wd wp Пошук: ⬜

Алгебраічнае лікавае поле

Алгебраі́чнае лі́кавае по́ле (ці проста лікавае поле) — гэта канечнае (і як вынік — алгебраічнае) пашырэнне поля рацыянальных лікаў

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ . Такім чынам, лікавае поле — гэта поле, якое ўтрымлівае

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ і з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над ім.

Лікавыя палі і, больш агульна, алгебраічныя пашырэнні поля рацыянальных лікаў з’яўляюцца асноўным аб’ектам вывучэння алгебраічнай тэорыі лікаў.

Прыклады

Найменшае і базавае лікавае поле — поле рацыянальных лікаў

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ .

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца

( i )

{\displaystyle \mathbb {Q} (i)}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} (i)\}$ , — першы нетрывіяльны прыклад лікавага поля. Яго элементы — выразы віду

a + b i ,

{\displaystyle a+bi,}

$\{\displaystyle a+bi,\}$ дзе

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ і

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ — рацыянальныя лікі,

{\displaystyle i}

$\{\displaystyle i\}$ — уяўная адзінка. Такія выразы можна складваць і перамнажаць па звычайных правілах дзеянняў з камплекснымі лікамі, і ў кожнага ненулявога элемента існуе адваротны, як гэта відаць з роўнасці

( a + b i )

(

−

)

( a + b i ) ( a − b i )

= 1.

{\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}

$\{\displaystyle (a+bi)\left(\{\frac \{a\}\{a^\{2\}+b^\{2\}\}\}-\{\frac \{b\}\{a^\{2\}+b^\{2\}\}\}i\right)=\{\frac \{(a+bi)(a-bi)\}\{a^\{2\}+b^\{2\}\}\}=1.\}$ З гэтага вынікае, што рацыянальныя гаусавы лікі ўтвараюць поле, якое з’яўляецца двухмернаю прастораю над

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ (г. зн. квадратычным полем).

Больш агульна, для любога свабоднага ад квадратаў цэлага ліку

{\displaystyle d}

$\{\displaystyle d\}$

(

)

{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} (\{\sqrt \{d\}\})\}$ будзе квадратычным пашырэннем поля

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ .

Кругавое поле

(

)

{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} (\zeta _\{n\})\}$ атрымліваецца дабаўленнем у

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ прымітыўнага кораня n-й ступені з адзінкі. Поле павінна ўтрымліваць і ўсе яго ступені (г. зн. усе карані n-й ступені з адзінкі), яго размернасць над

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ раўняецца функцыі Эйлера

φ ( n )

{\displaystyle \varphi (n)}

$\{\displaystyle \varphi (n)\}$ .

Рэчаісныя і камплексныя лікі маюць бесканечную ступень над рацыянальнымі, таму яны не з’яўляюцца лікавымі палямі. Гэта вынікае з незлічальнасці: любое лікавае поле з’яўляецца злічальным.

Кальцо цэлых лікавага поля

Асноўны артыкул: Цэлы алгебраічны лік Паколькі лікавае поле з’яўляецца алгебраічным пашырэннем поля

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ , любы яго элемент з’яўляецца коранем некаторага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі (г. зн. з’яўляецца алгебраічным). Больш таго, кожны элемент з’яўляецца коранем мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, бо можна дамножыць усе рацыянальныя каэфіцыенты на здабытак назоўнікаў. Калі ж дадзены элемент з’яўляецца коранем некаторага прыведзенага (унітарнага) мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, ён называецца цэлым элементам (ці алгебраічным цэлым лікам). Не ўсе элементы лікавага поля цэлыя: напрыклад, лёгка паказаць, што цэлыя элементы поля рацыянальных лікаў

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ — гэта звычайныя цэлыя лікі і толькі яны.

Можна даказаць, што сума і здабытак двух алгебраічных цэлых лікаў — ізноў алгебраічны цэлы лік, таму цэлыя элеманты ўтвараюць падкальцо лікавага поля

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ , якое называецца кальцом цэлых поля

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ і абазначаецца

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{O\}\}_\{K\}\}$ . Поле не ўтрымлівае дзельнікаў нуля і гэтая ўласцівасць наследуецца пры пераходзе да падкальца, таму кальцо цэлых цэластнае; поле дзелей кальца

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{O\}\}_\{K\}\}$ — гэта само поле

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ . Кальцо цэлых любога лікавага поля валодае наступнымі трыма ўласцівасцямі: яно цэлазамкнутае, нётэрава і аднамернае. Камутатыўнае кальцо з такімі ўласцівасцямі называецца дэдэкіндавым у гонар Рыхарда Дэдэкінда.

