wd wp Пошук: ⬜

Лінейнае ўраўненне

Лінейнае ўраўненне — гэта алгебраічнае ўраўненне першай ступені па сукупнасці невядомых[1], г. зн. ураўненне выгляду:

⋯ +

= b ,

{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b,}

$\{\displaystyle a_\{1\}x_\{1\}+a_\{2\}x_\{2\}+\dots +a_\{n\}x_\{n\}=b,\}$ дзе

a1, a2, …, a**n, b — вызначаныя лікі, x1, x2, …, x**n — невядомыя велічыні. Пры гэтым лікі a1, a2, …, a**n называюцца каэфіцыентамі ўраўнення, а b — свабодным членам.

У выпадку, калі свабодны член b = 0, лінейнае ўраўненне называецца аднародным.

Лінейнае ўраўненне можна прадставіць:

у агульнай форме:

⋯ +

b

0 ;

{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0;}

$\{\displaystyle a_\{1\}x_\{1\}+a_\{2\}x_\{2\}+\dots +a_\{n\}x_\{n\}+b=0;\}$

у кананічнай форме:

⋯ +

= b .

{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b.}

$\{\displaystyle a_\{1\}x_\{1\}+a_\{2\}x_\{2\}+\dots +a_\{n\}x_\{n\}=b.\}$

Лінейнае ўраўненне адной зменнай

Лінейнае ўраўненне ад адной зменнай можна прывесці да выгляду:

a x + b

{\displaystyle ax+b=0.}

$\{\displaystyle ax+b=0.\}$ Колькасць рашэнняў залежыць ад параметраў a і b.

Калі

a

b

0 ,

{\displaystyle ~a=b=0,}

$\{\displaystyle ~a=b=0,\}$ то ўраўненне мае бясконцае мноства рашэнняў, бо

∀ x ∈

: x ⋅ 0

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :x\cdot 0=0.}

$\{\displaystyle \forall x\in \mathbb \{R\} :x\cdot 0=0.\}$

Калі

a

0 , b ≠ 0 ,

{\displaystyle a=0,b\neq 0,}

$\{\displaystyle a=0,b\neq 0,\}$ то ўраўненне не мае рашэнняў, бо не існуе такіх лікаў x, для якіх

0 ⋅ x

− b ≠ 0.

{\displaystyle 0\cdot x=-b\neq 0.}

$\{\displaystyle 0\cdot x=-b\neq 0.\}$

Калі

a ≠ 0 ,

{\displaystyle a\neq 0,}

$\{\displaystyle a\neq 0,\}$ то ўраўненне мае адзінае рашэнне

x

−

b a

{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}

$\{\displaystyle x=-\{\frac \{b\}\{a\}\}.\}$

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных можна прадставіць

у агульнай форме:

a x + b y + c

0 ;

{\displaystyle ax+by+c=0;}

$\{\displaystyle ax+by+c=0;\}$

у кананічнай форме:

a x + b y

− c ;

{\displaystyle ax+by=-c;}

$\{\displaystyle ax+by=-c;\}$

у выглядзе лінейнай функцыі:

y

k x + m ,

{\displaystyle y=kx+m,}

$\{\displaystyle y=kx+m,\}$ дзе

k

−

a b

; m

−

c b

{\displaystyle k=-{\frac {a}{b}};\ m=-{\frac {c}{b}}.}

$\{\displaystyle k=-\{\frac \{a\}\{b\}\};\ m=-\{\frac \{c\}\{b\}\}.\}$

Рашэннем або коранем такога ўраўнення называюць такую пару значэнняў зменных

( x ; y ) ,

{\displaystyle (x;y),}

$\{\displaystyle (x;y),\}$ якая пры падстаноўцы ператварае яго ў тоеснасць. Такіх рашэнняў (каранёў) лінейнае ўраўненне з двума зменнымі мае бясконцае мноства. Геаметрычнай мадэллю (графікам) такога ўраўнення з’яўляецца прамая

y

k x + m .

{\displaystyle y=kx+m.}

$\{\displaystyle y=kx+m.\}$ Гл. таксама

Зноскі

↑ Математическая энциклопедия. Т. 3. Под ред. И. М. Виноградова. с. 356.

Літаратура

Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3 (Координаты — Одночлен).

Спасылкі

Решение линейных уравнений на сайце «Рекомендации учащимся»

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Алгебраічныя ўраўненні