wd wp Пошук: ⬜

Паверхня

У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Паверхня (значэнні).

Паверхня — традыцыйная назва для двухмернай мнагастайнасці ў прасторы.

Спосабы задання

Паверхні вызначаецца як мноства пунктаў, каардынаты якіх задавальняюць вызначанаму віду ўраўненняў:

F ( x , y , z )

( 1 )

{\displaystyle F(x,y,z)=0\qquad (1)}

$\{\displaystyle F(x,y,z)=0\qquad (1)\}$ Калі функцыя

F ( x , y , z )

{\displaystyle F(x,y,z)}

$\{\displaystyle F(x,y,z)\}$ непарыўная ў некаторым пункце і мае ў ёй непарыўныя частковыя вытворныя, з якіх хоць адна не абарачаецца ў нуль, то ў наваколлі гэтага пункта паверхня, зададзеная ўраўненнем (1), будзе правільнай паверхняй.

Апроч азначанага вышэй няяўнага спосабу задання паверхня можа быць вызначана яўна, калі адну з пераменных, напрыклад z, можна выразіць праз астатнія:

z

f ( x , y )

(

1 ′

)

{\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1’)}

$\{\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1’)\}$ Таксама існуе параметрычны спосаб задання. У гэтым выпадку паверхня вызначаецца сістэмай ураўненняў:

{

x ( u , v )

y ( u , v )

z ( u , v )

(

1 ″

)

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\y&=&y(u,v)\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\qquad (1’’)}

$\{\displaystyle \left\\{\{\begin\{array\}\{ccc\}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end\{array\}\}\right.\qquad (1’’)\}$ Паняцце простай паверхні

Асноўны артыкул: Простая паверхня Інтуітыўна простую паверхню можна прадставіць як кавалак плоскасці, падвергнуты непарыўным дэфармацыям (расцяжэнням, сцісканням і выгінанням).

Стражэй, простай паверхняй называецца вобраз гамеаморфнага адлюстравання (гэта значыць узаемна адназначнага і ўзаемна непарыўнага адлюстравання) унутранасці адзінкавага квадрата. Гэтае азначэнне можна запісаць у аналітычным выглядзе.

Хай на плоскасці з прамавугольнай сістэмай каардынат u і v зададзены квадрат, каардынаты ўнутраных пунктаў якога задавальняюць няроўнасцям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гамеаморфная выява квадрата ў прасторы з прамавугольнай сістэмай каардынат х, у, z задаецца пры дапамозе формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрычнае заданне паверхні). Пры гэтым ад функцый x(u, v), y(u, v) і z(u, v) патрабуецца, каб яны былі непарыўнымі і каб для розных пунктаў (u, v) і (u’, v’) былі рознымі адпаведныя пункты (x, у, z) і (x’, у’, z’).

Прыкладам простай паверхні з’яўляецца паўсфера. Уся ж сфера не з’яўляецца простай паверхняй. Гэта выклікае неабходнасць далейшага абагульнення паняцця паверхні.

Падмноства прасторы, у кожнага пункта якога ёсць наваколле, якое з’яўляецца простай паверхняй, называецца правільнай паверхняй.

Абагульненне

Пра мнагамерныя аналагі тэорыі гл.:

Тэмы гэтай старонкі (7):
Катэгорыя·Паверхні
Катэгорыя·Аналітычная геаметрыя
Катэгорыя·Тапалогія
Катэгорыя·Іншыя значэнні: старонка не існуе
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Дыферэнцыяльная геаметрыя паверхняў
Катэгорыя·Маламерная тапалогія