Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.
Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
, з блокамі выгляду
J
λ
=
(
λ
1
0
⋯
0
0
0
λ
1
⋯
0
0
0
0
λ
⋱
0
0
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
⋮
0
0
0
⋱
λ
1
0
0
0
⋯
0
λ
)
,
{\displaystyle J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\0&\lambda &1&\cdots &0&0\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \0&0&0&\ddots &\lambda &1\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\end{pmatrix}},}
пры гэтым кожны блок
J
λ
{\displaystyle J_{\lambda }}
называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем
λ
{\displaystyle \lambda }
(уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).
Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы
A
{\displaystyle A}
над алгебраічна замкнёным полем
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
(напрыклад, полем камплексных лікаў
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца
C
{\displaystyle C}
над
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
, такая, што
C
− 1
A
C
{\displaystyle J=C^{-1}A,C}
з’яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым
J
{\displaystyle J}
называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы
A
{\displaystyle A}
. У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца
J
{\displaystyle J}
ў поле
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы
A
{\displaystyle A}
. І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін
C J
C
− 1
{\displaystyle A=CJC^{-1}}
матрыца
A
{\displaystyle A}
падобная ў поле
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
матрыцы
J
{\displaystyle J}
. Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з’яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.
n
{\displaystyle n}
λ
{\displaystyle \lambda }
ў жарданавай форме матрыцы
A
{\displaystyle A}
можна вылічыць па формуле
n
rank ( A − λ I
)
n − 1
− 2 rank ( A − λ I
)
n
rank ( A − λ I
)
n + 1
,
{\displaystyle c_{n}(\lambda )=\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n-1}-2\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n}+\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n+1},}
дзе
I
{\displaystyle I}
— адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і
A
{\displaystyle A}
, сімвал
rank
{\displaystyle \operatorname {rank} }
пазначае ранг матрыцы, а
rank ( A − λ I
)
0
{\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda I)^{0}}
, па вызначэнні, роўны парадку
A
{\displaystyle A}
. Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці
rank ( J − λ I ) .
{\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda I)=\operatorname {rank} (J-\lambda I).}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
не з’яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца
A
{\displaystyle A}
была падобная над
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы
A
{\displaystyle A}
.
Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.
λ
1 , 2
= α ± i β
{\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta }
, дзе
α
{\displaystyle \alpha }
и
β
{\displaystyle \beta }
— рэчаісныя лікі,
β ≠ 0
{\displaystyle \beta \neq 0}
. У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок
J
λ
1 , 2
{\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}}
, і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду
J
λ
1 , 2
{\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}}
, якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:[1][2]
J
λ
1 , 2
=
(
α
β
1
0
0
0
⋯
0
0
0
0
− β
α
0
1
0
0
⋯
0
0
0
0
0
0
α
β
1
0
⋯
0
0
0
0
0
0
− β
α
0
1
⋱
0
0
0
0
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
0
0
0
0
0
0
⋯
α
β
1
0
0
0
0
0
0
0
⋯
− β
α
0
1
0
0
0
0
0
0
⋯
0
0
α
β
0
0
0
0
0
0
⋯
0
0
− β
α
)
.
{\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}=\left({\begin{array}{ccccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0\0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\0&0&0&0&0&0&\cdots &-\beta &\alpha &0&1\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\end{array}}\right).}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена
K
[ x ]
{\displaystyle \mathbb {K} [x]}
(множанне вектара на
x
{\displaystyle x}
задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .