Метад Гауса — класічны метад рашэння сістэмы лінейных алгебраічных ураўненняў (СЛАУ). Названы ў гонар нямецкага матэматыка Карла Фрыдрыха Гауса. Гэта метад паслядоўнага выключэння пераменных, калі з дапамогай элементарных пераўтварэнняў сістэма ураўненняў прыводзіцца да раўнасільнай сістэмы трохкутнага выгляду, з якой паслядоўна, пачынаючы з апошніх (па нумары), знаходзяцца ўсе зменныя сістэмы[1].
Хоць у цяперашні час гэты метад паўсюдна называецца метадам Гауса, ён быў вядомы і да К. Ф. Гауса. Першае вядомае апісанне дадзенага метаду — у кітайскім трактаце «Матэматыка ў дзевяці кнігах».[2]
Няхай зыходная сістэма выглядае наступным чынам:
{\displaystyle }
Яе можна запісаць у матрычным выглядзе:
{\displaystyle }
дзе
{\displaystyle }
Матрыца
{\displaystyle }
называецца асновай матрыцай сістэмы,
{\displaystyle }
— слупком свабодных членаў.
Тады, згодна з уласцівасці элементарных пераўтварэнняў над радкамі, асноўную матрыцу гэтай сістэмы можна прывесці да ступеньчатага выгляда (гэтыя ж пераўтварэнні трэба ўжываць да слупка свабодных членаў):
{
α
1
j
1
x
j
1
α
1
j
2
x
j
2
… +
α
1
j
r
x
j
r
… +
α
1
j
n
x
j
n
=
β
1
α
2
j
2
x
j
2
… +
α
2
j
r
x
j
r
… +
α
2
j
n
x
j
n
=
β
2
…
α
r
j
r
x
j
r
… +
α
r
j
n
x
j
n
=
β
r
0
=
β
r + 1
…
0
=
β
m
,
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}\alpha _{1j_{1}}x_{j_{1}}+\alpha _{1j_{2}}x_{j_{2}}+\ldots +\alpha _{1j_{r}}x_{j_{r}}+\ldots +\alpha _{1j_{n}}x_{j_{n}}&=&\beta _{1}\\alpha _{2j_{2}}x_{j_{2}}+\ldots +\alpha _{2j_{r}}x_{j_{r}}+\ldots +\alpha _{2j_{n}}x_{j_{n}}&=&\beta _{2}\&\ldots &\\alpha _{rj_{r}}x_{j_{r}}+\ldots +\alpha _{rj_{n}}x_{j_{n}}&=&\beta _{r}\0&=&\beta _{r+1}\&\ldots &\0&=&\beta _{m}\end{array}}\right.,}
Пры гэтым будзем лічыць, што базісны мінор (ненулявы мінор максімальнага парадку) асноўны матрыцы знаходзіцца ў верхнім левым куце, то ёсць у яго ўваходзяць толькі каэфіцыенты пры зменных
{\displaystyle }
[3].
Тады пераменныя
{\displaystyle }
называюцца галоўнымі пераменнымі. Усе астатнія называюцца свабоднымі.
Калі хоць бы адно лік
{\displaystyle }
, дзе
{\displaystyle }
, то разглядаемая сістэма несумесная, г. зн. у яе няма ні аднаго рашэння.
Хай
{\displaystyle }
для любых
{\displaystyle }
.
