wd wp Пошук: ⬜

Тапалагічная прастора

Тапалагічная прастора — мноства з дадатковай структурай пэўнага тыпу (так званай тапалогіяй); з’яўляецца адным з асноўных аб’ектаў (разам с непрарыўнымі адлюстраваннямі) вывучэння раздзела матэматыкі пад назвай тапалогія.

Гістарычна, паняцце тапалагічнага прасторы з’явілася як абагульненне метрычнай прасторы, якая у сваю чаргу абагульняе паняцці геаметрычнай прасторы і фігур.

Заданне тапалагічнай структуры, або тапалогіі, на мностве дае выразны матэматычны сэнс блізкасці, аддаленасці, аддзялення яго элементаў без выкарыстання лікавай велічыні адлегласці паміж імі.

У сучаснае вызначэнне структуры тапалагічнай прасторы увайшоў мінімальны набор уласцівасцяў сістэмы метрычных наваколляў, дастатковы для вызначэння такіх паняццяў, як непрарыўнасць, звязнасць і, ў большасці выпадкаў, сыходнасць ў самых агульных сітуацыях, калі метрычныя паняцці могуць быць ўжо непрыдатнымі.

Акрамя агульных выпадкаў, калі задаць адлегласць паміж пунктамі немагчыма, выкарыстанне тапалагічнай мовы часта спрашчае разважанні і аб метрычных прасторах, у тых выпадках, калі яны не залежаць ад канкрэтных лікавых значэнняў адлегласці.

Уласцівасці, якія залежаць толькі ад тапалагічнай структуры на мностве, называюцца тапалагічнымі уласцівасцямі і вывучаюцца ў раздзеле агульная тапалогія. Спалучэнне тапалагічнай структуры з іншымі структурамі, ці спецыфікацыя яе дадатковымі абмежаваннямі, прыводзіць да вылучэння розных другіх відаў уласцівасцяў, якія вывучаюцца ў іншых раздзелах тапалогіі ці сумежных дысцыплін.

Вызначэнне

Няхай дадзена мноства

X

{\displaystyle X}

. Сістэма

T

{\displaystyle {\mathcal {T}}}

яго падмноств называецца тапалогіяй на

X

{\displaystyle X}

, калі выкананы наступныя ўмовы:

1. Аб’яднанне адвольнага сямейства мностваў, якія належаць

T

{\displaystyle {\mathcal {T}}}

, належыць

T

{\displaystyle {\mathcal {T}}}

. Гэта значыць, што калі

U

α

∈

T

∀ α ∈ A

{\displaystyle U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}\quad \forall \alpha \in A}

, то

⋃

α ∈ A

U

α

∈

T

{\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}}

. 2. Перасячэнне канечнага сямейства мностваў, якія належаць

T

{\displaystyle {\mathcal {T}}}

, належыць

T

{\displaystyle {\mathcal {T}}}

. Гэта значыць, што калі

U

i

∈

T

i

1 ,

… ,

n

{\displaystyle U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad i=1,;\ldots ,;n}

, то

⋂

i

1

n

U

i

∈

T

{\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {T}}}

. 3. X ,

∅ ∈

T

{\displaystyle X,;\varnothing \in {\mathcal {T}}}

.

Пара

( X ,

T

)

{\displaystyle (X,;{\mathcal {T}})}

называецца тапалагічнай прасторай. Мноства, якія належаць

T

{\displaystyle {\mathcal {T}}}

, называюцца адкрытымі мноствамі. Элементы мноства

X

{\displaystyle X}

, на якім дана тапалогія, называюцца, як ў геаметрыі, пунктамі.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Агульная тапалогія
Катэгорыя·Тапалогія