wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма Пойнтынга

Тэарэма Пойнтынга (англ.: Poynting’s theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

∂ u

∂ t

∇ ⋅

S

= −

J

⋅

E

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }

, Дзе S — вектар Пойнтынга, J — шчыльнасць току і E — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі

u

{\displaystyle u}

(

ϵ

0

{\displaystyle \epsilon _{0}}

— электрычная пастаянная,

μ

0

{\displaystyle \mu _{0}}

— магнітная пастаянная).

u

1 2

(

ε

0

E

2

B

2

μ

0

)

.

{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right).}

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

∂

∂ t

∫

V

u   d V +

∮

∂ V

⁡

S

  d

A

= −

∫

V

J

⋅

E

  d V

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}u\ dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \ d\mathbf {A} =-\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \ dV}

, дзе

∂ V

{\displaystyle \partial V!}

— паверхня, якая абмяжоўвае аб’ём

V

{\displaystyle V!}

.

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так (

u

{\displaystyle u}

— шчыльнасці энергіі):

∇ ⋅

S

ε

0

E

⋅

∂

E

∂ t

B

μ

0

⋅

∂

B

∂ t

J

⋅

E

= 0

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0}

, дзе

ε

0

E

⋅

∂

E

∂ t

{\displaystyle \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}

— шчыльнасць энергіі электрычнага поля,

B

μ

0

⋅

∂

B

∂ t

{\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}

— шчыльнасць энергіі магнітнага поля і

J

⋅

E

{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }

— магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб’ёму.

Вывад

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):

∇ ×

E

= −

∂

B

∂ t

.

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на

B

{\displaystyle \mathbf {B} }

, атрымаем:

B

⋅ ( ∇ ×

E

)

−

B

⋅

∂

B

∂ t

.

{\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

∇ ×

B

=

μ

0

J

ϵ

0

μ

0

∂

E

∂ t

.

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на

E

{\displaystyle \mathbf {E} }

, атрымаем:

E

⋅ ( ∇ ×

B

)

E

⋅

μ

0

J

E

⋅

ϵ

0

μ

0

∂

E

∂ t

.

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}

Адымаючы першае з другога, атрымаем:

E

⋅ ( ∇ ×

B

) −

B

⋅ ( ∇ ×

E

)

μ

0

E

⋅

J

ϵ

0

μ

0

E

⋅

∂

E

∂ t

B

⋅

∂

B

∂ t

.

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

Нарэшце:

− ∇ ⋅   (

E

×

B

)

μ

0

E

⋅

J

ϵ

0

μ

0

E

⋅

∂

E

∂ t

B

⋅

∂

B

∂ t

.

{\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

Паколькі вектар Пойнтынга

S

{\displaystyle \mathbf {S} }

вызначаецца як:

S

=

1

μ

0

E

×

B

{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }

гэта раўнасільна:

∇ ⋅

S

ϵ

0

E

⋅

∂

E

∂ t

B

μ

0

⋅

∂

B

∂ t

J

⋅

E

= 0.

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}

Абагульненне

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

∂

∂ t

u

m

(

r

, t ) + ∇ ⋅

S

m

(

r

, t )

J

(

r

, t ) ⋅

E

(

r

, t ) ,

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}

дзе

u

m

{\displaystyle u_{m}}

— кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц

α

{\displaystyle \alpha }

u

m

(

r

, t )

∑

α

m

α

2

r ˙

α

2

δ (

r

−

r

α

( t ) ) ,

{\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}

S

m

{\displaystyle \mathbf {S_{m}} }

— паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

S

m

(

r

, t )

∑

α

m

α

2

r ˙

α

2

r

˙

α

δ (

r

−

r

α

( t ) ) .

{\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

∂

∂ t

(

u

e

u

m

)

∇ ⋅

(

S

e

S

m

)

= 0 ,

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}

Альтэрнатыўныя формы

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку

S

∝

E

×

B

{\displaystyle \mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B} }

, можна выбраць форму Абрагама

E

×

H

{\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }

, форму Мінкоўскага

D

×

B

{\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }

, або якую-небудзь іншую.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Фізічныя тэарэмы
Катэгорыя·Электрадынаміка