wd wp Пошук: ⬜

Корань мнагачлена

У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Корань, значэнні. Корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю)

a

0

a

1

x + ⋯ +

a

n

x

n

{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}

над полем k — гэта элемент

c ∈ k

{\displaystyle c\in k}

(альбо элемент пашырэння поля k), такі, што выконваюцца дзве наступныя раўназначныя ўмовы:

• дадзены мнагачлена дзеліцца на мнагачлен

x − c

{\displaystyle x-c}

;

• падстаноўка элемента c замест x ператварае ўраўненне

a

0

a

1

x + ⋯ +

a

n

x

n

= 0

{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}

у тоеснасць.

Раўназначнасць дзвюх фармулёвак вынікае з тэарэмы Безу. У розных крыніцах нейкая адна з іх выбіраецца ў якасці азначэння, а другая выводзіцца ў якасці тэарэмы.

Кажуць, што корань

c

{\displaystyle c}

мае кратнасць

m

{\displaystyle m}

, калі мнагачлен дзеліцца на

( x − c

)

m

{\displaystyle (x-c)^{m}}

і не дзеліцца на

( x − c

)

m + 1

.

{\displaystyle (x-c)^{m+1}.}

Напрыклад, мнагачлен

 

x

2

− 2 x + 1

{\displaystyle ~x^{2}-2x+1}

мае адзіны корань роўны

1

{\displaystyle 1}

, кратнасці 2. Выраз «кратны корань» азначае, што кратнасць кораня большая за адзінку.

Уласцівасці

• Лік каранёў мнагачлена ступені

n

{\displaystyle n}

не перавышае

n

{\displaystyle n}

нават у тым выпадку, калі кожны корань улічваць столькі разоў, якая яго кратнасць.

• Кожны мнагачлен

p ( x )

{\displaystyle p(x)}

з камплекснымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін, наогул кажучы, камплексны, корань (асноўная тэарэма алгебры). + Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для любога алгебраічна замкнёнага поля (па азначэнню). + Больш таго, мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі

p
(
x
)


\{\displaystyle p(x)\}

![\{\displaystyle p(x)\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb7afced134ef75572e5314a5d278c2d644f438) можна запісаць у выглядзе

p ( x )

a

n

( x −

c

1

) ( x −

c

2

) … ( x −

c

n

) ,

{\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),}

дзе

c

1

,

c

2

, … ,

c

n

{\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}

— (у агульным выпадку камплексныя) карані мнагачлена

p ( x )

{\displaystyle p(x)}

, магчыма з паўторамі, пры гэтым калі сярод каранёў

c

1

,

c

2

, … ,

c

n

{\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}

мнагачлена

p ( x )

{\displaystyle p(x)}

сустракаюцца роўныя, то агульнае іх значэнне называецца кратным коранем.

• Лік камплексных каранёў мнагачлена з камплекснымі каэфіцыентамі ступені n, улічваючы кратныя карані кратную колькасць разоў, роўны n. Пры гэтым усе чыста камплексныя карані (калі яны ёсць) мнагачлена з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна разбіць на пары спалучаных аднолькавай кратнасці, такім чынам, мнагачлен цотнай ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі можа мець толькі цотную колькасць рэчаісных каранёў, а няцотнай — толькі няцотную.
• Карані мнагачлена звязаныя з яго каэфіцыентамі формуламі Віета.

Гл. таксама

• Схема Горнера
• Нуль функцыі

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Іншыя значэнні: старонка не існуе
Катэгорыя·Мнагачлены