wd wp Пошук: ⬜

Табліца вытворных

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

Вытворныя найпрасцейшых функцый

Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў

Ступеневае правіла: няхай

f ( x )

{\displaystyle f(x)=x^{n}}

$\{\displaystyle f(x)=x^\{n\}\}$ , тады для любога рэчаіснага паказніка n праўдзіцца роўнасць

f ′

( x )

n − 1

{\displaystyle f’(x)=nx^{n-1}.}

$\{\displaystyle f’(x)=nx^\{n-1\}.\}$

Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай: калі функцыя f ёсць ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x значэнне функцыі аднолькавае і роўнае f(x) = c, дзе c некаторы нязменны лік), то яе вытворная f′ ёсць тоесным нулём:

( c

) ′

= 0.

{\displaystyle (c)’=0.}

$\{\displaystyle (c)’=0.\}$

Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:

(

⋯ +

x +

) ′

= n

n − 1

⋯ + 2

x +

{\displaystyle (a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})’=na_{n}x^{n-1}+\dots +2a_{2}x+a_{1}.}

$\{\displaystyle (a_\{n\}x^\{n\}+\dots +a_\{2\}x^\{2\}+a_\{1\}x+a_\{0\})’=na_\{n\}x^\{n-1\}+\dots +2a_\{2\}x+a_\{1\}.\}$

Вытворная модуля

(

) ′

= sgn ⁡ x ,

x ≠ 0.

{\displaystyle (|x|)’={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0.}

$\{\displaystyle (|x|)’=\{\frac \{x\}\{|x|\}\}=\operatorname \{sgn\} x,\qquad x\neq 0.\}$

Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый

Вытворная паказнікавай функцыі:

(

) ′

{\displaystyle (e^{x})’=e^{x}.}

$\{\displaystyle (e^\{x\})’=e^\{x\}.\}$

Вытворная паказнікавай функцыі з асновай b:

(

) ′

ln ⁡ b

{\displaystyle (b^{x})’={b^{x}\ln b},\qquad b>0.}

$\{\displaystyle (b^\{x\})’=\{b^\{x\}\ln b\},\qquad b>0.\}$

Вытворная натуральнага лагарыфма:

( ln ⁡ x

) ′

1 x

{\displaystyle (\ln x)’={\frac {1}{x}}.}

$\{\displaystyle (\ln x)’=\{\frac \{1\}\{x\}\}.\}$

Вытворная лагарыфма з асноваю b:

(

log

⁡ x

) ′

x ln ⁡ b

0 ,

b ≠ 1.

{\displaystyle (\log _{b}x)’={\frac {1}{x\ln b}},\qquad b>0,\quad b\neq 1.}

$\{\displaystyle (\log _\{b\}x)’=\{\frac \{1\}\{x\ln b\}\},\qquad b>0,\quad b\neq 1.\}$

Табліца вытворных

Вытворныя трыганаметрычных функцый

$\{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\}$	$\{\displaystyle (\arcsin x)'=\{1 \over \{\sqrt \{1-x^\{2\}\}\}\},\qquad \|x\|<1\}$
$\{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\}$	$\{\displaystyle (\arccos x)'=-\{1 \over \{\sqrt \{1-x^\{2\}\}\}\},\qquad \|x\|<1\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{tg\} x)'=\{\frac \{1\}\{\cos ^\{2\}x\}\}=\sec ^\{2\}x=1+\operatorname \{tg\} ^\{2\}x\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arctg\} x)'=\{\frac \{1\}\{1+x^\{2\}\}\}\,\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{ctg\} x)'=-\{\frac \{1\}\{\sin ^\{2\}x\}\}=-\csc ^\{2\}x=-(1+\operatorname \{ctg\} ^\{2\}x)\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arcctg\} x)'=-\{\frac \{1\}\{1+x^\{2\}\}\}\}$
$\{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\cdot \operatorname \{tg\} x\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arcsec\} x)'=\{1 \over \|x\|\{\sqrt \{x^\{2\}-1\}\}\},\qquad \|x\|>1\}$
$\{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cdot \operatorname \{ctg\} x\,\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arccsc\} x)'=-\{\frac \{1\}\{\|x\|\{\sqrt \{x^\{2\}-1\}\}\}\},\qquad \|x\|>1\}$

