wd wp Пошук: ⬜

Задача двух цел

У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з’яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Пастаноўка задачы

Няхай

x

1

{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}

і

x

2

{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}

радыус-вектары двух цел, а

m

1

{\displaystyle m_{1}}

і

m

2

{\displaystyle m_{2}}

іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю

x

1

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)}

і

x

2

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)}

для любога часу

t

{\displaystyle t}

, пры зададзеных пачатковых каардынатах

x

1

( t

0 ) ,

{\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t=0),}

x

2

( t

0 )

{\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t=0)}

і хуткасцях

x

˙

1

( t

0 ) ,

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t=0),}

x

˙

2

( t

0 )

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t=0)}

. Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

F

12

(

x

1

,

x

2

)

m

1

x

¨

1

( 1 )

{\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\quad \quad \quad (1)}

F

21

(

x

1

,

x

2

)

m

2

x

¨

2

( 2 )

{\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\quad \quad \quad (2)}

дзе

F

12

{\displaystyle \mathbf {F} _{12}}

— сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,

F

21

{\displaystyle \mathbf {F} _{21}}

— сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага. Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. “Складанне” раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, “адыманне” раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар

r

≡

x

1

−

x

2

{\displaystyle \mathbf {r} \equiv \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}}

паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый

x

1

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)}

и

x

2

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)}

.

Рух цэнтра мас (першая задача)

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

m

1

x

¨

1

m

2

x

¨

2

= (

m

1

m

2

)

x

¨

c m

=

F

12

F

21

= 0 ,

{\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0,}

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана

F

12

= −

F

21

{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}

, і дзе

x

c m

≡

m

1

x

1

m

2

x

2

m

1

m

2

{\displaystyle \mathbf {x} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

x

¨

c m

= 0.

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=0.}

Яно паказвае, што хуткасць

x

˙

c m

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}_{cm}}

цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс

m

1

x

˙

1

m

2

x

˙

2

{\displaystyle m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}

таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

Адносны рух (другая задача)

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

x

¨

1

−

x

¨

2

=

(

F

12

m

1

−

F

21

m

2

)

=

(

1

m

1

1

m

2

)

F

12

,

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12},}

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана

F

12

= −

F

21

{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}

і

r

{\displaystyle \mathbf {r} }

(азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі

r

{\displaystyle \mathbf {r} }

, а не абсалютных радыус-вектараў

x

1

{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}

і

x

2

{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}

; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

μ

r

¨

=

F

12

(

x

1

,

x

2

)

F

(

r

) ,

{\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} ),}

дзе

μ

{\displaystyle \mu }

-прыведзеная маса

μ

1

1

m

1

1

m

2

=

m

1

m

2

m

1

m

2

.

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}

Як толькі мы знойдзем рашэнне для

x

c m

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)}

і

r

( t ) ,

{\displaystyle \mathbf {r} (t),}

першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

x

1

( t )

x

c m

( t ) +

m

2

m

1

m

2

r

( t ) ;

{\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t);}

x

2

( t )

x

c m

( t ) −

m

1

m

1

m

2

r

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для

x

c m

( t )

{\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)}

і

r

( t )

{\displaystyle \mathbf {r} (t)}

.

Рашэнне задачы двух цел

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

m

1

r

¨

1

m

2

r

¨

2

= 0.

{\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=0.}

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

m

1

r

˙

1

m

2

r

˙

2

=

a

;

{\displaystyle m_{1}{\dot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{2}=\mathbf {a} ;}

m

1

r

1

m

2

r

2

=

a

t +

b

,

{\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=\mathbf {a} t+\mathbf {b} ,}

дзе a і b – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M - іх агульную масу:

  M

m

1

m

2

;

{\displaystyle ~M=m_{1}+m_{2};}

  M

r

=

m

1

r

1

m

2

r

2

,

{\displaystyle ~M\mathbf {r} =m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2},}

атрымаем

  M

r

˙

=

a

,

{\displaystyle ~M{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} ,}

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

 

r

¨

1

= G

m

2

r

r

3

;

r

¨

2

= − G

m

1

r

r

3

,

{\displaystyle ~{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}=Gm_{2}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}};;;;{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}},}

    где    

 

r

=

r

2

−

r

1

.

{\displaystyle ~\mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}.}

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

 

r

¨

= −

μ

r

r

3

,

{\displaystyle ~{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} }{r^{3}}},}

    где    

  μ

G (

m

1

m

2

) .

( 1 )

{\displaystyle ~\mu =G(m_{1}+m_{2}).;;;(1)}

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем

 

r

×

r

¨

= 0 ;

{\displaystyle ~\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0;}

 

r

×

r

˙

=

h

.

{\displaystyle ~\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} .}

Пастаянны вектар h, які з’яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

 

r

˙

r

=

i

r ˙

;      

r

˙

ϕ

=

j

r

ϕ ˙

,      

r

˙

=

i

r ˙

j

r

ϕ ˙

.

{\displaystyle ~{\dot {\mathbf {r} }}_{r}=\mathbf {i} {\dot {r}};{\dot {\mathbf {r} }}_{\phi }=\mathbf {j} r{\dot {\phi }},{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }}.}

Тады

 

r

×

r

˙

=

h

;

{\displaystyle ~\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} ;}

 

i

r × (

i

r ˙

j

r

ϕ ˙

)

k

h ;

{\displaystyle ~\mathbf {i} r\times (\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }})=\mathbf {k} h;}

 

i

r ×

j

r

ϕ ˙

=

k

h ;

{\displaystyle ~\mathbf {i} r\times \mathbf {j} r{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;}

 

k

r

2

ϕ ˙

=

k

h ;

{\displaystyle ~\mathbf {k} r^{2}{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;}

 

r

2

ϕ ˙

= h .

