wd wp Пошук: ⬜

Злічальнае мноства

Злічальнае мноства — бесканечнае мноства, элементы якога можна перанумараваць натуральнымі лікамі. Больш фармальна: мноства

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ з’яўляецца злічальным, калі існуе біекцыя

X ↔

{\displaystyle X\leftrightarrow \mathbb {N} }

$\{\displaystyle X\leftrightarrow \mathbb \{N\} \}$ , дзе

{\displaystyle {\mathbb {N} }}

$\{\displaystyle \{\mathbb \{N\} \}\}$ пазначае мноства ўсіх натуральных лікаў. Іншымі словамі, злічальнае мноства — гэта мноства, якое такую ж магутнасць як і мноства натуральных лікаў.

Злічальнае мноства з’яўляецца «найменшым» бесканечным мноствам, гэта значыць у любым бесканечным мностве знойдзецца злічальнае падмноства. Магутнасць мноства ўсіх натуральных лікаў пазначаецца сімвалам

ℵ

{\displaystyle \aleph _{0}}

$\{\displaystyle \aleph _\{0\}\}$ (вымаўляецца: «Алеф-нуль»).

Уласцівасці

Любое падмноства злічальнага мноства не больш чым злічальнае (г.зн. канечнае або злічальнае)[1].
Аб’яднанне канечнай або злічальнай колькасці злічальных мностваў злічальнае[1].
Прамы здабытак канечнага ліку злічальных мностваў злічальны.
Мноства ўсіх канечных падмностваў злічальнага мноства злічальнае.
Мноства ўсіх падмностваў злічальнага мноства мае магутнасць кантынуума і таму не злічальнае.

Звязаныя паняцці

Незлічальнае мноства — бесканечнае мноства, якое не з’яўляецца злічальным. Такім чынам, любое мноства з’яўляецца альбо канечным, альбо злічальным, альбо незлічальным.

Прыклады

Злічальныя мноствы

простыя лікі
натуральныя лікі
цэлыя лікі
рацыянальныя лікі
алгебраічныя лікі
колца перыядаў
вылічальныя лікі
арыфметычныя лікі
мноства ўсіх канечных слоў над злічальным алфавітам
мноства ўсіх слоў над канечным алфавітам
любое бесканечнае сямейства неперасякальных адкрытых прамежкаў на рэчаіснай восі
мноства ўсіх прамых на плоскасці, кожная з якіх утрымлівае хаця б 2 пункты з рацыянальнымі каардынатамі
любое бесканечнае мноства пунктаў на плоскасці, усе пары адлегласцей паміж элементамі якога рацыянальныя

Незлічальныя мноствы

Зноскі

1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя мностваў