wd wp Пошук: ⬜

Жарданава матрыца

Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ , з блокамі выгляду

(

⋯

⋱

⋮

⋱

⋮

⋱

⋯

)

{\displaystyle J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\0&\lambda &1&\cdots &0&0\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \0&0&0&\ddots &\lambda &1\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\end{pmatrix}},}

$\{\displaystyle J_\{\lambda \}=\{\begin\{pmatrix\}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end\{pmatrix\}\},\}$ пры гэтым кожны блок

{\displaystyle J_{\lambda }}

$\{\displaystyle J_\{\lambda \}\}$ называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем

{\displaystyle \lambda }

$\{\displaystyle \lambda \}$ (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ над алгебраічна замкнёным полем

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ (напрыклад, полем камплексных лікаў

{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} =\mathbb \{C\} \}$ ) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца

{\displaystyle C}

$\{\displaystyle C\}$ над

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ , такая, што

J

− 1

{\displaystyle J=C^{-1}A,C}

$\{\displaystyle J=C^\{-1\}A\,C\}$ з’яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым

{\displaystyle J}

$\{\displaystyle J\}$ называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ . У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца

{\displaystyle J}

$\{\displaystyle J\}$ ў поле

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ . І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін

A

C J

− 1

{\displaystyle A=CJC^{-1}}

$\{\displaystyle A=CJC^\{-1\}\}$ матрыца

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ падобная ў поле

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ матрыцы

{\displaystyle J}

$\{\displaystyle J\}$ . Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з’яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

Уласцівасці

Колькасць жарданавых клетак парадку

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ з уласным значэннем

{\displaystyle \lambda }

$\{\displaystyle \lambda \}$ ў жарданавай форме матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ можна вылічыць па формуле

( λ )

rank ⁡ ( A − λ I

)

n − 1

− 2 rank ⁡ ( A − λ I

)

rank ⁡ ( A − λ I

)

n + 1

{\displaystyle c_{n}(\lambda )=\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n-1}-2\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n}+\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n+1},}

$\{\displaystyle c_\{n\}(\lambda )=\operatorname \{rank\} (A-\lambda I)^\{n-1\}-2\operatorname \{rank\} (A-\lambda I)^\{n\}+\operatorname \{rank\} (A-\lambda I)^\{n+1\},\}$

дзе

{\displaystyle I}

$\{\displaystyle I\}$ — адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ , сімвал

rank

{\displaystyle \operatorname {rank} }

$\{\displaystyle \operatorname \{rank\} \}$ пазначае ранг матрыцы, а

rank ⁡ ( A − λ I

)

{\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda I)^{0}}

$\{\displaystyle \operatorname \{rank\} (A-\lambda I)^\{0\}\}$ , па вызначэнні, роўны парадку

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ . Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці

rank ⁡ ( A − λ I )

rank ⁡ ( J − λ I ) .

{\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda I)=\operatorname {rank} (J-\lambda I).}

$\{\displaystyle \operatorname \{rank\} (A-\lambda I)=\operatorname \{rank\} (J-\lambda I).\}$

У выпадку, калі поле

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ не з’яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ была падобная над

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ .

У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
З’яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

Гісторыя

Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

Варыяцыі і абагульненні

Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі:

1 , 2

= α ± i β

{\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta }

$\{\displaystyle \lambda _\{1,2\}=\alpha \pm i\beta \}$ , дзе

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ и

{\displaystyle \beta }

$\{\displaystyle \beta \}$ — рэчаісныя лікі,

β ≠ 0

{\displaystyle \beta \neq 0}

$\{\displaystyle \beta \neq 0\}$ . У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок

1 , 2

{\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}}

$\{\displaystyle J_\{\lambda _\{1,2\}\}\}$ , і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду

1 , 2

{\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}}

$\{\displaystyle J_\{\lambda _\{1,2\}\}\}$ , якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:[1][2]

1 , 2

(

⋯

− β

⋯

− β

⋱

⋮

⋱

⋮

⋱

⋮

⋱

⋮

⋯

− β

⋯

− β

)

{\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}=\left({\begin{array}{ccccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0\0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\0&0&0&0&0&0&\cdots &-\beta &\alpha &0&1\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\end{array}}\right).}

$\{\displaystyle J_\{\lambda _\{1,2\}\}=\left(\{\begin\{array\}\{ccccccccccc\}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots &-\beta &\alpha &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end\{array\}\}\right).\}$

Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з’яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем

{\displaystyle \mathbb {K} }

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} \}$ з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена

[ x ]

{\displaystyle \mathbb {K} [x]}

$\{\displaystyle \mathbb \{K\} [x]\}$ (множанне вектара на

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .

Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

Зноскі

↑ Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
↑ Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — м: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Літаратура

Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — м: Наука, 1966. — 576 с.
Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — м: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора Архівавана 23 лістапада 2018.
P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Тыпы матрыц
Category:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%96%2C %D1%8F%D0%BA%D1%96%D1%8F %D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%9E%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%86%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%8F %D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%96 %D1%9E %D1%81%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8B%D0%BC %D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B5
Катэгорыя·Лінейная алгебра