-\{m \over n\}\right|<\{1 \over n^\{2\}\{\sqrt \{5\}\}\}.\}$ Хоць практычна ўсе рэчаісныя лікі x маюць бесканечна многа прыбліжэнняў m/n, значна бліжэйшых да x, чым гэта верхняя мяжа, прыбліжэнні для φ (г.зн. лікі 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і г. д.) на граніцы дасягаюць гэтай мяжы, утрымліваючы адлегласць амаль дакладна на

{\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}}

$\{\displaystyle \{\scriptstyle \{1 \over n^\{2\}\{\sqrt \{5\}\}\}\}\}$ ад φ, тым самым ніколі не даючы такога добрага прыбліжэння як, напрыклад, 355/113 для π. Можна паказаць, што любы рэчаісны лік віду (a + bφ)/(c + dφ), дзе a, b, c і d — цэлыя лікі, такія што ad − bc = ±1, мае такую ж уласцівасць, як і залатое сячэнне φ; а таксама, што ўсе астатнія рэчаісныя лікі можна прыблізіць намнога лепш.

Гістарычная даведка

Антычныя матэматыкі(руск.) бел. ўмелі прадстаўляць адносіны несувымерных велічынь у выглядзе ланцужка падыходных адносін, атрымліваючы гэты ланцужок з дапамогаю алгарытма Еўкліда. Відаць, іменна такім спосабам Архімед атрымаў прыбліжэнне

≈

1351 780

{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{3\}\}\approx \{\frac \{1351\}\{780\}\}\}$ — гэта 12-ы падыходны дроб для

{\displaystyle {\sqrt {3}}}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{3\}\}\}$ ці

1 3

{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{3\}\}\}$ ад 4-га падыходнага дробу для

{\displaystyle {\sqrt {27}}}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{27\}\}\}$ .

У V стагоддзі індыйскі матэматык Арыябхата прымяняў падобны «метад здрабнення» для рашэння неазначальных ураўненняў першай і другой ступені. З дапамогаю гэтай жа тэхнікі было, мабыць, атрымана вядомае прыбліжэнне ліку

{\displaystyle \pi }

$\{\displaystyle \pi \}$ (355/113). У XVI стагоддзі Рафаэль Бамбелі(руск.) бел. здабываў з дапамогаю ланцуговых дробаў квадратныя карані (гл. яго алгарытм).

Пачатак сучаснай тэорыі непарыўных дробаў даў у 1613 годзе П’етра Антоніа Катальдзі. Ён адзначыў іх асноўную ўласцівасць (гранічнае значэнне ляжыць паміж падыходнымі дробамі) і ўвёў абазначэнне, падобнае на сучаснае. Пазней яго тэорыю пашырыў Джон Валіс, які і прапанаваў тэрмін «непарыўны дроб». Раўназначны тэрмін «ланцуговы дроб» паявіўся ў канцы XVIII стагоддзя.

Прымяняліся гэтыя дробы найперш для рацыянальнага прыбліжэння рэчаісных лікаў; напрыклад, Хрысціян Гюйгенс выкарыстоўваў іх пры праектаванні зубчастых колаў свайго планетарыя. Гюйгенс ужо знаў, што падыходныя дробы заўсёды нескарачальныя і што яны даюць найлепшае рацыянальнае прыбліжэнне.

У XVIII стагоддзі тэорыю ланцуговых дробаў у агульных рысах завяршылі Леанард Эйлер і Жазеф Луі Лагранж.

Гл. таксама

Зноскі

↑ Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
↑ паслядоўнасць A001203 у OEIS
↑ M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
↑ B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
↑ T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
↑ Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
↑ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). “Theorem 193”. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.). Oxford.

Літаратура

В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.
А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.
С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
В. Я. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Тэорыя лікаў
Катэгорыя·Непарыўныя дробы
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай