wd wp Пошук: ⬜

Адзінкавая матрыца

Адзінкавая матрыца — квадратная матрыца, элементы галоўнай дыяганалі якой роўныя адзінцы поля, а астатнія роўныя нулю.

Азначэнне

Квадратная матрыца

E

n

= (

e

i j

)

{\displaystyle E_{n}=(e_{ij})}

памеру (парадку

n

{\displaystyle n}

), дзе

e

i i

= 1

{\displaystyle e_{ii}=1}

для ўсякага

i ∈

1 , n

¯

{\displaystyle i\in {\overline {1,n}}}

для ўсякіх

i ≠ j

{\displaystyle i\neq j}

, называецца адзінкавай матрыцай парадку

n

{\displaystyle n}

.

Адзінкавую матрыцу можна вызначыць як матрыцу

(

e

i j

)

{\displaystyle (e_{ij})}

, у якой

e

i j

=

δ

i j

{\displaystyle e_{ij}=\delta _{ij}}

, де

δ

i j

{\displaystyle \delta _{ij}}

 — сімвал Кронэкера.

Адзінкавая матрыца з’яўляецца частковым выпадкам скалярнай матрыцы.

Абазначэнне

Адзінкавая матрыца памеру

n × n

{\displaystyle n\times n}

звычайна абазначаецца

E

n

{\displaystyle E_{n}}

і мае выгляд:

E

n

=

[

1

0

⋯

0

0

1

⋯

0

⋯

⋯

⋯

⋯

0

0

⋯

1

]

,

{\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\0&1&\cdots &0\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},}

Гэтак жа выкарыстоўваецца і іншае пазначэнне:

I

n

{\displaystyle I_{n}}

.

Калi з кантэксту ясна, якога памеру матрыца, то ніжні індэкс (які паказвае парадак) апускаецца:

E

{\displaystyle E}

,

I

{\displaystyle I}

.

Уласцівасці

• Здабытак любой матрыцы і адзінкавай матрыцы падыходнага памеру роўны самой матрыцы:

A E

E A

A

{\displaystyle AE=EA=A}

• Квадратная матрыца ў нулявой ступені дае адзінкавую матрыцу таго ж памеру:

A

0

= E

{\displaystyle A^{0}=E}

• Пры памнажэнні матрыцы на адваротную ёй таксама атрымліваецца адзінкавая матрыца:

A

A

− 1

= E

{\displaystyle !AA^{-1}=E}

• Адзінкавая матрыца атрымліваецца пры памнажэнні артаганальнай матрыцы на яе транспанаваную матрыцу:

A

A

T

= E

{\displaystyle AA^{T}=E}

• Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

d e t

E

1

{\displaystyle \mathrm {det} ,E=1}

. Прыклады

Адзінкавыя матрыцы першых парадкаў маюць выгляд

E

1

=

(

1

)

,  

E

2

=

(

1

0

0

1

)

,  

E

3

=

(

1

0

0

0

1

0

0

0

1

)

{\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}}}

Заўвага

Калі ўзяць дзве матрыцы —: матрыцу

A

{\displaystyle A}

і адзінкавую

E

{\displaystyle E}

— то, прывядзеннем матрыцы

A

{\displaystyle A}

да адзінкавай метадам Гауса, можна дамагчыся адначасовага прывядзення матрыцы

E

{\displaystyle E}

да матрыцы

A

− 1

{\displaystyle A^{-1}}

наступным чынам: неабходна вырабляць над адзінкавай матрыцай тыя ж пераўтварэнні, якія вырабляюцца пры прывядзенні

A

{\displaystyle A}

да адзінкавай. Матрыца, атрыманая з адзінкавай матрыцы

E

{\displaystyle E}

будзе роўная

A

− 1

{\displaystyle A^{-1}}

.

Гл. таксама

• Нулявая матрыца

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Лінейная алгебра
Катэгорыя·Тыпы матрыц