wd wp Пошук: ⬜

Граніца паслядоўнасці

У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Граніца (матэматыка).

Збяганне паслядоўнасці

\{\displaystyle \scriptstyle (a_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}

да граніцы a

Грані́ца[1][2] паслядо́ўнасці, або лімі́т[3] паслядоўнасці — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае граніцу, кажуць, што яна збягаецца да сваёй граніцы. У процілеглым выпадку (калі граніцы няма) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце граніцы няяўна ўсведамлялася яшчэ ў старажытнасці ў Грэцыі. У якасці яскравага прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця граніцы даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні

Няхай элементы паслядоўнасці

(

)

n

∞

{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ належаць тапалагічнай прасторы X.

Кажуць, што паслядоўнасць

(

)

n

∞

{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ збягаецца да сваёй граніцы

a ∈ X

{\displaystyle a\in X}

$\{\displaystyle a\in X\}$ і пішуць

lim

n → ∞

= a ,

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}x\{n\}=a,\}$ калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар N**U , што для ўсіх n ≥ N**U выконваецца

∈ U ( a ) .

{\displaystyle x_{n}\in U(a).}

$\{\displaystyle x_\{n\}\in U(a).\}$

Паслядоўнасць, якая мае канечную граніцу, называецца збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае граніцы, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

lim

n → ∞

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}x\{n\}\}$ можна прачытаць, як «граніца x**n пры імкненні n да бесканечнасці».

Граніца лікавай паслядоўнасці

Асноўны артыкул: Граніца лікавай паслядоўнасці

Азначэнне

Няхай

(

)

n

∞

{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць

(

)

n

∞

{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ збягаецца да сваёй граніцы

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ і пішуць

lim

n → ∞

= a ,

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}x\{n\}=a,\}$ калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) справядліва няроўнасць

− a

≤ ε .

{\displaystyle |x_{n}-a|\leq \varepsilon .}

$\{\displaystyle |x_\{n\}-a|\leq \varepsilon .\}$

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці граніц такіх паслядоўнасцей істотна не зменяцца.

Уласцівасці

Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць граніцы

lim

n → ∞

= a

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}a\{n\}=a\}$ і

lim

n → ∞

= b

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}b\{n\}=b\}$ , тады існуюць наступныя граніцы:

граніца сумы роўная суме граніц

lim

n → ∞

(

)

= a + b ,

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)=a+b,}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}\left(a\{n\}+b_\{n\}\right)=a+b,\}$

граніца рознасці роўная рознасці граніц

lim

n → ∞

(

−

)

= a − b ,

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=a-b,}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}\left(a\{n\}-b_\{n\}\right)=a-b,\}$

граніца здабытку раўняецца здабытку граніц

lim

n → ∞

(

⋅

)

= a ⋅ b .

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=a\cdot b.}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}\left(a\{n\}\cdot b_\{n\}\right)=a\cdot b.\}$

Калі

b ≠ 0

{\displaystyle b\neq 0}

$\{\displaystyle b\neq 0\}$ , то граніца дзелі раўняецца дзелі граніц

lim

n → ∞

a b

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}\{\frac \{a\{n\}\}\{b_\{n\}\}\}=\{\frac \{a\}\{b\}\}\}$ .

Калі

{\displaystyle a>0}

$\{\displaystyle a>0\}$ , то граніца ступені існуе і

lim

n → ∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{b_{n}}=a^{b}}

$\{\displaystyle \lim \{n\to \infty \}a\{n\}^\{b_\{n\}\}=a^\{b\}\}$ .

Важныя прыклады

Асноўны артыкул: Спіс граніц

n → ∞

1 n

= 0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}

$\{\displaystyle \lim _\{n\to \infty \}\{\frac \{1\}\{n\}\}=0\}$

n → ∞

= 1

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}

$\{\displaystyle \lim _\{n\to \infty \}\{\sqrt[\{n\}]\{n\}\}=1\}$

n → ∞

(

1 +

z n

)

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}}

$\{\displaystyle \lim _\{n\to \infty \}\left(1+\{\frac \{z\}\{n\}\}\right)^\{n\}=e^\{z\}\}$ для рэчаісных або камплексных лікаў z.

n → ∞

n (

1 n

− 1 )

ln ⁡ a

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n(a^{\frac {1}{n}}-1)=\ln a}

$\{\displaystyle \lim _\{n\to \infty \}n(a^\{\frac \{1\}\{n\}\}-1)=\ln a\}$ для рэчаісных a > 0.

n → ∞

(

1 +

1 2

1 3

⋯ +

1 n

− ln ⁡ n

)

= γ

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)=\gamma }

$\{\displaystyle \lim _\{n\to \infty \}\left(1+\{\frac \{1\}\{2\}\}+\{\frac \{1\}\{3\}\}+\dotsb +\{\frac \{1\}\{n\}\}-\ln n\right)=\gamma \}$ (Сталая Ойлера — Маскероні)

Геаметрычны рад

∑

k

∞

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}

$\{\displaystyle \sum _\{k=0\}^\{\infty \}q^\{k\}\}$ збягаецца да

1 − q

{\displaystyle {\tfrac {1}{1-q}}}

$\{\displaystyle \{\tfrac \{1\}\{1-q\}\}\}$ пры

< 1 ,

{\displaystyle |q|<1,}

$\{\displaystyle |q|<1,\}$ і разбягаецца пры

≥ 1.

{\displaystyle |q|\geq 1.}

$\{\displaystyle |q|\geq 1.\}$

Гарманічны рад

∑

k

∞

1 k

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}

$\{\displaystyle \sum _\{k=1\}^\{\infty \}\{\frac \{1\}\{k\}\}\}$ разбягаецца.

Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца

∑

k

∞

( − 1

)

k + 1

= ln ⁡ 2.

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}

$\{\displaystyle \sum _\{k=1\}^\{\infty \}\{\frac \{(-1)^\{k+1\}\}\{k\}\}=\ln 2.\}$

Абагульненні

Гл. таксама: Метрычная прастора Гл. таксама: Граніца функцыйнай паслядоўнасці Граніца лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам граніцы паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай X − метрычная прастора, г.зн. X — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка)

ρ : X × X →

{\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb \{R\} \}$ , якая адпавядае умовам:

ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
ρ(x,y) = ρ(y,x);
ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)

для адвольных элементаў x, y, z мноства X.

Няхай

(

)

n

∞

{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.

Пункт

a ∈ X

{\displaystyle a\in X}

$\{\displaystyle a\in X\}$ называюць граніцаю паслядоўнасці

(

)

n

∞

{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle (x_\{n\})_\{n=1\}^\{\infty \}\}$ пры імкненні n да бесканечнасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) спраўджваецца няроўнасць

ρ (

, a ) ≤ ε .

{\displaystyle \rho (x_{n},a)\leq \varepsilon .}

$\{\displaystyle \rho (x_\{n\},a)\leq \varepsilon .\}$

Гл. таксама

Зноскі

↑
Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
↑
Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь. — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
↑
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Граніцы
Катэгорыя·Матэматычны аналіз