Раскладанне на простыя і група класаў

У адвольным дэдэкіндавым кальцы існуе адно і толькі адно раскладанне ненулявых ідэалаў у здабытак простых. Аднак не любое кальцо цэлых мае ўласцівасць фактарыяльнасці: ужо для кальца цэлых квадратычнага поля

(

− 5

)

[

− 5

]

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{O\}\}_\{\mathbb \{Q\} (\{\sqrt \{-5\}\})\}=\mathbb \{Z\} [\{\sqrt \{-5\}\}]\}$ раскладанне не адзінае:

6 2 ⋅ 3

( 1 +

− 5

) ( 1 −

− 5

)

{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}

$\{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+\{\sqrt \{-5\}\})(1-\{\sqrt \{-5\}\})\}$ Увёўшы на гэтым кальцы норму, можна паказаць, што гэтыя раскладанні сапраўды розныя, г.зн. адно нельга атрымаць з другога дамнажэннем на абарачальны элемент.

Ступень парушэння ўласцівасці фактарыяльнасці вымяраюць пры дапамозе групы класаў ідэалаў, гэтая група для кальца цэлых заўсёды канечная і яе парадак называюць лікам класаў.

Базісы лікавага поля

Цэлы базіс

Цэлы базіс лікавага поля F ступені n — гэта мноства

B = {b1, …, bn} з n элементаў кальца цэлых поля F, такое што любы элемент кальца цэлых OF поля F можна толькі адным спосабам запісаць як Z-лінейную камбінацыю элементаў B; г.зн. для любога x з OF існуе адзінае раскладанне

x = m1b1 + … + mnbn, дзе mi — звычайныя (рацыянальныя) цэлыя лікі. У гэтым выпадку любы элемент F можна запісаць як

m1b1 + … + mnbn, дзе mi — рацыянальныя лікі. Пры такім базісе цэлыя элементы F вылучаюцца тою ўласцівасцю, што гэта дакладна тыя элементы, для якіх усе mi цэлыя.

Выкарыстоўваючы такія працэдуры як лакалізацыя і эндамарфізм Фрабеніуса, можна пабудаваць такі базіс для любога лікавага поля. Его пабудова з’яўляецца ўбудаванаю функцыяй у многіх сістэмах камп’ютарнай алгебры.

Ступенны базіс

Няхай F — лікавае поле ступені n. Сярод усіх магчымых базісаў F (як Q-вектарнай прасторы), існуюць ступенныя базісы, г.зн. базісы віду

Bx = {1, x, x², …, x**n−1} для некаторага x ∈ F. Згодна з тэарэмаю аб прымітыўным элеменце, такі x заўсёды існуе, яго называюць прымітыўным элементам дадзенага пашырэння.

Норма і след

Асноўныя артыкулы: Норма, тэорыя палёў і След, тэорыя палёў Алгебраічнае лікавае поле з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ (абазначым яе размернасць праз

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ ), і дамнажэнне на адвольны элемент поля з’яўляецца лінейным пераўтварэннем гэтае прасторы. Няхай

, …

{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{n}}

$\{\displaystyle e_\{1\},e_\{2\},\ldots e_\{n\}\}$ — які-небудзь базіс поля F, тады пераўтварэнню

x ↦ α x

{\displaystyle x\mapsto \alpha x}

$\{\displaystyle x\mapsto \alpha x\}$ адпавядае матрыца

A

(

i j

)

{\displaystyle A=(a_{ij})}

$\{\displaystyle A=(a_\{ij\})\}$ , вызначаная ўмовай

∑

j

i j

∈

{\displaystyle \alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .}

$\{\displaystyle \alpha e_\{i\}=\sum \{j=1\}^\{n\}a\{ij\}e_\{j\},\quad a_\{ij\}\in \mathbf \{Q\} .\}$ Элементы гэтай матрыцы залежаць ад выбару базіса, аднак ад яго не залежаць усе інварыянты матрыцы, такія як вызначнік і след. У кантэксце алгебраічных пашырэнняў, вызначнік матрыцы дамнажэння на элемент называецца нормай гэтага элемента (абазначаецца

N ( x )

{\displaystyle N(x)}

$\{\displaystyle N(x)\}$ ); след матрыцы — следам элемента (абазначаецца

( x )

{\displaystyle {\text{Tr}}(x)}

$\{\displaystyle \{\text\{Tr\}\}(x)\}$ ).

