wd wp Пошук: ⬜

Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — гэта велічыня, якая прымае ў выніку эксперымента адно з мноства значэнняў, прычым з’яўленне таго ці іншага значэння гэтай велічыні да яе вымярэння нельга дакладна прадказаць.

Фармальнае матэматычнае азначэнне наступнае: няхай

( Ω ,

)

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}

$\{\displaystyle (\Omega ,\{\mathcal \{F\}\},\mathbb \{P\} )\}$ — імавернасная прастора, тады выпадковай велічынёю называецца функцыя

X : Ω →

{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }

$\{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb \{R\} \}$ , вымерная адносна

{\displaystyle {\mathcal {F}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}\}$ і барэлеўскай σ-алгебры на

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ . Імавернасныя паводзіны асобнай (незалежна ад іншых) выпадковай велічыні поўнасцю апісваецца яе размеркаваннем.

Азначэнне

Прастора элементарных падзей

Асноўны артыкул: Прастора элементарных падзей

Прастора элементарных падзей — гэта мноства

{\displaystyle \Omega }

$\{\displaystyle \Omega \}$ ўсіх магчымых зыходаў выпадковага эксперымента. Неабходна падкрэсліць, што зыходы несумяшчальныя, г.зн. у выніку эксперымента адбудзецца адна і толькі адна элементарная падзея.

Напрыклад, калі кідаецца ігральная косць, то ў выніку верхняй гранню можа аказацца адна з шасці граней з колькасцю кропак ад аднае да шасці. Выпадзенне якой-небудзь грані ў дадзеным выпадку ў тэорыі імавернасцей называецца элементарнаю падзеяй

{\displaystyle ~\omega _{k}}

$\{\displaystyle ~\omega _\{k\}\}$ [1], гэта значыць

{\displaystyle ~\omega _{1}}

$\{\displaystyle ~\omega _\{1\}\}$ — грань з адною кропкаю;

{\displaystyle ~\omega _{2}}

$\{\displaystyle ~\omega _\{2\}\}$ — грань з дзвюма кропкамі;

{\displaystyle ~\omega _{6}}

$\{\displaystyle ~\omega _\{6\}\}$ — грань з шасцю кропкамі.

Мноства ўсіх граней

{

, … ,

}

{\displaystyle ~\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{6}\}}

$\{\displaystyle ~\\{\omega _\{1\},\ldots ,\omega _\{6\}\\}\}$ утварае прастору элементарных падзей

{\displaystyle ~\Omega }

$\{\displaystyle ~\Omega \}$ , падмноствы якога называюцца выпадковымі падзеямі

{\displaystyle ~A_{n}}

$\{\displaystyle ~A_\{n\}\}$ [1]. У выпадку аднаразовага падкідвання ігральнае косці прыкладамі падзей з’яўляюцца:

няхай падзея A — гэта выпадзенне грані з няцотнай колькасцю кропак (г. зн. падзея A заключаецца ў выпадзенні грані ці з адною, ці з трыма, ці з пяццю кропкамі). Матэматычна падзея A запісваецца як:

A

{

} ;

{\displaystyle A=\{\omega _{1},\omega _{3},\omega _{5}\};}

$\{\displaystyle A=\\{\omega _\{1\},\omega _\{3\},\omega _\{5\}\\};\}$

няхай падзея B — гэта выпадзенне грані з цотным лікам кропак, г.зн. падзея B — гэта выпадзенне грані з двума ці з чатырма, ці з шасцю кропкамі. Матэматычна падзея B запісваецца як:

B

{

} .

