wd wp Пошук: ⬜

Арыфметычная прагрэсія

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a1, a2, a3, …, кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі[1][2].

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a1 і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

n + 1

d ,

n

1 , 2 , 3 , … ,

{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,}

$\{\displaystyle a_\{n+1\}=a_\{n\}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,\}$ якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

d ,

2 d ,

… .

{\displaystyle a_{1},\quad a_{1}+d,\quad a_{1}+2d,\quad \dots .}

$\{\displaystyle a_\{1\},\quad a_\{1\}+d,\quad a_\{1\}+2d,\quad \dots .\}$ Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку a**n+1 - a**n = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

( n − 1 ) d ,

{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}

$\{\displaystyle a_\{n\}=a_\{1\}+(n-1)d,\}$ дзе a1 — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Доказ Карыстаючыся роўнасцю

n + 1

{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}

$\{\displaystyle a_\{n+1\}=a_\{n\}+d\}$ выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}

$\{\displaystyle a_\{2\}=a_\{1\}+d\}$

d

d + d

2 d

{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}

$\{\displaystyle a_\{3\}=a_\{2\}+d=a_\{1\}+d+d=a_\{1\}+2d\}$

d

2 d + d

3 d

{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}

$\{\displaystyle a_\{4\}=a_\{3\}+d=a_\{1\}+2d+d=a_\{1\}+3d\}$

d

3 d + d

4 d

{\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}

$\{\displaystyle a_\{5\}=a_\{4\}+d=a_\{1\}+3d+d=a_\{1\}+4d\}$ Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што

( n − 1 ) d

{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

$\{\displaystyle a_\{n\}=a_\{1\}+(n-1)d\}$ . З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных n:

Першы крок індукцыі

( n

1 )

{\displaystyle (n=1)}

$\{\displaystyle (n=1)\}$ :

( 1 − 1 ) d

{\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}

$\{\displaystyle a_\{1\}=a_\{1\}+(1-1)d=a_\{1\}\}$ - сцверджанне праўдзівае.

Пераход індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры

n

{\displaystyle n=k}

$\{\displaystyle n=k\}$ , гэта значыць

( k − 1 ) d

{\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}

$\{\displaystyle a_\{k\}=a_\{1\}+(k-1)d\}$ . Дакажам справядлівасць сцверджання пры

n

k + 1

{\displaystyle n=k+1}

$\{\displaystyle n=k+1\}$ :

k + 1

d

( k − 1 ) d + d

k d

{\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}

$\{\displaystyle a_\{k+1\}=a_\{k\}+d=a_\{1\}+(k-1)d+d=a_\{1\}+kd\}$

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры

n

k + 1

{\displaystyle n=k+1}

$\{\displaystyle n=k+1\}$ . Гэта азначае, што

( n − 1 ) d

{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

$\{\displaystyle a_\{n\}=a_\{1\}+(n-1)d\}$ для ўсіх

n ∈

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

$\{\displaystyle n\in \mathbb \{N\} \}$ .

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Паслядоўнасць

, …

{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }

$\{\displaystyle a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\ldots \}$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

n − 1

n + 1

n ≥ 2.

{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\qquad n\geq 2.}

$\{\displaystyle a_\{n\}=\{\frac \{a_\{n-1\}+a_\{n+1\}\}\{2\}\},\qquad n\geq 2.\}$ Доказ Неабходнасць:

Раз паслядоўнасць

, …

{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }

$\{\displaystyle a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\ldots \}$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для

n ≥ 2

{\displaystyle n\geq 2}

$\{\displaystyle n\geq 2\}$ праўдзяцца роўнасці:

n − 1

d ,

{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d,}

$\{\displaystyle a_\{n\}=a_\{n-1\}+d,\}$

n + 1

− d .

