Падмноства
Падмно́ства — мноства, якое з’яўляецца часткай іншага, большага мноства. Больш фармальна, мноства B з’яўляецца падмноствам мноства A, калі любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A:
B ⊆ A
⇔
∀ b ( b ∈ B → b ∈ A )
{\displaystyle ~B\subseteq A\quad \Leftrightarrow \quad \forall b\ (b\in B\to b\in A)}
Уласцівасці падмностваў
Падмноства мае наступныя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з яго вызначэння:
- любое мноства з’яўляецца падмноствам сябе самога:
∀ A , A ⊆ A
{\displaystyle \forall A,A\subseteq A}
- пустое мноства з’яўляецца падмноствам любога мноства:
∀ A , ∅ ⊆ A
{\displaystyle \forall A,\varnothing \subseteq A}
- любое мноства з’яўляецца падмноствам універсальнага мноства:
∀ A , A ⊆ U
{\displaystyle \forall A,A\subseteq U}
- аб’яднанне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае мноства:
B ⊆ A ⇔ A ∪ B
A
{\displaystyle B\subseteq A\ \Leftrightarrow \ A\cup B=A}
- перасячэнне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае падмноства:
B ⊆ A ⇔ A ∩ B
B
{\displaystyle B\subseteq A\ \Leftrightarrow \ A\cap B=B}
Уласнае падмноства
Мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам мноства A, калі:
- любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A
- у A існуе прынамсі адзін элемент, які не ўваходзіць у B.
Калі мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам A, гэта абазначаецца так:
B ⊂ A
{\displaystyle B\subset A}
B ⊂ A
⇔
∀ b ( b ∈ B → b ∈ A ) ∧ ∃ a ( a ∈ A ∧ a ∉ B )
{\displaystyle ~B\subset A\quad \Leftrightarrow \quad \forall b\ (b\in B\to b\in A)\ \land \ \exists a\ (a\in A\ \land \ a\notin B)}
Відавочна, што
- калі B з’яўляецца ўласным падмноствам A, то яно з’яўляецца адначасова і яго звычайным падмноствам:
B ⊂ A ⇒ B ⊆ A
{\displaystyle B\subset A\Rightarrow B\subseteq A}
- ніводнае мноства не з’яўляецца ўласным падмноствам сябе самога (гэта галоўная асаблівасць уласнага падмноства, якая адрознівае яго ад звычайнага падмноства)
Усе астатнія ўласцівасці ўласных падмностваў аналагічныя да адпаведных уласцівасцяў падмностваў.
Тэмы гэтай старонкі (1):Катэгорыя·Тэорыя мностваў