wd wp Пошук: ⬜

Цэлы алгебраічны лік

Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца камплексныя (і ў прыватнасці рэчаісныя) карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.

Адносна складання і множання камплексных лікаў, цэлыя алгебраічныя лікі ўтвараюць колца

{\displaystyle \Omega }

$\{\displaystyle \Omega \}$ . Відавочна,

{\displaystyle \Omega }

$\{\displaystyle \Omega \}$ з’яўляецца падколцам поля алгебраічных лікаў і ўтрымлівае ўсе звычайныя цэлыя лікі.

Няхай

{\displaystyle u}

$\{\displaystyle u\}$ — некаторы камплексны лік. Разгледзім колца

[ u ]

{\displaystyle \mathbb {Z} [u]}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} [u]\}$ , спароджанае добаўленнем

{\displaystyle u}

$\{\displaystyle u\}$ да колца звычайных цэлых лікаў

{\displaystyle \mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \}$ . Яно ўтворана ўсімі магчымымі значэннямі

f ( u )

{\displaystyle f(u)}

$\{\displaystyle f(u)\}$ , дзе

f ( z )

{\displaystyle f(z)}

$\{\displaystyle f(z)\}$ — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі. Тады спраўджваецца наступны крытэрый: лік

{\displaystyle u}

$\{\displaystyle u\}$ з’яўляецца цэлым алгебраічным лікам тады і толькі тады, калі

[ u ]

{\displaystyle \mathbb {Z} [u]}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} [u]\}$ — канечнапароджаная абелева група.

Прыклады цэлых алгебраічных лікаў

Гаусавы цэлыя лікі.
Карані з адзінкі — карані мнагачлена

− 1

{\displaystyle x^{n}-1}

$\{\displaystyle x^\{n\}-1\}$ над полем камплексных лікаў.

Уласцівасці

Усе рацыянальныя лікі, якія ўваходзяць у

{\displaystyle \Omega }

$\{\displaystyle \Omega \}$ , з’яўляюцца на справе цэлымі лікамі. Інакш кажучы, ні адзін нескарачальны дроб

{\displaystyle m/n}

$\{\displaystyle m/n\}$ з назоўнікам, большым за адзінку, цэлым алгебраічным лікам быць не можа.

Для кожнага алгебраічнага ліку

{\displaystyle u}

$\{\displaystyle u\}$ існуе натуральны лік

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ такі, што

n u

{\displaystyle nu}

$\{\displaystyle nu\}$ — цэлы алгебраічны лік.

Корань любой ступені з цэлага алгебраічнага ліку таксама з’яўляецца цэлым алгебраічным лікам.

Гісторыя

Тэорыю цэлых алгебраічных лікаў стварылі ў XIX стагоддзі Гаус, Якобі, Дэдэкінд, Кумер і іншыя. Цікавасць да яе, сярод іншага, выклікана тым, што гістарычна гэта структура аказалася першай у матэматыцы, дзе было выяўлена неадназначнае раскладанне на простыя множнікі. Класічныя прыклады пабудаваў Кумер; скажам, у падколцы алгебраічных лікаў віду

a + b

− 5

{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}

$\{\displaystyle a+b\{\sqrt \{-5\}\}\}$ маюць месца 2 раскладанні:

6 2 ⋅ 3

( 1 +

− 5

) ⋅ ( 1 −

− 5

) ,

{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}}),}

$\{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+\{\sqrt \{-5\}\})\cdot (1-\{\sqrt \{-5\}\}),\}$ прычым у абодвух выпадках усе множнікі — простыя, г. зн. не раскладаюцца ў гэтым падколцы.

Даследаванне гэтае праблемы прывяло да адкрыцця важных паняццяў ідэала і простага ідэала, у структуры якіх раскладанне на простыя множнікі можна вызначыць адназначна.

Літаратура

К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел.(недаступная спасылка) М., 1964.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.(недаступная спасылка) М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Алгебра
Катэгорыя·Алгебраічныя лікі
Катэгорыя·Вікіпедыя·Артыкулы з непрацоўнымі спасылкамі
Катэгорыя·Тэорыя лікаў