wd wp Пошук: ⬜

Акружнасць

Акру́жнасць, акру́жына[1] — замкнёная плоская крывая, якая складаецца з усіх пунктаў на плоскасці, роўнааддалёных ад дадзенага пункта. Гэты пункт называецца цэнтрам акружнасці. Адрэзак, які злучае цэнтр акружнасці з якім-небудзь пунктам на акружнасці, называецца радыусам; радыусам таксама завецца і даўжыня гэтага адрэзка. Унутраная частка плоскасці, абмежаваная акружнасцю, называецца кругам. У залежнасці ад падыходу круг можа ўключаць межавыя пункты (якія з’яўляюцца самой акружнасцю) ці не ўключаць іх.

Практычная пабудова акружнасці вырабляецца пры дапамозе цыркуля. Акружнасць нулявога радыуса (выраджаная акружнасць) з’яўляецца пунктам, далей гэты выпадак не будзе разглядацца, калі не сказана іншае.

Акружнасць з’ўляецца адзінкавай, калі яе радыус роўны адзінцы. Адзінкавая акружнасць з’яўляецца адным з асноўных аб’ектаў трыганаметрыі.

Далей усюды літара

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ пазначае радыус акружнасці.

Хорды, дугі і датычныя

Акружнасць разбівае сваю плоскасць на дзве часткі - канчатковую ўнутраную (круг) і бясконцую знешнюю, якая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, аддалёных ад цэнтра больш чым на адлегласць

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ .

Прамая, якая перасякае акружнасць у двух розных пунктах, называецца сякучай. Адрэзак сякучай, які знаходзіцца ўнутры акружнасці, называецца [хордай](/Хорда_(геаметрыя) "Хорда (геаметрыя)"). Хорда, якая праходзіць праз цэнтр акружнасці, называецца [дыяметрам](/Дыяметр "Дыяметр"); гэты ж тэрмін выкарыстоўваецца для яго дліны. Дыяметр па даўжыне роўны двум радыусам і падзяляе акружнасць і круг на дзве роўныя паміж сабой часткі і таму з'яўляецца воссю сіметрыі. Дыяметр больш любой іншай хорды.

Хорда разбівае круг на дзве часткі, якія называюцца сегментам. Два розных радыуса таксама разбіваюць круг на дзве часткі, якія называюцца сектарамі круга.

Любыя два не супадаючыя пункты акружнасці дзеляць яе на дзве часткі. Кожная з гэтых частак называецца дугой акружнасці. Дуга называецца паўакружнасцю, калі адрэзак, які злучае яе канцы, з’яўляецца дыяметрам.

Для зададзенай акружнасці маюць месца наступныя ўласцівасці:

Хорды, роўнааддалённыя ад цэнтра, роўныя паміж сабой. Наадварот, калі дзве хорды роўныя па даўжыне, то яны аднолькава аддалены ад цэнтра.
Роўным хордам адпавядаюць роўныя дугі, і наадварот.
Пры перасячэнні дзвюх хорд здабытак даўжынь адрэзкаў адной хорды роўны здабытку даўжынь адрэзкаў другой хорды.

Прамая называецца датычнай, калі яна мае з акружнасцю только адзін агульны пункт. Адзіны агульны пункт прамой і акружнасці называецца пунктам дотыку прамой і акружнасці. Датычная да акружнасці заўсёды перпендыкулярна радыусу гэтай акружнасці, праведзенаму ў пункт дотыку. Гэта значыць, што радыус адначасова з’яўляецца і нармаллю да акружнасці.

Адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта, які не знаходзіцца на акружнасці, роўныя і складаюць роўныя вуглы з прамой, якая праходзіць праз гэты пункт і цэнтр акружнасці.

Вуглы

Цэнтральны вугал - гэта вугал з вяршыняй у цэнтры акружнасці. Цэнтральны вугал можа быть прыняты як вугалавая мера дугі, на якую яна абапіраецца. Цэнтральны вугал, які ўтвараецца дугой акружнасці, якая па даўжыне роўная радыусу акружнасці, у матэматыцы выкарыстоўваецца ў якасці адзінкі вымярэння вуглоў і мае назву радыян. З ростам вугла значэнне яго радыяннай меры змяняецца ад 0 да

2 π

{\displaystyle 2\pi }

$\{\displaystyle 2\pi \}$ .

З азначэння радыяна вынікае, што даўжыня

{\displaystyle L}

$\{\displaystyle L\}$ любой дугі акружнасці звязана з цэнтральным вуглом

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ , які абапіраецца на гэту дугу, наступным чынам:

L

R θ

{\displaystyle L=R\theta }

$\{\displaystyle L=R\theta \}$ . Даўжыня хорды, якая сцягвае тую ж дугу, роўная

2 R sin ⁡

θ 2

{\displaystyle 2R\sin {\frac {\theta }{2}}}

$\{\displaystyle 2R\sin \{\frac \{\theta \}\{2\}\}\}$ . Адсюль вынікае, што даўжыню ўсёй акружнасці можна вызначыць па формуле

C

2 π R

{\displaystyle C=2\pi R}

$\{\displaystyle C=2\pi R\}$ .

Упісаны вугал - вугал, вершыня якога ляжыць на акружнасці, а стораны перасякаюць гэтую акружнасць.

Знешні вугал для ўпісанага вугла - вугал, створаны одной стараной і працягам другой стараны ўпісанага вугла (вугал

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ карычневага колеру на мал.). Знешні вугал для ўпісанага вугал роўны ўпісанаму вуглу, які абапіраецца на тую ж хрду с іншага боку.

Вугал паміж акружнасцю і прамой - вугал паміж сякучай прамой і адной з двух датычных да акружнасці ў пункце перасячэння прамой і акружнасці.

Уласцівасці ўпісаных вуглоў:

Упісаны вугал альбо роўны палове цэнтральнага вугла, які абапіраецца на яго дугу, альбо дапаўняе палову гэтага ж вугла да 180°. Упісаны вугал, які абапіраецца на дугу даўжынёй у палову акружнасці, заўсёды прамой (роўны 90°)
Упісаны вугал не мяняе сваёй велічыні пры перамяшчэнні яго вершыні ўздоўж акружнасці.
Два ўпісаных вугла, якія абапіраюцца на адну і тую ж дугу, роўныя паміж сабой.

Іншыя ўласцівасці:

Вугал паміж двумя сякучымі, якія праведзены з пункта па-за акружнасцю, роўны паўрознасці мер дуг, якія знаходзяцца паміж сякучымі.
Вугал паміж дзвюмя перасякаючыміся хордамі роўны паўсуме мер дуг, якія абапіраюцца на вертыкальныя вуглы.
Вугал паміж датычнай і хордай, якія маюць агульны пункт, роўны палове меры дугі, які сцягвае хорда.

Зноскі

↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. Мн., 2001. ISBN 985-458-059-8

Гл. таксама

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Канічныя сячэнні
Катэгорыя·Крывыя
Катэгорыя·Алгебраічныя крывыя
Катэгорыя·Планіметрыя