wd wp Пошук: ⬜

Фундаментальная паслядоўнасць

Фундамента́льная паслядо́ўнасць, або паслядо́ўнасць Кашы́ — паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы, такая што для любой зададзенай адлегласці існуе элемент паслядоўнасці, пачынаючы з якога ўсе элементы паслядоўнасці знаходзяцца адзін ад аднаго на адлегласці, меншай чым зададзеная.

Азначэнне

Паслядоўнасць пунктаў

{

x

n

}

n

1

∞

{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}

метрычнае прасторы

( X , ρ )

{\displaystyle (X,\rho )}

называецца фундаментальнаю, калі яна задавальняе ўмову Кашы:

для любога $\{\displaystyle \varepsilon >0\}$ існуе такі натуральны лік $\{\displaystyle N_\{\varepsilon \}\}$, што $\{\displaystyle \rho (x_\{n\},x_\{m\})<\varepsilon \ \}$ для ўсіх $\{\displaystyle n,m>N_\{\varepsilon \}\}$.

Звязаныя азначэнні

• Прастора, ў якой кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да элемента гэтай жа прасторы, называецца поўнаю.

Уласцівасці

• Кожная збежная паслядоўнасць з’яўляецца фундаментальнай, але не кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да элемента са сваёй прасторы.
• Метрычная прастора з’яўляецца поўнаю тады і толькі тады, калі ўсякая сістэма ўкладзеных замкнутых шароў з неабмежавана ўбываючым радыусам мае непустое перасячэнне, якое складаецца з аднаго пункта.
• Калі паслядоўнасць фундаментальная і ўтрымлівае збежную падпаслядоўнасць, то сама паслядоўнасць таксама збягаецца.
• Калі паслядоўнасць фундаментальная, то яна абмежавана.

Літаратура

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — м: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — м:Наука, 1970.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Рады і паслядоўнасці
Катэгорыя·Метрычная геаметрыя
Катэгорыя·Функцыянальны аналіз