wd wp Пошук: ⬜

Упісаная акружнасць

Акружнасць называюць упісанаю (умежанаю) у вугал, калі яна ляжыць унутры вугла і датыкаецца да яго старон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанаю ў выпуклы многавугольнік, калі яна ляжыць унутры дадзенага многавугольніка і датыкаецца да ўсіх яго старон.

У многавугольніку

Калі ў дадзены выпуклы многавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных вуглоў дадзенага многавугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які з’яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.
Радыус упісанай у многавугольнік акружнасці роўны адносіне яго плошчы да паўперыметра

r

S p

{\displaystyle r={\frac {S}{p}}}

$\{\displaystyle r=\{\frac \{S\}\{p\}\}\}$ У трохвугольніку

Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх старон і з’яўляецца пунктам перасячэння бісектрыс трохвугольніка.
Радыус умежанай у трохвугольнік акружнасці роўны

r

S p

( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

{\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}

$\{\displaystyle r=\{\frac \{S\}\{p\}\}=\{\sqrt \{\frac \{(p-a)(p-b)(p-c)\}\{p\}\}\}\}$

Калі AB — аснова роўнастаронняга

△ A B C

{\displaystyle \triangle ABC}

$\{\displaystyle \triangle ABC\}$ , то акружнасць, якая датыкаецца да старон

∠ A C B

{\displaystyle \angle ACB}

$\{\displaystyle \angle ACB\}$ ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.

Формула Эйлера:

− 2 R r

O I

{\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}

$\{\displaystyle R^\{2\}-2Rr=|OI|^\{2\}\}$ , дзе

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці,

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ — радыус умежанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.

Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная старане AB, перасякае стораны BC і CA у пунктах A1 і B1, то

B + A

{\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}

$\{\displaystyle A_\{1\}B_\{1\}=A_\{1\}B+AB_\{1\}\}$ .

Пункты дотыку ўмежанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі, утвараюць трохвугольнік T1.
- Бісектрысы T з’яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T1.
- Хай T2 — ортатрохвугольнік T1. Тады яго стораны паралельныя сторанам зыходнага трохвугольніка T.
- Хай T3 — пасярэдні трохвугольнік T1. Тады бісектрысы T з’яўляюцца вышынямі T3.
- Хай T4 — ортатрохвугольнік T3, тады бісектрысы T з’яўляюцца бісектрысамі T4.
Радыус умежанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны

a + b − c

{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{a+b-c\}\{2\}\}\}$ .

Адлегласць ад вяршыні С трохвугольніка да пункта, у якім умежаная акружнасць датыкаецца да стараны, роўная

d

a + b − c

= p − c

{\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}

$\{\displaystyle d=\{\frac \{a+b-c\}\{2\}\}=p-c\}$ .

Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці роўная

sin ⁡ (

γ 2

)

{\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}

$\{\displaystyle l_\{c\}=\{\frac \{r\}\{\sin(\{\frac \{\gamma \}\{2\}\})\}\}\}$ , дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.

Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці можна таксама знайсці па формулах

( p − c

)

{\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}

$\{\displaystyle l_\{c\}=\{\sqrt \{(p-c)^\{2\}+r^\{2\}\}\}\}$ і

a b − 4 R r

{\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}

$\{\displaystyle l_\{c\}=\{\sqrt \{ab-4Rr\}\}\}$

Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі

{\displaystyle W}

$\{\displaystyle W\}$ — пункт перасячэння бісектрысы вугла A з апісанаю акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то

W I

W B

W C

{\displaystyle |WI|=|WB|=|WC|}

$\{\displaystyle |WI|=|WB|=|WC|\}$ .

Лема Вер’ера[1]: хай акружнасць

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ датыкаецца да старон

A B

{\displaystyle AB}

$\{\displaystyle AB\}$ ,

A C

{\displaystyle AC}

$\{\displaystyle AC\}$ і дугі

B C

{\displaystyle BC}

$\{\displaystyle BC\}$ апісанай акружнасці трохвугольніка

A B C

{\displaystyle ABC}

$\{\displaystyle ABC\}$ . Тады пункты дотыку акружнасці

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ са старонамі і цэнтр умежанай акружнасці трохвугольніка

A B C

{\displaystyle ABC}

$\{\displaystyle ABC\}$ ляжаць на адной прамой.

У чатырохвугольніку

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых старон роўныя:

A B + C D

B C + A D

{\displaystyle AB+CD=BC+AD}

$\{\displaystyle AB+CD=BC+AD\}$ .

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формуле:

S

( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d )

{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}

$\{\displaystyle S=\{\sqrt \{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}.\}$

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах перасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамою Гауса. Цэнтр умежанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых старон (тэарэма Брокараў).

У сферычным трохвугольніку

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая датыкаецца да ўсіх яго старон.

Тангенс радыуса[2] упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны [3]:73-74

tg ⁡ r

sin ⁡ ( p − a ) sin ⁡ ( p − b ) sin ⁡ ( p − c )

sin ⁡ p

{\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}},}

$\{\displaystyle \operatorname \{tg\} r=\{\sqrt \{\frac \{\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)\}\{\sin p\}\}\}\,\}$

Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка[3]:20-21.

Гл. таксама

Заўвагі

↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
↑ Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мера дугі вялікага круга, якая злучае пункт перасячэння радыуса сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і пункт дотыку акружнасці да стараны трохвугольніка.
1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Літаратура

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Крывыя
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Вікіпедыя·Шаблон «Вонкавыя спасылкі» пусты