{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d.}

$\{\displaystyle a_\{n\}=a_\{n+1\}-d.\}$ Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем

n − 1

n + 1

{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}

$\{\displaystyle a_\{n\}=\{\frac \{a_\{n-1\}+a_\{n+1\}\}\{2\}\}.\}$

Дастатковасць:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца

n − 1

n + 1

{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}

$\{\displaystyle a_\{n\}=\{\frac \{a_\{n-1\}+a_\{n+1\}\}\{2\}\}.\}$ Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :

n + 1

−

n − 1

{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}.}

$\{\displaystyle a_\{n+1\}-a_\{n\}=a_\{n\}-a_\{n-1\}.\}$

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсіі

Суму першых

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ элементаў арыфметычнай прагрэсіі

… +

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}

$\{\displaystyle S_\{n\}=a_\{1\}+a_\{2\}+\ldots +a_\{n\}\}$ можна вылічыць па формулах

⋅ n ,

{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n,}

$\{\displaystyle S_\{n\}=\{\frac \{a_\{1\}+a_\{n\}\}\{2\}\}\cdot n,\}$ або

( n − 1 ) d

⋅ n ,

{\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n,}

$\{\displaystyle S_\{n\}=\{\frac \{2a_\{1\}+(n-1)d\}\{2\}\}\cdot n,\}$ дзе a1 — першы член прагрэсіі, a**n — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Доказ Запішам суму двума спосабамі:

…

n − 2

n − 1

n − 2

…

{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}S_{n}&=&a_{1}&+&a_{2}&+&a_{3}&+&\ldots &+&a_{n-2}&+&a_{n-1}&+&a_{n},\S_{n}&=&a_{n}&+&a_{n-1}&+&a_{n-2}&+&\ldots &+&a_{3}&+&a_{2}&+&a_{1}.\end{array}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{array\}\{ccccccccccccccc\}S_\{n\}&=&a_\{1\}&+&a_\{2\}&+&a_\{3\}&+&\ldots &+&a_\{n-2\}&+&a_\{n-1\}&+&a_\{n\},\\S_\{n\}&=&a_\{n\}&+&a_\{n-1\}&+&a_\{n-2\}&+&\ldots &+&a_\{3\}&+&a_\{2\}&+&a_\{1\}.\end\{array\}\}\}$ У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:

= (

) + (

n − 1

) + (

n − 2

) + … + (

n − 2

) + (

n − 1

) + (

) .

{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1}).}

$\{\displaystyle 2S_\{n\}=(a_\{1\}+a_\{n\})+(a_\{2\}+a_\{n-1\})+(a_\{3\}+a_\{n-2\})+\ldots +(a_\{n-2\}+a_\{3\})+(a_\{n-1\}+a_\{2\})+(a_\{n\}+a_\{1\}).\}$ Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як

n − i + 1

, i

1 , 2 , … , n

{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots ,n}

$\{\displaystyle a_\{i\}+a_\{n-i+1\},\ i=1,2,\ldots ,n\}$ . Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

n − i + 1

( i − 1 ) d +

( n − i + 1 − 1 ) d

( n − 1 ) d ,

i

1 , 2 , … , n .

{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.}

$\{\displaystyle a_\{i\}+a_\{n-i+1\}=a_\{1\}+(i-1)d+a_\{1\}+(n-i+1-1)d=2a_\{1\}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.\}$ Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад i і роўная

( n − 1 ) d

{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}

$\{\displaystyle 2a_\{1\}+(n-1)d\}$ . У прыватнасці,

= 2

( n − 1 ) d

{\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}

$\{\displaystyle a_\{1\}+a_\{n\}=2a_\{1\}+(n-1)d\}$ . А раз такіх складнікаў n, то

= (

) ⋅ n

{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n}

$\{\displaystyle 2S_\{n\}=(a_\{1\}+a_\{n\})\cdot n\}$ Адсюль вынікае роўнасць

⋅ n

{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}

$\{\displaystyle S_\{n\}=\{\frac \{a_\{1\}+a_\{n\}\}\{2\}\}\cdot n\}$ . Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай

( n − 1 ) d

{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}

$\{\displaystyle 2a_\{1\}+(n-1)d\}$ замест

{\displaystyle a_{1}+a_{n}}

$\{\displaystyle a_\{1\}+a_\{n\}\}$ .

Заўвага:

Замест

{\displaystyle a_{1}+a_{n}}

$\{\displaystyle a_\{1\}+a_\{n\}\}$ у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў

n − i + 1

, i

2 , 3 , … , n

{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots ,n}

$\{\displaystyle a_\{i\}+a_\{n-i+1\},\ i=2,3,\ldots ,n\}$ , бо ўсе яны роўныя між сабой.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі

Няхай

, …

{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }

$\{\displaystyle a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\ldots \}$ — арыфметычная прагрэсія з рознасцю

{\displaystyle d}

$\{\displaystyle d\}$ і лік

{\displaystyle b>0}

$\{\displaystyle b>0\}$ . Тады паслядоўнасць выгляду

, …

{\displaystyle b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots }

$\{\displaystyle b^\{a_\{1\}\},b^\{a_\{2\}\},b^\{a_\{3\}\},\ldots \}$ ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам

{\displaystyle b^{d}}

$\{\displaystyle b^\{d\}\}$ .

Доказ Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:

n − 1

⋅

n + 1

n ≥ 2.

{\displaystyle {\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{b^\{a_\{n-1\}\}\cdot b^\{a_\{n+1\}\}\}\}=b^\{a_\{n\}\},\qquad n\geq 2.\}$ Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

n − 1

⋅

n + 1

( n − 2 ) d

⋅

n d

2 ( n − 1 ) d

(

( n − 1 ) d

)

( n − 1 ) d

n ≥ 2.

{\displaystyle {\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}={\sqrt {b^{a_{1}+(n-2)d}\cdot b^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {b^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(b^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=b^{a_{1}+(n-1)d}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{b^\{a_\{n-1\}\}\cdot b^\{a_\{n+1\}\}\}\}=\{\sqrt \{b^\{a_\{1\}+(n-2)d\}\cdot b^\{a_\{1\}+nd\}\}\}=\{\sqrt \{b^\{2a_\{1\}+2(n-1)d\}\}\}=\{\sqrt \{(b^\{a_\{1\}+(n-1)d\})^\{2\}\}\}=b^\{a_\{1\}+(n-1)d\}=b^\{a_\{n\}\},\qquad n\geq 2.\}$ А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць

, …

{\displaystyle b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots }

$\{\displaystyle b^\{a_\{1\}\},b^\{a_\{2\}\},b^\{a_\{3\}\},\ldots \}$ ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці

q

{\displaystyle q={\frac {b^{a_{2}}}{b^{a_{1}}}}={\frac {b^{a_{1}+d}}{b^{a_{1}}}}=b^{d}.}

$\{\displaystyle q=\{\frac \{b^\{a_\{2\}\}\}\{b^\{a_\{1\}\}\}\}=\{\frac \{b^\{a_\{1\}+d\}\}\{b^\{a_\{1\}\}\}\}=b^\{d\}.\}$

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі

Арыфметычная прагрэсія

, …

{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }

$\{\displaystyle a_\{1\},a_\{2\},a_\{3\},\ldots \}$ разбягаецца пры

d ≠ 0

{\displaystyle d\neq 0}

$\{\displaystyle d\neq 0\}$ і збягаецца пры

d

{\displaystyle d=0}

$\{\displaystyle d=0\}$ . Прычым

lim

n → ∞

{

∞ ,

− ∞ ,

d < 0

d

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}+\infty ,&d>0\-\infty ,&d<0\a_{1},&d=0\end{cases}}}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}a\{n\}=\{\begin\{cases\}+\infty ,&d>0\\-\infty ,&d<0\\a_\{1\},&d=0\end\{cases\}\}\}$ Доказ Запісаўшы выраз агульнага члена і разгле́дзеўшы граніцу

lim

n → ∞

(

( n − 1 ) d )

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}+(n-1)d)}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}(a\{1\}+(n-1)d)\}$ , атрымліваем патрэбны вынік.

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, …, рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, …. Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.