{\displaystyle B=\{\omega _{2},\omega _{4},\omega _{6}\}.}

$\{\displaystyle B=\\{\omega _\{2\},\omega _\{4\},\omega _\{6\}\\}.\}$

Алгебра падзей

Асноўны артыкул: Алгебра мностваў

Мноства выпадковых падзей утварае алгебру падзей

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ [2], калі выконваюцца наступныя ўмовы:

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ утрымлівае пустое мноства

∅

{\displaystyle ~\varnothing }

$\{\displaystyle ~\varnothing \}$ . 2. Калі падзея

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ належыць

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ , то і яго дапаўненне належыць

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ :

∀ A ∈

Ω ∖ A ∈

{\displaystyle \forall A\in {\mathfrak {A}},:,\Omega \setminus A\in {\mathfrak {A}}.}

$\{\displaystyle \forall A\in \{\mathfrak \{A\}\}\,:\,\Omega \setminus A\in \{\mathfrak \{A\}\}.\}$ 3. Калі

{\displaystyle A_{1}}

$\{\displaystyle A_\{1\}\}$ і

{\displaystyle A_{2}}

$\{\displaystyle A_\{2\}\}$ належаць

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ , то іх аб’яднанне таксама належыць

{\displaystyle ~{\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle ~\{\mathfrak \{A\}\}\}$ :

∀

∈

(

∪

) ∈

{\displaystyle \forall A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {A}},:,(A_{1}\cup A_{2})\in {\mathfrak {A}}.}

$\{\displaystyle \forall A_\{1\},A_\{2\}\in \{\mathfrak \{A\}\}\,:\,(A_\{1\}\cup A_\{2\})\in \{\mathfrak \{A\}\}.\}$

Калі трэцяя ўмова для

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ выконваецца ў мацнейшай форме: аб’яднанне злічальнага падсямейства з

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ таксама належыць

{\displaystyle ~{\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle ~\{\mathfrak \{A\}\}\}$ :

∀

, … ,

, … ∈

⋃

k

∞

∈

{\displaystyle \forall A_{1},A_{2},\ldots ,A_{k},\ldots \in {\mathfrak {A}},:,\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathfrak {A}},}

$\{\displaystyle \forall A_\{1\},A_\{2\},\ldots ,A_\{k\},\ldots \in \{\mathfrak \{A\}\}\,:\,\bigcup \{k=1\}^\{\infty \}A\{k\}\in \{\mathfrak \{A\}\},\}$ то мноства выпадковых падзей

{\displaystyle {\mathfrak {A}}}

$\{\displaystyle \{\mathfrak \{A\}\}\}$ утварае σ-алгебру падзей.

σ-алгебра падзей з’яўляецца асобным выпадкам σ-алгебры мностваў.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебр, элементамі якой з’яўляюцца ўсе прамежкі на рэчаіснай восі, называецца барэлеўскаю σ-алгебрай

{\displaystyle ~{\mathcal {B}}}

$\{\displaystyle ~\{\mathcal \{B\}\}\}$ на мностве рэчаісных лікаў

{\displaystyle ~\mathbb {R} }

$\{\displaystyle ~\mathbb \{R\} \}$ .

Імавернасць

Асноўны артыкул: Імавернасць

Для кожнай падзеі A вызначым лік

P ( A ) ∈ [ 0 , 1 ]

{\displaystyle P(A)\in [0,1]}

$\{\displaystyle P(A)\in [0,1]\}$ , які будзем называць імавернасцю падзеі A, так, што:

Імавернасць верагоднай падзеі

{\displaystyle \Omega }

$\{\displaystyle \Omega \}$ раўняецца адзінцы:

P ( Ω )

{\displaystyle P(\Omega )=1.}

$\{\displaystyle P(\Omega )=1.\}$ 2. Імавернасць аб’яднання несумяшчальных падзей раўняецца суме імавернасцей гэтых падзей:

∩

= ∅

⇒

P (

∪

)

P (

) + P (

) .

{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}=\varnothing ,\Rightarrow ,P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2}).}

$\{\displaystyle A_\{1\}\cap A_\{2\}=\varnothing \,\Rightarrow \,P(A_\{1\}\cup A_\{2\})=P(A_\{1\})+P(A_\{2\}).\}$

З гэтых умоў вынікае, што імавернасць немагчымай падзеі (г.зн. пустога мноства) роўная нулю[3]:

P ( ∅ )

{\displaystyle P(\varnothing )=0.}

$\{\displaystyle P(\varnothing )=0.\}$ А імавернасць адвольнай падзеі (г.зн. некаторага падмноства прасторы элементарных падзей) роўная суме імавернасцей тых элементарных падзей, аб’яднаннем якіх яна з’яўляецца.