{\displaystyle ~r^{2}{\dot {\phi }}=h.}

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з’яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

Падрабязны вывад  

 

r

˙

⋅

r

¨

= − μ

r

˙

⋅

r

r

3

;

{\displaystyle ~{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} }{r^{3}}};}

Распішам апошні выраз у каардынатах:

 

d x

d t

d

2

x

d

t

2

d y

d t

d

2

y

d

t

2

= −

μ

(

x

2

y

2

)

3

(

x

d x

d t

y

d y

d t

)

;

{\displaystyle ~{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-{\frac {\mu }{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}}\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}\right);}

 

d x

d t

d

(

d x

d t

)

d y

d t

d

(

d y

d t

)

= −

μ

(

x d x + y d y

)

(

x

2

y

2

)

3

.

{\displaystyle ~{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy}{dt}}\right)=-{\frac {\mu \left(xdx+ydy\right)}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}}.}

Памецім, што

  d

(

r

2

)

= d

(

x

2

y

2

)

= 2 x d x + 2 y d y .

{\displaystyle ~d\left(r^{2}\right)=d\left(x^{2}+y^{2}\right)=2xdx+2ydy.}

Тады

 

d x

d t

d

(

d x

d t

)

d y

d t

d

(

d y

d t

)

= −

μ 2

(

r

2

)

− 3

/

2

d

(

r

2

)

.

{\displaystyle ~{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy}{dt}}\right)=-{\frac {\mu }{2}}\left(r^{2}\right)^{-3/2}d\left(r^{2}\right).}

Інтэгруючы абедзве часткі, атрымаем

 

1 2

(

d x

d t

)

2

1 2

(

d y

d t

)

2

= −

μ 2

(

r

2

)

− 1

/

2

− 1

/

2

C ;

{\displaystyle ~{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{2}}{\frac {\left(r^{2}\right)^{-1/2}}{-1/2}}+C;}

 

v

2

2

=

μ r

C ;

{\displaystyle ~{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {\mu }{r}}+C;}

 

v

2

2

−

μ r

= C .

{\displaystyle ~{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=C.}

Апошні стасунак з’яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасці

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс

p

= μ

r

˙

{\displaystyle \mathbf {p} =\mu {\dot {\mathbf {r} }}}

і момант імпульсу

L

=

r

×

p

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы

N

{\displaystyle \mathbf {N} }

d

L

d t

=

r

˙

× μ

r

˙

r

× μ

r

¨

=

r

×

F

=

N

,

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {N} ,}

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць

F

|

|

r

.

{\displaystyle \mathbf {F} ||\mathbf {r} .}

Адсюль

r

×

F

= 0

{\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}

і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння

r

{\displaystyle \mathbf {r} }

і хуткасць яго змянення

r

˙

{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}

ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара

L

{\displaystyle \mathbf {L} }

.

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла

F

(

r

)

{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}

ёсць функцыяй радыуса

r .

{\displaystyle r.}

А раз r-кампанента паскарэння раўняецца

r ¨

− r

θ ˙

2

,

{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},}

ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння

μ

r

¨

=

F

( r ) ≡ F ( r )

{\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (r)\equiv F(r)}

можна перапісаць у выглядзе

μ

d

2

r

d

t

2

− μ r

ω

2

= μ

d

2

r

d

t

2

−

L

2

μ

r

3

= F ( r ) ,

{\displaystyle \mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-\mu r\omega ^{2}=\mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}=F(r),}

дзе

ω ≡

θ ˙

{\displaystyle \omega \equiv {\dot {\theta }}}

і момант імпульсу

L

μ

r

2

ω

{\displaystyle L=\mu r^{2}\omega }

захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі

r ( θ )

{\displaystyle r(\theta )}

, выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад

t

{\displaystyle t}

да

θ

{\displaystyle \theta }

d

d t

=

L

μ

r

2

d

d θ

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}

атрымаем ўраўненне руху

L

r

2

d

d θ

(

L

μ

r

2

d r

d θ

)

−

L

2

μ

r

3

= F ( r )

{\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}=F(r)}

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных

u ≡

1 r

{\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}

і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на

μ

r

2

L

2

=

μ

L

2

u

2

{\displaystyle {\frac {\mu r^{2}}{L^{2}}}={\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}}

d

2

u

d

θ

2

u

−

μ

L

2

u

2

F ( 1

/

u )

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}F(1/u)}

Прымяненне

Для сіл

F

{\displaystyle F}

, адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

F

α

r

2

= α

u

2

{\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}

для некаторых канстант

α

{\displaystyle \alpha }

, ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

d

2

u

d

θ

2

u

α μ

L

2

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}}

Рашэнне гэтага ўраўнення

u ( θ ) ≡

1

r ( θ )

=

α μ

L

2

A cos ⁡ ( θ −

θ

0

) ,

{\displaystyle u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}={\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0}),}

дзе

A

0

{\displaystyle A>0}

і

θ

0

{\displaystyle \theta _{0}}

- пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго

A

{\displaystyle A}

меншая за выраз

α μ

L

2

{\displaystyle {\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}}

, большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТА

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб’екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

Прыклад

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.[1]. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з’яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

Гл. таксама

• Законы Кеплера
• Задача Бертрана
• Задача трох цел
• Гравітацыйная задача N цел

Зноскі

1. ↑ David Shiga ‘Periodic table’ organises zoo of black hole orbits(нявызн.) (недаступная спасылка). NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012. Праверана 6 ліпеня 2013.

Літаратура

• Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Нябесная механіка
Катэгорыя·Класічная механіка
Катэгорыя·Старонкі з няправільным сінтаксісам спасылак на крыніцы