wd wp Пошук: ⬜

Сярэдняе геаметрычнае

Сярэдняе геаметрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іх здабытак не змяніўся:

G (

, … ,

)

⋯

(

∏

i

)

{\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}

$\{\displaystyle G(x_\{1\},x_\{2\},\ldots ,x_\{n\})=\{\sqrt[\{n\}]\{x_\{1\}x_\{2\}\cdots x_\{n\}\}\}=\left(\prod \{i=1\}^\{n\}x\{i\}\right)^\{1/n\}.\}$ Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыянальным[1].

Уласцівасці

Гэтак жа, як і любое іншае сярэдняе значэнне, сярэдняе геаметрычнае ляжыць паміж найменшым і найбольшым з усіх лікаў:

min (

, … ,

) ≤ G (

, … ,

) ≤ max (

, … ,

) .

{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\leq G(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}

$\{\displaystyle \min(x_\{1\},x_\{2\},\dots ,x_\{n\})\leq G(x_\{1\},x_\{2\},\dots ,x_\{n\})\leq \max(x_\{1\},x_\{2\},\dots ,x_\{n\}).\}$

Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў роўнае сярэдняму геаметрычнаму іх сярэдняга арыфметычнага і сярэдняга гарманічнага [2].
Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў x, y з’яўляецца сярэднім арыфметыка-гарманічным гэтых лікаў, г. зн. раўняецца граніцы дзвюх паслядоўнасцей

(

)

{\displaystyle (a_{n})}

$\{\displaystyle (a_\{n\})\}$ і

(

) ,

{\displaystyle (b_{n}),}

$\{\displaystyle (b_\{n\}),\}$ вызначаных наступным чынам:

n + 1

= x

{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}

$\{\displaystyle a_\{n+1\}=\{\frac \{a_\{n\}+b_\{n\}\}\{2\}\},\quad a_\{0\}=x\}$ і

n + 1

= y ,

{\displaystyle b_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{b_{n}}}}},\quad b_{0}=y,}

$\{\displaystyle b_\{n+1\}=\{\frac \{2\}\{\{\frac \{1\}\{a_\{n\}\}\}+\{\frac \{1\}\{b_\{n\}\}\}\}\},\quad b_\{0\}=y,\}$ дзе

n + 1

{\displaystyle b_{n+1}}

$\{\displaystyle b_\{n+1\}\}$ раўняецца сярэдняму гарманічнаму папярэдніх значэнняў дзвюх паслядоўнасцей. Абедзве паслядоўнасці

(

)

{\displaystyle (a_{n})}

$\{\displaystyle (a_\{n\})\}$ і

(

)

{\displaystyle (b_{n})}

$\{\displaystyle (b_\{n\})\}$ збягаюцца да сярэдняга геаметрычнага лікаў x і y.

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў

, … ,

{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}

$\{\displaystyle x_\{1\},\ldots ,x_\{n\}\}$ з рэчаіснымі вагамі

, … ,

{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}

$\{\displaystyle w_\{1\},\ldots ,w_\{n\}\}$ вызначаецца як

x ¯

(

∏

i

)

∑

i

exp ⁡

(

∑

i

∑

i

ln ⁡

)

{\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}};\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}

$\{\displaystyle \{\bar \{x\}\}=\left(\prod \{i=1\}^\{n\}x\{i\}^\{w_\{i\}\}\right)^\{1/\sum \{i=1\}^\{n\}w\{i\}\}=\quad \exp \left(\{\frac \{1\}\{\sum \{i=1\}^\{n\}w\{i\}\}\}\;\sum \{i=1\}^\{n\}w\{i\}\ln x_\{i\}\right)\}$ У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя паміж сабою, сярэдняе геаметрычнае ўзважанае супадае з сярэднім геаметрычным.

У геаметрыі

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка, апушчаная на гіпатэнузу, ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і яго праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геаметрычны спосаб пабудовы сярэдняга геаметрычнага двух (даўжынь) адрэзкаў: трэба пабудаваць акружнасць на суме гэтых двух адрэзкаў як на дыяметры, тады вышыня, пабудаваная з пункта іх злучэння да перасячэння з акружнасцю, дасць шукаемую велічыню.