Перанясем свабодныя зменныя за знакі роўнасцей і падзелім кожнае з ураўненняў сістэмы на свой каэфіцыент пры самым левым
{\displaystyle }
(
{\displaystyle }
, дзе
{\displaystyle }
— нумар радка):
{
x
j
1
α ^
1
j
2
x
j
2
… +
α ^
1
j
r
x
j
r
=
β ^
1
−
α ^
1
j
r + 1
x
j
r + 1
− … −
α ^
1
j
n
x
j
n
x
j
2
… +
α ^
2
j
r
x
j
r
=
β ^
2
−
α ^
2
j
r + 1
x
j
r + 1
− … −
α ^
2
j
n
x
j
n
…
x
j
r
=
β ^
r
−
α ^
r
j
r + 1
x
j
r + 1
− … −
α ^
r
j
n
x
j
n
,
β ^
i
=
β
i
α
i
j
i
,
α ^
i
j
k
=
α
i
j
k
α
i
j
i
( 2 )
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcc}x_{j_{1}}+{\widehat {\alpha }}_{1j_{2}}x_{j_{2}}+\ldots +{\widehat {\alpha }}_{1j_{r}}x_{j_{r}}&=&{\widehat {\beta }}_{1}-{\widehat {\alpha }}_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots -{\widehat {\alpha }}_{1j_{n}}x_{j_{n}}\x_{j_{2}}+\ldots +{\widehat {\alpha }}_{2j_{r}}x_{j_{r}}&=&{\widehat {\beta }}_{2}-{\widehat {\alpha }}_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots -{\widehat {\alpha }}_{2j_{n}}x_{j_{n}}\&\ldots &\x_{j_{r}}&=&{\widehat {\beta }}_{r}-{\widehat {\alpha }}_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots -{\widehat {\alpha }}_{rj_{n}}x_{j_{n}}\\end{array}}\right.,\qquad {\widehat {\beta }}_{i}={\frac {\beta _{i}}{\alpha _{ij_{i}}}},\quad {\widehat {\alpha }}_{ij_{k}}={\frac {\alpha _{ij_{k}}}{\alpha _{ij_{i}}}}\quad (2)}
,
дзе
{\displaystyle }
Калі свабодным пераменным сістэмы (2) надаваць усе магчымыя значэння і вырашаць новую сістэму адносна галоўных невядомых знізу ўверх (гэта значыць ад ніжняга ўраўненні да верхняга), то мы атрымаем усе рашэнні гэтай СЛАУ. Так як гэтая сістэма атрымана шляхам элементарных пераўтварэнняў над зыходнай сістэмай (1), то па тэарэме аб эквівалентнасці пры элементарных пераўтварэннях сістэмы (1) і (2) раўназначныя, то ёсць мноства іх рашэнняў супадаюць.
Згаданая вышэй ўмова
{\displaystyle }
для ўсіх
{\displaystyle }
можа быць сфармулявана ў якасці неабходнай і дастатковай ўмовы сумесна:
Нагадаем, што рангам сумеснай сістэмы называецца ранг яе асноўнай матрыцы (альбо пашыранай, так як яны роўныя).
Тэарэма Кронекера — Капелі. Сістэма сумесна тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўнырангу яе пашыранай матрыцы. Вынікі:
|
Блок схема прадстаўлена на малюнку. Дадзены малюнак адаптаваны для напісання праграмы на мове С/С++, дзе a[0] слупок свабодных членаў.
Алгарытм рашэння СЛАУ метадам Гауса падзяляецца на два этапы.
Метад Гауса патрабуе
{\displaystyle }
арыфметычных аперацый.
Гэты метад абапіраецца на:
Тэарэма (аб прывядзенні матрыц да ступенчатага выгляда). Любую матрыцу шляхам элементарных прэабразаванняў толькі над радкамі можна прывесці да ступенчатага выгляда. |
У найпростым выпадку алгарытм выглядае так:
{\displaystyle }
( 2 ) → ( 2 ) − ( 1 ) ⋅ (
a
21
a
11
)
:
a
22
′
⋅
x
2
a
23
′
⋅
x
3
… +
a
2 n
′
⋅
x
n
=
b
2
′
( 3 ) → ( 3 ) − ( 1 ) ⋅ (
a
31
a
11
)
:
a
32
′
⋅
x
2
a
33
′
⋅
x
3
… +
a
3 n
′
⋅
x
n
=
b
3
′
…
( m ) → ( m ) − ( 1 ) ⋅ (
a
m 1
a
11
)
:
a
m 2
′
⋅
x
2
a
m 3
′
⋅
x
3
… +
a
m n
′
⋅
x
n
=
b
n
′
( 3 ) → ( 3 ) − ( 2 ) ⋅ (
a
32
′
a
22
′
)
:
a
33
′ ′
⋅
x
3
… +
a
3 n
′ ′
⋅
x
n
=
b
3
′ ′
…
( m ) → ( m ) − ( m − 1 ) ⋅ (
