wd wp Пошук:

Ранг матрыцы

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} з

m

{\displaystyle m}

\{\displaystyle m\} радкоў і

n

{\displaystyle n}

\{\displaystyle n\} слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза

dim ⁡ ( Im ⁡ ( A ) )

{\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (A))}

\{\displaystyle \dim(\operatorname \{Im\} (A))\} лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} абазначаецца

rang ⁡ A

{\displaystyle \operatorname {rang} A}

\{\displaystyle \operatorname \{rang\} A\} (

rg ⁡ A

{\displaystyle \operatorname {rg} A}

\{\displaystyle \operatorname \{rg\} A\}) або

rank ⁡ A

{\displaystyle \operatorname {rank} A}

\{\displaystyle \operatorname \{rank\} A\}. Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

Азначэнне

Хай

A

m × n

{\displaystyle A_{m\times n}}

\{\displaystyle A_\{m\times n\}\} — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} з’яўляецца:

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} — нулявая матрыца;

r ∈

N

:

M

r

≠ 0 ,

M

r + 1

= 0

{\displaystyle r\in \mathbb {N} :;\exists M_{r}\neq 0,;\forall M_{r+1}=0}

\{\displaystyle r\in \mathbb \{N\} :\;\exists M_\{r\}\neq 0,\;\forall M_\{r+1\}=0\}, дзе

M

r

{\displaystyle M_{r}}

\{\displaystyle M_\{r\}\} — мінор матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} парадку

r

{\displaystyle r}

\{\displaystyle r\}, а

M

r + 1

{\displaystyle M_{r+1}}

\{\displaystyle M_\{r+1\}\} — аблямоўваючы яго мінор парадку

( r + 1 )

{\displaystyle (r+1)}

\{\displaystyle (r+1)\}, калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы парадку роўныя нулю (). Тады , калі яны існуюць.

Звязаныя азначэнні

rang ⁡ M

{\displaystyle \operatorname {rang} M}

\{\displaystyle \operatorname \{rang\} M\} матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} памеру

m × n

{\displaystyle m\times n}

\{\displaystyle m\times n\} называюць поўным, калі

rang ⁡ M

min { m , n }

{\displaystyle \operatorname {rang} M=\min\{m,n\}}

\{\displaystyle \operatorname \{rang\} M=\min\\{m,n\\}\}.

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} — любы ненулявы мінор матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} парадку

r

{\displaystyle r}

\{\displaystyle r\}, дзе

r

rang ⁡ A

{\displaystyle r=\operatorname {rang} A}

\{\displaystyle r=\operatorname \{rang\} A\}. + Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці

r

rang ⁡ A ,

M

r

{\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}}

\{\displaystyle r=\operatorname \{rang\} A,M_\{r\}\} — базісны мінор матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\}, тады: 1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя; 2. любы радок (слупок) матрыцы

A


\{\displaystyle A\}

![\{\displaystyle A\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).

A ∼ B

{\displaystyle A\sim B}

\{\displaystyle A\sim B\} для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі

A ∼ B

{\displaystyle A\sim B}

\{\displaystyle A\sim B\}, то іх рангі роўныя.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы

Няхай

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} — матрыца памеру

m × n

{\displaystyle m\times n}

\{\displaystyle m\times n\} над полем

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

\{\displaystyle \mathbb \{C\} \} (або

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}). Няхай

T

{\displaystyle T}

\{\displaystyle T\} — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} ў стандартным базісе; гэта значыць, што

T ( x )

A x

{\displaystyle T(x)=Ax}

\{\displaystyle T(x)=Ax\}. Ранг матрыцы ***A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\}*** — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння

T

{\displaystyle T}

\{\displaystyle T\}.

Метады

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.

Няхай ў матрыцы

A

{\displaystyle A}

\{\displaystyle A\} знойдзены ненулявы мінор

k

{\displaystyle k}

\{\displaystyle k\}-га парадку

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\}. Разгледзім усе міноры

( k + 1 )

{\displaystyle (k+1)}

\{\displaystyle (k+1)\}-га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\}; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны

k

{\displaystyle k}

\{\displaystyle k\}. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца. Літаратура

Тэмы гэтай старонкі (3):
Category:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%96%2C %D1%8F%D0%BA%D1%96%D1%8F %D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%9E%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%86%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%8F %D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%96 %D1%9E %D1%81%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8B%D0%BC %D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B5
Катэгорыя·Лінейная алгебра
Катэгорыя·Матрычныя інварыянты