wd wp Пошук: ⬜

Цэнтральная гранічная тэарэма

Цэнтра́льная грані́чная тэарэма (Ц. Г. Т.) — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя гранічныя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная Ц. Г. Т

Няхай X1, …, X**n, … — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама

∑

i

{\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}.}

$\{\displaystyle S_\{n\}=\sum \limits \{i=1\}^\{n\}X\{i\}.\}$ Тады[1]

− μ n

→ N ( 0 , 1 )

{\displaystyle {\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)}

$\{\displaystyle \{\frac \{S_\{n\}-\mu n\}\{\sigma \{\sqrt \{n\}\}\}\}\to N(0,1)\}$ па размеркаванню пры

n → ∞ ,

{\displaystyle n\to \infty ,}

$\{\displaystyle n\to \infty ,\}$ дзе

N ( 0 , 1 )

{\displaystyle N(0,1)}

$\{\displaystyle N(0,1)\}$ — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі Абазначыўшы сімвалам

X ¯

{\displaystyle {\bar {X}}}

$\{\displaystyle \{\bar \{X\}\}\}$ выбарачнае сярэдняе першых

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ велічынь:

X ¯

1 n

∑

i

{\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i},}

$\{\displaystyle \{\bar \{X\}\}=\{\frac \{1\}\{n\}\}\sum \limits \{i=1\}^\{n\}X\{i\},\}$ вынік цэнтральнай гранічнай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

X ¯

− μ

→ N ( 0 , 1 )

{\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{n\}\}\{\frac \{\{\bar \{X\}\}-\mu \}\{\sigma \}\}\to N(0,1)\}$ па размеркаванню пры

n → ∞

{\displaystyle n\to \infty }

$\{\displaystyle n\to \infty \}$ . Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

Кажучы прасцей, класічная цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што сума

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да

N ( n μ , n

) .

{\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^{2}).}

$\{\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^\{2\}).\}$ Ці, што тое самае,

X ¯

{\displaystyle {\bar {X}}}

$\{\displaystyle \{\bar \{X\}\}\}$ мае размеркаванне блізкае да

N ( μ ,

n ) .

{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n).}

$\{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^\{2\}/n).\}$

Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы

− μ n

{\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}}

$\{\displaystyle Z_\{n\}=\{\frac \{S_\{n\}-\mu n\}\{\sigma \{\sqrt \{n\}\}\}\}\}$ , атрымліваем

( x ) → Φ ( x ) ,

∀ x ∈

{\displaystyle F_{Z_{n}}(x)\to \Phi (x),;\forall x\in \mathbb {R} }

$\{\displaystyle F_\{Z_\{n\}\}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb \{R\} \}$ , дзе

Φ ( x )

{\displaystyle \Phi (x)}

$\{\displaystyle \Phi (x)\}$ — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.

Цэнтральная гранічная тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь X**i можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная Ц. Г. Т.

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь

{

}

i

∞

{\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}

$\{\displaystyle \\{X_\{i\}\\}_\{i=1\}^\{\infty \}\}$ абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне

{\displaystyle Z_{n}}

$\{\displaystyle Z_\{n\}\}$ таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

( x ) →

2 π

−

{\displaystyle f_{Z_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}

$\{\displaystyle f_\{Z_\{n\}\}(x)\to \{\frac \{1\}\{\sqrt \{2\pi \}\}\}\,e^\{-\{\frac \{x^\{2\}\}\{2\}\}\}\}$ пры

n → ∞

{\displaystyle n\to \infty }

$\{\displaystyle n\to \infty \}$ , дзе

( x )

{\displaystyle f_{Z_{n}}(x)}

$\{\displaystyle f_\{Z_\{n\}\}(x)\}$ — шчыльнасць выпадковае велічыні

{\displaystyle Z_{n}}

$\{\displaystyle Z_\{n\}\}$ , а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні

Вынік класічнай цэнтральнай гранічнай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

