wd wp Пошук: ⬜

Ранг матрыцы

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ з

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ радкоў і

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза

dim ⁡ ( Im ⁡ ( A ) )

{\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (A))}

$\{\displaystyle \dim(\operatorname \{Im\} (A))\}$ лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ абазначаецца

rang ⁡ A

{\displaystyle \operatorname {rang} A}

$\{\displaystyle \operatorname \{rang\} A\}$ (

rg ⁡ A

{\displaystyle \operatorname {rg} A}

$\{\displaystyle \operatorname \{rg\} A\}$ ) або

rank ⁡ A

{\displaystyle \operatorname {rank} A}

$\{\displaystyle \operatorname \{rank\} A\}$ . Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

Азначэнне

Хай

m × n

{\displaystyle A_{m\times n}}

$\{\displaystyle A_\{m\times n\}\}$ — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ з’яўляецца:

нуль, калі

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ — нулявая матрыца;

лік

r ∈

∃

≠ 0 ,

∀

r + 1

= 0

{\displaystyle r\in \mathbb {N} :;\exists M_{r}\neq 0,;\forall M_{r+1}=0}

$\{\displaystyle r\in \mathbb \{N\} :\;\exists M_\{r\}\neq 0,\;\forall M_\{r+1\}=0\}$ , дзе

{\displaystyle M_{r}}

$\{\displaystyle M_\{r\}\}$ — мінор матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ парадку

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ , а

r + 1

{\displaystyle M_{r+1}}

$\{\displaystyle M_\{r+1\}\}$ — аблямоўваючы яго мінор парадку

( r + 1 )

{\displaystyle (r+1)}

$\{\displaystyle (r+1)\}$ , калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы $\{\displaystyle A_\{m\times n\}\}$ парадку $\{\displaystyle k\}$ роўныя нулю ( $\{\displaystyle M_\{k\}=0\}$ ). Тады $\{\displaystyle \forall M_\{k+1\}=0\}$ , калі яны існуюць.

Звязаныя азначэнні

Ранг

rang ⁡ M

{\displaystyle \operatorname {rang} M}

$\{\displaystyle \operatorname \{rang\} M\}$ матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ памеру

m × n

{\displaystyle m\times n}

$\{\displaystyle m\times n\}$ называюць поўным, калі

rang ⁡ M

min { m , n }

{\displaystyle \operatorname {rang} M=\min\{m,n\}}

$\{\displaystyle \operatorname \{rang\} M=\min\\{m,n\\}\}$ .

Базісны мінор матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ — любы ненулявы мінор матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ парадку

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ , дзе

r

rang ⁡ A

{\displaystyle r=\operatorname {rang} A}

$\{\displaystyle r=\operatorname \{rang\} A\}$ . + Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці

Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай

r

rang ⁡ A ,

{\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}}

$\{\displaystyle r=\operatorname \{rang\} A,M_\{r\}\}$ — базісны мінор матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ , тады: 1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя; 2. любы радок (слупок) матрыцы

A


\{\displaystyle A\}

![\{\displaystyle A\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).

Следства:
- Калі ранг матрыцы роўны
r

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ , то любыя

p : p

r

{\displaystyle p\colon p>r}

$\{\displaystyle p\colon p>r\}$ радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
- Калі
A

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ — квадратная матрыца, і

det A

0

⟺

{\displaystyle \det A=0\iff }

$\{\displaystyle \det A=0\iff \}$ , то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
- Хай
r

rang ⁡ A

{\displaystyle r=\operatorname {rang} A}

$\{\displaystyle r=\operatorname \{rang\} A\}$ , тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная

r

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ .
Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне

A ∼ B

{\displaystyle A\sim B}

$\{\displaystyle A\sim B\}$ для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі

A ∼ B

{\displaystyle A\sim B}

$\{\displaystyle A\sim B\}$ , то іх рангі роўныя.

Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
- Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
- Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы

Няхай

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ — матрыца памеру

m × n

{\displaystyle m\times n}

$\{\displaystyle m\times n\}$ над полем

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$ (або

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ ). Няхай

{\displaystyle T}

$\{\displaystyle T\}$ — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ ў стандартным базісе; гэта значыць, што

T ( x )

A x

{\displaystyle T(x)=Ax}

$\{\displaystyle T(x)=Ax\}$ . Ранг матрыцы ***A

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ *** — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння

{\displaystyle T}

$\{\displaystyle T\}$ .

Метады

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

Метад элементарных пераўтварэнняў

Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.

Метад аблямоўваючых мінораў

Няхай ў матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ знойдзены ненулявы мінор

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ -га парадку

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ . Разгледзім усе міноры

( k + 1 )

{\displaystyle (k+1)}

$\{\displaystyle (k+1)\}$ -га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ ; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ . У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца. Літаратура

Эрнест Винберг Курс алгебры (руск.) (5 верасня 2017). Праверана 24 жніўня 2018.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Category:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%96%2C %D1%8F%D0%BA%D1%96%D1%8F %D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%9E%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%86%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%8F %D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%96 %D1%9E %D1%81%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8B%D0%BC %D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B5
Катэгорыя·Лінейная алгебра
Катэгорыя·Матрычныя інварыянты

Ранг матрыцы

Азначэнне

Звязаныя азначэнні

rang ⁡ M

r

Уласцівасці

r

det A

r

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы

T ( x )

Метады

. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца. Літаратура

$\{\displaystyle k\}$ . У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца. Літаратура