a
m , n − 1
( m − 2 )
a
m − 1 , n − 1
( m − 2 )
)
:
a
m m
( m − 1 )
⋅
x
m
… +
a
m n
( m − 1 )
⋅
x
n
=
b
m
( m − 1 )
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}(2)\to (2)-(1)\cdot ({\frac {a_{21}}{a_{11}}})&:&a_{22}^{\prime }\cdot x_{2}+a_{23}^{\prime }\cdot x_{3}+\ldots +a_{2n}^{\prime }\cdot x_{n}=b_{2}^{\prime }\(3)\to (3)-(1)\cdot ({\frac {a_{31}}{a_{11}}})&:&a_{32}^{\prime }\cdot x_{2}+a_{33}^{\prime }\cdot x_{3}+\ldots +a_{3n}^{\prime }\cdot x_{n}=b_{3}^{\prime }\\ldots &&\(m)\to (m)-(1)\cdot ({\frac {a_{m1}}{a_{11}}})&:&a_{m2}^{\prime }\cdot x_{2}+a_{m3}^{\prime }\cdot x_{3}+\ldots +a_{mn}^{\prime }\cdot x_{n}=b_{n}^{\prime }\(3)\to (3)-(2)\cdot ({\frac {a_{32}^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}})&:&a_{33}^{\prime \prime }\cdot x_{3}+\ldots +a_{3n}^{\prime \prime }\cdot x_{n}=b_{3}^{\prime \prime }\\ldots &&\(m)\to (m)-(m-1)\cdot ({\frac {a_{m,n-1}^{(m-2)}}{a_{m-1,n-1}^{(m-2)}}})&:&a_{mm}^{(m-1)}\cdot x_{m}+\ldots +a_{mn}^{(m-1)}\cdot x_{n}=b_{m}^{(m-1)}\end{array}}}
Пакажам, як метадам Гауса можна вырашыць наступную сістэму:
{\displaystyle }
Абнулім каэфіцыенты пры
{\displaystyle }
у другім і трэцім радках. Для гэтага дададзім да іх першы радок, памножаны на
{\displaystyle }
і
{\displaystyle }
, адпаведна:
{\displaystyle }
Цяпер абнулім каэфіцыент пры
{\displaystyle }
у трэцім радку, аднімем з яе другі радок, памножаны на
{\displaystyle }
:
{\displaystyle }
У выніку мы прывялі зыходную сістэму да трохвугольнага выгляду, тым самым скончым першы этап алгарытму.
На другім этапе дазволім атрыманыя ўраўненні ў зваротным парадку. Маем:
{\displaystyle }
з трэцяга;
{\displaystyle }
з другога, падставіўшы атрыманае
{\displaystyle }
{\displaystyle }
з першага, падставіўшы атрыманыя
{\displaystyle }
і
{\displaystyle }
. Такім чынам, зыходная сістэма вырашана.
У выпадку, калі лік ураўненняў ў сумеснай сістэме атрымаўся меншы за колькасць невядомых, то тады адказ будзе запісвацца ў выглядзе фундаментальнай сістэмы рашэнняў.
Акрамя аналітычнага рашэння СЛАУ, метад Гауса таксама ўжываецца для:
{\displaystyle }
, пасля чаго
{\displaystyle }
прыводзіцца да выгляду адзінкавай матрыцы метадам Гауса—Жордана; у выніку на месцы першапачатковай адзінкавай матрыцы справа аказваецца зваротная да зыходнай матрыца:
{\displaystyle }
);
Метад Гауса для дрэнна абумоўленых матрыц каэфіцыентаў з’яўляецца вылічальна няўстойлівым. Напрыклад, для матрыц Гільберта метад прыводзіць да вельмі вялікіх памылак нават пры невялікай памернасці гэтых матрыц. Паменшыць вылічальную памылку можна з дапамогай метаду Гауса з вылучэннем галоўнага элемента, які з’яўляецца ўмоўна устойлівым [5]. Шырокае прымяненне метаду Гауса звязана з тым, што дрэнна абумоўленыя матрыцы сустракаюцца на практыцы адносна рэдка.
У 1969 годзе Штрасен даказаў, што вялікія матрыцы можна перамнажаць за час
O (
n
log
2
7
O (
n
2
,
81
)
{\displaystyle O(n^{\log _{2}{7}})=O(n^{2{,}81})}
[6]. Адсюль вынікае, што зварот матрыц і рашэнне СЛАУ можна ажыццяўляць алгарытмамі асімптатычна больш хуткімі па парадку, чым метад Гауса. Такім чынам, для вялікіх СЛАУ метад Гауса не аптымальны па хуткасці.