Азначэнне выпадковай велічыні

Выпадковай велічынёй называецца функцыя

ξ : Ω →

{\displaystyle ~\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }

$\{\displaystyle ~\xi \colon \Omega \to \mathbb \{R\} \}$ , вымерная адносна

{\displaystyle {\mathcal {F}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}\}$ і барэлеўскай σ-алгебры на

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ [4].

Выпадковую велічыню можна вызначыць і іншым раўназначным спосабам[4]. Функцыя

ξ : Ω →

{\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb \{R\} \}$ называецца выпадковай велічынёй, калі для любых рэчаісных лікаў

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ і

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ мноства падзей

{\displaystyle \omega }

$\{\displaystyle \omega \}$ , такіх што

ξ ( ω ) ∈ ( a , b )

{\displaystyle \xi (\omega )\in (a,b)}

$\{\displaystyle \xi (\omega )\in (a,b)\}$ , належыць

{\displaystyle {\mathcal {F}}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}\}$ .

Прыклады

Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, г.зн.

( X

)

1 n

i

1 , … , n .

{\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},;i=1,\ldots ,n.}

$\{\displaystyle \mathbb \{P\} (X=x_\{i\})=\{\frac \{1\}\{n\}\},\;i=1,\ldots ,n.\}$

Тады яе матэматычнае спадзяванне

M [ X ]

1 n

∑

i

{\displaystyle M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}

$\{\displaystyle M[X]=\{\frac \{1\}\{n\}\}\sum \limits \{i=1\}^\{n\}x\{i\}\}$ раўняецца сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.

Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку

[ a , b ]

{\displaystyle [a,b]}

$\{\displaystyle [a,b]\}$ , дзе

a < b

{\displaystyle a<b}

$\{\displaystyle a<b\}$ . Тады яе шчыльнасць мае выгляд

( x )

b − a

[ a , b ]

( x ) ,

{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x),}

$\{\displaystyle f_\{X\}(x)=\{\frac \{1\}\{b-a\}\}\mathbf \{1\} _\{[a,b]\}(x),\}$

а матэматычнае спадзяванне роўнае

M [ X ]

∫

b − a

d x

a + b

{\displaystyle M[X]=\int \limits _{a}^{b}!{\frac {x}{b-a}},dx={\frac {a+b}{2}}.}

$\{\displaystyle M[X]=\int \limits _\{a\}^\{b\}\!\{\frac \{x\}\{b-a\}\}\,dx=\{\frac \{a+b\}\{2\}\}.\}$ Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Класіфікацыя

Выпадковыя велічыні могуць прымаць дыскрэтныя, непарыўныя і дыскрэтна-непарыўныя значэнні. Адпаведна выпадковыя велічыні бываюць:

дыскрэтныя,
непарыўныя,
дыскрэтна-непарыўныя (змешаныя).

На схеме выпрабаванняў можа быць вызначана як асобная выпадковая велічыня (аднамерная/скалярная), так і цэлая сістэма аднамерных узаемазвязаных велічынь (мнагамерная/вектарная).

Прыклад змешанай выпадковай велічыні — час чакання пры пераходе цераз аўтамабільную дарогу ў горадзе на нерэгулюемым скрыжаванні.
У бесканечных схемах (дыскрэтных ці непарыўных) ужо з самага пачатку элементарныя зыходы зручна апісваць колькасна. Напрыклад, нумары градацый тыпаў няшчасных выпадкаў пры аналізе ДТЗ; час спраўнай работы прыбора пры кантролі якасці і г.д.
Лікавыя значэнні, якія апісваюць вынікі эксперыментаў, могуць характарызаваць не абавязкова асобныя элементарныя зыходы ў схеме выпрабаванняў, але і адпавядаць нейкім больш складаным падзеям.

З адною схемай выпрабаванняў і з асобнымі падзеямі ў ёй адначасова можа быць звязана адразу некалькі лікавых велічынь, якія аналізуюцца сумесна.

