wd wp Пошук: ⬜

Аперацыі над мноствамі

Аперацыі над мноствамі дазваляюць атрымаць з аднаго або некалькіх існуючых мностваў новае мноства. Асноўныя аперацыі над мноствамі:

• аб’яднанне мностваў

A ∪ B

{\displaystyle A\cup B}

мае вынікам мноства, якое месціць усе элементы, якія ўваходзяць хаця б у адно з гэтых мностваў (у A, у B, або ў A і B адначасова)

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A ∪ B   ↔   x ∈ A

∨

x ∈ B

∨

x ∈ A ∩ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \lor \quad x\in B\quad \lor \quad x\in A\cap B)}

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A ∪ B   ↔   x ∈ A − B

∨

x ∈ B − A

∨

x ∈ A ∩ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A-B\quad \lor \quad x\in B-A\quad \lor \quad x\in A\cap B)}

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A ∪ B   ↔   x ∈ A   Δ   B

⊻

x ∈ A ∩ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A\ \Delta \ B\quad \veebar \quad x\in A\cap B)}

  ⊢

A ∪ B

{ x

|

x ∈ A   ∨   x ∈ B   ∨   x ∈ A ∩ B }

{\displaystyle ~\vdash \quad A\cup B=\{x|\quad x\in A\ \lor \ x\in B\ \lor \ x\in A\cap B\}}

• перасячэнне мностваў

A ∩ B

{\displaystyle A\cap B}

мае вынікам мноства, якое месціць усе элементы, якія ўваходзяць у абодва мноствы (і ў A, і ў B)

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A ∩ B   ↔   x ∈ A

∧

x ∈ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cap B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad x\in B)}

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A ∩ B   ↔   x ∈ A

∧

x ∉ A − B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cap B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad x\notin A-B)}

  ⊢

A ∩ B

{ x

|

x ∈ A   ∧   x ∈ B }

{\displaystyle ~\vdash \quad A\cap B=\{x|\quad x\in A\ \land \ x\in B\}}

• дапаўненне (адніманне) мностваў

  A − B

{\displaystyle ~A-B}

мае вынікам мноства, якое месціць усе элементы, якія ўваходзяць у A, але не ўваходзяць у B

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A − B   ↔   x ∈ A

∧

x ∉ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A-B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad x\notin B)}

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A − B   ↔   x ∈ A

⊻

x ∈ A ∩ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A-B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \veebar \quad x\in A\cap B)}

  ⊢

A − B

{ x

|

x ∈ A   ∧   x ∉ B }

{\displaystyle ~\vdash \quad A-B=\{x|\quad x\in A\ \land \ x\notin B\}}

• сіметрычнае адніманне

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A   Δ   B   ↔   x ∈ A

⊻

x ∈ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\ \Delta \ B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \veebar \quad x\in B)}

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A   Δ   B   ↔   x ∈ A − B

∨

x ∈ B − A )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\ \Delta \ B\ \leftrightarrow \ x\in A-B\quad \lor \quad x\in B-A)}

  ⊢

A   Δ   B

{ x

|

x ∈ A   ⊻   x ∈ B }

{\displaystyle ~\vdash \quad A\ \Delta \ B=\{x|\quad x\in A\ \veebar \ x\in B\}}

• простае памнажэнне

  ⊢

∀ x ∀ y   ( ⟨ x , y ⟩ ∈ A × B   ↔   x ∈ A

∧

y ∈ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\forall y\ (\langle x,y\rangle \in A\times B\ \leftrightarrow \ x\in A\quad \land \quad y\in B)}

  ⊢

A × B

{ ⟨ x , y ⟩

|

x ∈ A   ∧   y ∈ B }

{\displaystyle ~\vdash \quad A\times B=\{\langle x,y\rangle |\quad x\in A\ \land \ y\in B\}}

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя мностваў