След элемента з’яўляецца лінейным функцыяналам на F:

( x + y )

( x ) +

( y )

{\displaystyle {\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)}

$\{\displaystyle \{\text\{Tr\}\}(x+y)=\{\text\{Tr\}\}(x)+\{\text\{Tr\}\}(y)\}$ и

( λ x )

( x ) , λ ∈

{\displaystyle {\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \{\text\{Tr\}\}(\lambda x)=\lambda \{\text\{Tr\}\}(x),\lambda \in \mathbb \{Q\} \}$ . Норма з’яўляецца мультыплікатыўнай і аднароднай функцыяй:

N ( x y )

N ( x ) ⋅ N ( y )

{\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)}

$\{\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)\}$ и

N ( λ x )

N ( x ) , λ ∈

{\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} .}

$\{\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^\{n\}N(x),\lambda \in \mathbb \{Q\} .\}$ У якасці зыходнага базіса можна выбраць цэлы базіс.mw-parser-output .ts-Пераход img{margin-left:.285714em}[⇨], дамнажэнню на цэлы алгебраічны лік (г.зн. на элемент кальца цэлых[⇨]) у гэтым базісе будзе адпавядаць матрыца з цэлымі элементамі. Такім чынам, след і норма любога элемента кальца цэлых з’яўляюцца цэлымі лікамі.

Прыклад выкарыстання нормы

Хай

{\displaystyle d}

$\{\displaystyle d\}$ — натуральны лік, свабодны ад квадратаў, тады

(

)

{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} (\{\sqrt \{d\}\})\}$ — квадратычнае поле (і такім чынам, лікавае поле). Выберам у гэтым полі цэлы базіс

( 1 ,

)

{\displaystyle (1,{\sqrt {d}})}

$\{\displaystyle (1,\{\sqrt \{d\}\})\}$ (

{\displaystyle {\sqrt {d}}}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{d\}\}\}$ — цэлы элемент, бо ён з’яўляецца коранем прыведзенага мнагачлена

− d

{\displaystyle x^{2}-d}

$\{\displaystyle x^\{2\}-d\}$ ). У гэтым базісе дамнажэнню на

a + b

{\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}

$\{\displaystyle a+b\{\sqrt \{d\}\}\}$ адпавядае матрыца

(

d b

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&db\b&a\end{pmatrix}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}a&db\\b&a\end\{pmatrix\}\}\}$ Такім чынам,

N ( a + b

)

− d

{\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}}

$\{\displaystyle N(a+b\{\sqrt \{d\}\})=a^\{2\}-db^\{2\}\}$ . На элементах кальца

[

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} [\{\sqrt \{d\}\}]\}$ гэтая норма прымае цэлыя значэнні. Норма з’яўляецца гомамарфізмам мультыплікатыўнай групы

[

]

{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} [\{\sqrt \{d\}\}]\}$ на мультыплікатыўную групу

{\displaystyle \mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \}$ , таму норма абарачальных элементаў кальца можа быць роўная толькі

{\displaystyle 1}

$\{\displaystyle 1\}$ або

− 1

{\displaystyle -1}

$\{\displaystyle -1\}$ . Для таго, каб рашыць ураўненне Пеля

− d

= 1

{\displaystyle a^{2}-db^{2}=1}

$\{\displaystyle a^\{2\}-db^\{2\}=1\}$ , дастаткова знайсці ўсе абарачальныя элементы кальца цэлых (так званыя адзінкі кальца) і вылучыць сярод іх тыя, што маюць норму

{\displaystyle 1}

$\{\displaystyle 1\}$ . Згодна з тэарэмай Дзірыхле аб адзінках [ru], усе абарачальныя элементы дадзенага кальца з’яўляюцца ступенямі аднаго элемента (з дакладнасцю да множання на

− 1

{\displaystyle -1}

$\{\displaystyle -1\}$ ), таму для знаходжання ўсіх рашэнняў ураўнення Пеля дастаткова знайсці адно фундаментальнае рашэнне.

Гл. таксама

Тэорыя Кумера

Літаратура

Х. Кох. Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2011.
Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Алгебраічная тэорыя лікаў
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Тэорыя палёў