Напрыклад, каардынаты (абсцыса, ардыната) разрыву снарада пры стральбе па наземнай цэлі; метрычныя памеры (даўжыня, шырыня і г. д.) дэталі пры кантролі якасці; вынікі медабследавання (тэмпература, ціск, пульс і інш.) пры дыягностыцы хворага; дадзеныя перапісу насельніцтва (па ўзросту, полу, дастатку і інш.).

Метады апісання

Часткова задаць выпадковую велічыню, апісаўшы пры гэтым яе імавернасныя ўласцівасці як асобнай выпадковай велічыні, можна з дапамогай функцыі размеркавання, шчыльнасці імавернасці і характарыстычнай функцыі, а таксама вызначаючы імавернасці яе магчымых значэнняў.

Функцыя размеркавання F(x) ёсць імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні меншае за рэчаісны лік x. З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак [a, b) роўная F(b) - F(a). Перавагі выкарыстання функцыі размеркавання заключаюцца ў том, што з яе дапамогаю ўдаецца дасягнуць агульнага матэматычнага апісання дыскрэтных, непарыўных і дыскрэтна-непарыўных выпадковых велічынь.

Калі выпадковая велічыня дыскрэтная, то поўнае і адназначнае матэматычнае апісанне яе размеркавання задаецца імавернасцямі

= P ( ξ

)

{\displaystyle p_{k}=P(\xi =x_{k})}

$\{\displaystyle p_\{k\}=P(\xi =x_\{k\})\}$ усіх магчымых значэнняў гэтай выпадковай велічыні. У якасці прыкладу разгледзім біномны і пуасонаўскі законы размеркавання.

Біномны закон размеркавання апісвае выпадковыя велічыні, значэнні якіх вызначаюць колькасць «поспехаў» і «няўдач» пры паўтарэнні выпрабавання N разоў. У кожным выпрабаванні «поспех» можа наступіць з імавернасцю p, «няўдача» — з імавернасцю q = 1 - p. Закон размеркавання ў гэтым выпадку задаецца формулай Бернулі:

k , n

⋅

n − k

{\displaystyle P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}.}

$\{\displaystyle P_\{k,n\}=C_\{n\}^\{k\}\cdot p^\{k\}\cdot q^\{n-k\}.\}$ Калі пры імкненні

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ к бесканечнасці здабытак

n p

{\displaystyle np}

$\{\displaystyle np\}$ застаецца роўным пастаяннай

{\displaystyle \lambda >0}

$\{\displaystyle \lambda >0\}$ , то біномны закон размеркавання збягаецца к закону Пуасона, які апісваецца наступнаю формулай:

p ( k ) :=

( Y

k )

k !

− λ

{\displaystyle p(k):=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}},e^{-\lambda },}

$\{\displaystyle p(k):=\mathbb \{P\} (Y=k)=\{\frac \{\lambda ^\{k\}\}\{k!\}\}\,e^\{-\lambda \},\}$ дзе

сімвал "

{\displaystyle !}

$\{\displaystyle !\}$ " абазначае фактарыял,

e = 2.718281828 …

{\displaystyle e=2.718281828\ldots }

$\{\displaystyle e=2.718281828\ldots \}$ — аснова натуральнага лагарыфма.

Найпрасцейшыя абагульненні

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

Вымерная функцыя

X : Ω →

{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай

{\displaystyle \sigma }

$\{\displaystyle \sigma \}$ -алгебры на

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ ).

Вымерная функцыя

X : Ω →

{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {C} ^{n}}

$\{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb \{C\} ^\{n\}\}$ называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай [барэлеўскай

{\displaystyle \sigma }

$\{\displaystyle \sigma \}$ -алгебры](/Барэлеўская_сігма-алгебра “Барэлеўская сігма-алгебра”)).

Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама

Зноскі

1 2 Чернова Н. И. Глава 1. § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
↑ Чернова Н. И. Глава 3. § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
↑ Чернова Н. И. ГЛАВА 1 § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
1 2 Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Літаратура

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Спасылкі

Многомерные случайные величины(руск.)

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя імавернасцей