Аналіты́чная фу́нкцыя — функцыя, значэнне якой у кожным пункце яе вобласці вызначэння роўнае суме ступеннага рада, які збягаецца ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
Да аналітычных функцый адносяцца: рацыянальная функцыя, паказнікавая функцыя, лагарыфмічная функцыя, трыганаметрычныя функцыі, адваротныя трыганаметрычныя функцыі, іх разнастайныя кампазіцыі, а таксама функцыі, адваротныя да гэтых кампазіцый. Існуюць аналітычныя функцыі аднаго або некалькіх рэчаісных ці камплексных пераменных.
Функцыя f(z) аднаго камплектнага пераменнага z=х+іу называецца аналітычнай у пункце z0, калі ў некаторым наваколлі h гэтага пункта існуе канечная вытворная
f ′
lim
h → 0
f ( z + h ) − f ( z )
h
{\displaystyle f’(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}
(дыферэнцавальнасць функцыі), што мае месца, калі і толькі калі выконваецца ўмова Кашы—Рымана:
i
∂ f
∂ x
=
∂ f
∂ y
.
{\displaystyle {i{\dfrac {\partial f}{\partial x}}}={\dfrac {\partial f}{\partial y}}.}
Асновы тэорыі аналітычных функцый былі закладзены А.Кашы, Б.Рыманам і К.Веерштрасам, С. В. Кавалеўскай і інш.
На Беларусі даследаванні па тэорыі аналітычных функцый пачаліся ў 1930-я г. ў БДУ (М. В. Ламбін, М. Л. Лукомская), з 1960-х гадоў праводзяцца ў АН, БДУ і іншых ВНУ рэспублікі (Ф. Д. Гахаў, Э. І. Звяровіч і інш.).
Аналітычныя функцыі маюць шматлікія прымяненні ў матэматычным аналізе (вылічэнне вызначаных інтэгралаў), у геаметрыі (канформныя адлюстраванні), у тэорыі пругкасці, гідрадынаміцы, электрадынаміцы і іншых навуках.