Ц. Г. Т. Ляпунова

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {X**i} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μi і дысперсіі σ2i і абсалютныя моманты E[|X**i − μi|2+δ]. Няхай

∑

i

{\displaystyle B_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},}

$\{\displaystyle B_\{n\}^\{2\}=\sum _\{i=1\}^\{n\}\sigma _\{i\}^\{2\},\}$

2 + δ

∑

i

[

−

2 + δ

]

{\displaystyle r_{n}^{2+\delta }=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{2+\delta }\right].}

$\{\displaystyle r_\{n\}^\{2+\delta \}=\sum _\{i=1\}^\{n\}\mathbb \{E\} \left[|X_\{i\}-\mu _\{i\}|^\{2+\delta \}\right].\}$ Няхай выконваецца умова Ляпунова:

lim

n → ∞

2 + δ

= 0.

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {r_{n}^{2+\delta }}{B_{n}^{2+\delta }}}=0.}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}\{\frac \{r\{n\}^\{2+\delta \}\}\{B_\{n\}^\{2+\delta \}\}\}=0.\}$ Тады[1]

∑

i

(

−

) → N ( 0 , 1 )

{\displaystyle {\frac {1}{B_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\to N(0,1)}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{B_\{n\}\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}(X\{i\}-\mu _\{i\})\to N(0,1)\}$ па размеркаванню пры

n → ∞

{\displaystyle n\to \infty }

$\{\displaystyle n\to \infty \}$ .

Ц. Г. Т. Ліндэберга

Ліндэберг даказаў свой варыянт ЦГТ ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні X1, …, X**n, … вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

[

]

[

]

{\displaystyle \mathbb {E} [X_{i}]=\mu _{i},\quad \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma _{i}^{2}.}

$\{\displaystyle \mathbb \{E\} [X_\{i\}]=\mu _\{i\},\quad \mathrm \{D\} [X_\{i\}]=\sigma _\{i\}^\{2\}.\}$ Няхай

∑

i

{\displaystyle B_{n}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.}

$\{\displaystyle B_\{n\}^\{2\}=\sum \limits _\{i=1\}^\{n\}\sigma _\{i\}^\{2\}.\}$ І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

lim

n → ∞

∑

i

∫

x −

( x −

)

( x )

0 ,

{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{B_{n}^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\int \limits _{|x-\mu _{i}|>\varepsilon B_{n}}(x-\mu _{i})^{2},dF_{i}(x)=0,}

$\{\displaystyle \lim \limits \{n\to \infty \}\{\frac \{1\}\{B\{n\}^\{2\}\}\}\sum \limits _\{i=1\}^\{n\}\int \limits _\{|x-\mu \{i\}|>\varepsilon B\{n\}\}(x-\mu \{i\})^\{2\}\,dF\{i\}(x)=0,\}$ дзе F**i(x) — функцыя размеркавання велічыні X**i .

Тады[2]

∑

i

(

−

) → N ( 0 , 1 )

{\displaystyle {\frac {1}{B_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\to N(0,1)}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{B_\{n\}\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}(X\{i\}-\mu _\{i\})\to N(0,1)\}$ па размеркаванню пры

n → ∞

{\displaystyle n\to \infty }

$\{\displaystyle n\to \infty \}$ . Заўвагі

З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем

[

∑

i

]

∑

i

{\displaystyle \mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu _{i}.}

$\{\displaystyle \mathbb \{E\} \left[\sum \{i=1\}^\{n\}X\{i\}\right]=\sum \limits _\{i=1\}^\{n\}\mu _\{i\}.\}$

Велічыні X**i незалежныя, таму

[

∑

i

]

∑

i

{\displaystyle \mathrm {D} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}=B_{n}^{2}.}

$\{\displaystyle \mathrm \{D\} \left[\sum \{i=1\}^\{n\}X\{i\}\right]=\sum \limits _\{i=1\}^\{n\}\sigma \{i\}^\{2\}=B\{n\}^\{2\}.\}$

Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:

