wd wp Пошук: ⬜

Кампазіцыя функцый

У матэматыцы кампазіцыя функцый, ці суперпазіцыя функцый — гэта прымяненне адной функцыі к выніку другой.

Кампазіцыя функцый

G

{\displaystyle G}

і

F

{\displaystyle F}

звычайна абазначаецца

G ∘ F

{\displaystyle G\circ F}

, што абазначае прымяненне функцыі

G

{\displaystyle G}

к выніку функцыі

F

{\displaystyle F}

.

Азначэнне

Няхай

F : X → Y

{\displaystyle F:X\to Y}

і

G : F ( X ) ⊂ Y → Z

{\displaystyle G:F(X)\subset Y\to Z}

— дзве функцыі. Тады іх кампазіцыяй называецца функцыя

G ∘ F : X → Z

{\displaystyle G\circ F:X\to Z}

, вызначаная роўнасцю:

( G ∘ F ) ( x )

G ( F ( x ) ) ,

x ∈ X .

{\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\quad x\in X.}

Звязаныя азначэнні

• Кампазіцыю дзвюх функцый могуць абазначаць тэрмінам «складаная функцыя». Тым не менш, ён часцей ужываецца ў сітуацыі, калі на ўваход функцыі некалькіх зменных падаецца адразу некалькі функцый ад аднае ці некалькіх зыходных зменных. Напрыклад, складанай можна назваць функцыю

G

{\displaystyle G}

віду

G ( x , y )

F ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ,

{\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),}

таму што яна ўяўляе сабой функцыю

F

{\displaystyle F}

, якой на ўваход падаюцца вынікі функцый

u

{\displaystyle u}

і

v

{\displaystyle v}

. Уласцівасці кампазіцыі

• Кампазіцыя асацыятыўная:

( H ∘ G ) ∘ F

H ∘ ( G ∘ F ) .

{\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).}

• Калі

F

i d

X

{\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}

— тоеснае адлюстраванне на

X

{\displaystyle X}

, г.зн.

F ( x )

i d

X

( x )

x ,

∀ x ∈ X ,

{\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\quad \forall x\in X,}

то

G ∘

i d

X

= G .

{\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G.}

• Калі

G

i d

Y

{\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}

— тоеснае адлюстраванне на

Y

{\displaystyle Y}

, г.зн.

G ( y )

i d

Y

( y )

y ,

∀ y ∈ Y ,

{\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\quad \forall y\in Y,}

то

i d

Y

∘ F

F .

{\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F.}

• Разгледзім прастору ўсіх біекцый мноства

X

{\displaystyle X}

на сябе і абазначым яе

F

X

{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}

. Г.зн. калі

F ∈

F

X

{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}

, то

F : X → X

{\displaystyle F:X\to X}

— біекцыя. Тады + кампазіцыя функцый з

F



X




\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}\_\{X\}\}

![\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}_\{X\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f147f366acb0ddbcd7fbe40341dcd5c9c3e509) з'яўляецца [бінарнай аперацыяй](/Бінарная_аперацыя "Бінарная аперацыя");
+ а 



(



F



X


,
∘
)


\{\displaystyle (\{\mathcal \{F\}\}\_\{X\},\circ )\}

![\{\displaystyle (\{\mathcal \{F\}\}_\{X\},\circ )\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1924d5a14f80af579d0bd0e46eb80b31bc84d7) — [групай](/Група,_алгебра "Група, алгебра");
+ i
d


X




\{\displaystyle \mathrm \{id\} \_\{X\}\}

![\{\displaystyle \mathrm \{id\} _\{X\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3985ba3db11523276390e2ac2142e93d33aaa2a) з'яўляецца [нейтральным элементам](/Нейтральны_элемент "Нейтральны элемент") гэтай групы;
+ [адваротным](/Адваротны_элемент "Адваротны элемент") да элемента 



F
∈



F



X




\{\displaystyle F\in \{\mathcal \{F\}\}\_\{X\}\}

![\{\displaystyle F\in \{\mathcal \{F\}\}_\{X\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d94901cc8f75becbb25e78fc9597d34a1e433e) з'яўляецца 




F

−
1


∈



F



X




\{\displaystyle F^\{-1\}\in \{\mathcal \{F\}\}\_\{X\}\}

![\{\displaystyle F^\{-1\}\in \{\mathcal \{F\}\}_\{X\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5164344d9c2b71b9f4058851a177a0ca3b9ea2) — [адваротная функцыя](/Адваротная_функцыя "Адваротная функцыя").
+ Група 



(



F



X


,
∘
)


\{\displaystyle (\{\mathcal \{F\}\}\_\{X\},\circ )\}

![\{\displaystyle (\{\mathcal \{F\}\}_\{X\},\circ )\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1924d5a14f80af579d0bd0e46eb80b31bc84d7), увогуле кажучы, не [камутатыўная](/Камутатыўная_група "Камутатыўная група"), г.зн.





F

1


∘

F

2


≠

F

2


∘

F

1


.


\{\displaystyle F\_\{1\}\circ F\_\{2\}\not =F\_\{2\}\circ F\_\{1\}.\}

![\{\displaystyle F_\{1\}\circ F_\{2\}\not =F_\{2\}\circ F_\{1\}.\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1e4b9f27124da99f6fafb3787907f819bdeedd)

Дадатковыя ўласцівасці

• Кампазіцыя непарыўных функцый непарыўная.

Хай

( X ,

T

X

) , ( Y ,

T

Y

) , ( Z ,

T

Z

)

{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}

— тапалагічныя прасторы. Хай

f : X → Y

{\displaystyle f:X\to Y}

і

g : Y → Z

{\displaystyle g:Y\to Z}

— дзве функцыі,

y

0

= f (

x

0

) ,

f ∈ C (

x

0

) ,

g ∈ C (

y

0

)

{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),;f\in C(x_{0}),;g\in C(y_{0})}

. Тады

g ∘ f ∈ C (

x

0

)

{\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}

.

• Кампазіцыя дыферэнцыруемых функцый дыферэнцыруемая.

Хай

f , g :

R

→

R

,

y

0

= f (

x

0

) ,

f ∈

D

(

x

0

) ,

g ∈

D

(

y

0

) .

{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,;y_{0}=f(x_{0}),;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}

Тады

g ∘ f ∈

D

(

x

0

)

{\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}

, і

( g ∘ f

) ′

(

x

0

)

g ′

(

y

0

) ⋅

f ′

(

x

0

) .

{\displaystyle (g\circ f)’(x_{0})=g’(y_{0})\cdot f’(x_{0}).}

Літаратура

• Сложная функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — Т. 4. — М.: Советская энциклопедия, 1984. Столбцы 1214—1216.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Функцыі
Катэгорыя·Бінарныя аперацыі