Задача Бертрана — задача, зваротная да задачы двух целаў і якая складаецца ў вызначэнні сілы ўзаемадзеяння па вядомых уласцівасцях траекторый руху.
Ньютан паказаў, што яго закон сусветнага прыцягнення і яго механіка прыводзяць да эмпірычных законам Кеплера, але пакінуў адкрытым пытанне аб тым, ці існуюць іншыя ўзаемадзеяння, вядучыя да законаў Кеплера, пазначыўшы яго ў сваіх матэматычных пачатках. Сітуацыя змянілася толькі ў 1870-х гадах, калі Бертран і яго калегі звярнуліся да наступнай задачы:
Першая задача Бертрана. Знайсці закон сіл, якія залежаць толькі ад становішча якая рухаецца кропкі, і прымушае яе апісваць канічныя сячэнні, якія б ні былі пачатковыя ўмовы.
Гэтая задача была паспяхова вырашана Дарбу і Альфеном [1] пры дадатковым здагадцы, што сіла цэнтральная, а затым удалося адкінуць і гэту ўмову [2]. Аказалася, што такіх узаемадзеяння два - закон сусветнага прыцягнення і закон Гука. Тым самым пытанне, што заставаўся з часоў Ньютана, быў вычарпальна вырашана: для высновы закона сусветнага прыцягнення дастаткова было даведацца з вопыту, што траекторыі планет - канічныя сячэнні і што гэты закон - не закон Гука.
Здагадку аб цэнтральнай сіле, зрэшты, можна было б зрабіць і з агульных меркаванняў сіметрыі задачы.
Другая задача Бертрана. Ведаючы, што сіла, якая выклікае рух планеты вакол Сонца, залежыць толькі ад адлегласці і такая, што яна прымушае свой пункт прыкладання апісваць замкнёную крывую, якія б ні былі пачатковыя ўмовы, калі толькі хуткасць менш некаторага мяжы, знайсці закон гэтай сілы.
Адказ кароткі: закон сілы можа быць або законам Гука, або законам сусветнага прыцягнення.
Задача вырашана самім Бертранам [3]. Найбольш поўнае рашэнне прыведзена ў нататцы Дарбу да механікі Депейру [4].
Кенігс (Koenigs G.) прапанаваў яшчэ больш агульную задачу:
Задача Кенігса. Ведаючы, што сіла, якая выклікае рух планеты вакол Сонца, залежыць толькі ад адлегласці і такая, што яна прымушае свой пункт прыкладання апісваць алгебраічную крывую, якія б ні былі пачатковыя ўмовы, знайсці закон гэтай сілы.
Як гэта ні дзіўна, але адказ той жа: закон сілы можа быць або законам Гука або законам сусветнага прыцягнення.
Вычарпальнае рашэнне задачы дадзена самім Кенігсам [5].