∀ ε

0 ,

lim

n → ∞

∑

i

[

(

−

)

{

−

}

]

= 0 ,

{\displaystyle \forall \varepsilon >0,;\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{B_{n}^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2},\mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon B_{n}\}}\right]=0,}

$\{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits \{n\to \infty \}\{\frac \{1\}\{B\{n\}^\{2\}\}\}\sum \limits _\{i=1\}^\{n\}\mathbb \{E\} \left[(X_\{i\}-\mu _\{i\})^\{2\}\,\mathbf \{1\} \{\\{|X\{i\}-\mu \{i\}|>\varepsilon B\{n\}\\}\}\right]=0,\}$ дзе

{ … }

{\displaystyle \mathbf {1} _{\{\dots \}}}

$\{\displaystyle \mathbf \{1\} _\{\\{\dots \\}\}\}$ — індыкатарная функцыя(англ.) бел..

Ц. Г. Т. для мартынгалаў

Няхай працэс

(

)

t ∈

{\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {N} }}

$\{\displaystyle (X_\{t\})_\{t\in \mathbb \{N\} \}\}$ з’яўляецца мартынгалам(англ.) бел. з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

[

t + 1

−

∣

, … ,

]

= 0 ,

{\displaystyle \mathbb {E} \left[X_{t+1}-X_{t}\mid X_{1},\ldots ,X_{t}\right]=0,}

$\{\displaystyle \mathbb \{E\} \left[X_\{t+1\}-X_\{t\}\mid X_\{1\},\ldots ,X_\{t\}\right]=0,\}$ і існуе такая пастаянная C, што для ўсіх t амаль напэўна(англ.) бел. справядліва няроўнасць

t + 1

−

≤ C .

{\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq C.}

$\{\displaystyle |X_\{t+1\}-X_\{t\}|\leq C.\}$ Будзем таксама лічыць, што

≤ C .

{\displaystyle |X_{1}|\leq C.}

$\{\displaystyle |X_\{1\}|\leq C.\}$

Няхай

[

(

−

t − 1

)

∣

, … ,

t − 1

]

{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} \left[(X_{t}-X_{t-1})^{2}\mid X_{1},\ldots ,X_{t-1}\right],}

$\{\displaystyle \sigma _\{t\}^\{2\}=\mathbb \{E\} \left[(X_\{t\}-X_\{t-1\})^\{2\}\mid X_\{1\},\ldots ,X_\{t-1\}\right],\}$ і рад з σ2i разбягаецца з імавернасцю 1(англ.) бел.:

∑

i

∞

= ∞ .

{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sigma _{i}^{2}=\infty .}

$\{\displaystyle \sum _\{i=1\}^\{\infty \}\sigma _\{i\}^\{2\}=\infty .\}$ Няхай

= min

{

t :

∑

i

≥ ν

}

{\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{t}^{2}\geq \nu \right\}.}

$\{\displaystyle \tau _\{\nu \}=\min \left\\{t:\sum _\{i=1\}^\{t\}\sigma _\{t\}^\{2\}\geq \nu \right\\}.\}$ Тады[3]

→ N ( 0 , 1 )

{\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}\to N(0,1)}

$\{\displaystyle \{\frac \{X_\{\tau _\{\nu \}\}\}\{\sqrt \{\nu \}\}\}\to N(0,1)\}$ па размеркаванню пры

n → ∞

{\displaystyle n\to \infty }

$\{\displaystyle n\to \infty \}$ . Гл. таксама

Зноскі

1 2 Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 241.
↑ Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 237.
↑ Billingsley (1995, Theorem 35.11, p. 476)

Літаратура

Прохоров Ю. В. Центральная предельная теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 5.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
Вентцель Е. С. Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
Хинчин А. Я. Основные законы теории вероятностей. — М.: ГТТИ, 1932. — 576 с.
Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (Third ed.). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2.

Спасылкі

Предельные теоремы теории вероятностей (руск.)

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Тэарэмы тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі
Катэгорыя·Тэорыя імавернасцей