Вытворныя гіпербалічных функцый

$\{\displaystyle (\operatorname \{sh\} x)'=\operatorname \{ch\} x=\{\frac \{e^\{x\}+e^\{-x\}\}\{2\}\}\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arsh\} x)'=\{\frac \{1\}\{\sqrt \{x^\{2\}+1\}\}\}\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{ch\} x)'=\operatorname \{sh\} x=\{\frac \{e^\{x\}-e^\{-x\}\}\{2\}\}\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arch\} x)'=\{\frac \{1\}\{\sqrt \{x^\{2\}-1\}\}\},\qquad x>1\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{th\} x)'=\{\frac \{1\}\{\operatorname \{ch\} ^\{2\}x\}\}=\operatorname \{sech\} ^\{2\}x\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arth\} x)'=\{\frac \{1\}\{1-x^\{2\}\}\},\qquad \|x\|<1\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{cth\} x)'=-\{\frac \{1\}\{\operatorname \{sh\} ^\{2\}x\}\}=-\operatorname \{csch\} ^\{2\}x\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arcth\} x)'=\{\frac \{1\}\{1-x^\{2\}\}\},\qquad \|x\|>1\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{sech\} x)'=-\operatorname \{th\} x\cdot \operatorname \{sech\} x\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arsech\} x)'=-\{\frac \{1\}\{x\{\sqrt \{1-x^\{2\}\}\}\}\},\qquad 0<x<1\}$
$\{\displaystyle (\operatorname \{csch\} x)'=-\operatorname \{cth\} x\cdot \operatorname \{csch\} x\}$	$\{\displaystyle (\operatorname \{arcsch\} x)'=-\{\frac \{1\}\{\|x\|\{\sqrt \{1+x^\{2\}\}\}\}\}\}$

Правілы дыферэнцавання

Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)

Для любых дыферэнцавальных функцый f і g і любых сталых a і b вытворная функцыі h(x) = af(x) + bg(x) па зменнай x раўняецца

( a f ( x ) + b g ( x )

) ′

= a

f ′

( x ) + b

g ′

( x ) .

{\displaystyle (af(x)+bg(x))’=af’(x)+bg’(x).}

$\{\displaystyle (af(x)+bg(x))’=af’(x)+bg’(x).\}$ У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

d ( a f + b g )

d x

= a

d f

d x

d g

d x

{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{d(af+bg)\}\{dx\}\}=a\{\frac \{df\}\{dx\}\}+b\{\frac \{dg\}\{dx\}\}.\}$ Адмысловыя выпадкі:

Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:

( a f

) ′

= a

f ′

{\displaystyle (af)’=af’.}

$\{\displaystyle (af)’=af’.\}$

Вытворная суммы:

( f + g

) ′

f ′

g ′

{\displaystyle (f+g)’=f’+g’.}

$\{\displaystyle (f+g)’=f’+g’.\}$

Вытворная рознасці:

( f − g

) ′

f ′

−

g ′

{\displaystyle (f-g)’=f’-g’.}

$\{\displaystyle (f-g)’=f’-g’.\}$

Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)

Асноўны артыкул: Правіла Ляйбніца

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f і g можна вылічыць па формуле

( f ( x ) g ( x )

) ′

f ′

( x ) g ( x ) + f ( x )

g ′

( x ) .

{\displaystyle (f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).}

$\{\displaystyle (f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).\}$ У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

d ( f g )

d x

d f

d x

g + f

d g

d x

{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{d(fg)\}\{dx\}\}=\{\frac \{df\}\{dx\}\}g+f\{\frac \{dg\}\{dx\}\}.\}$

Вытворная дзелі

Вытворная функцыі h(x) = 1/f(x) для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі f раўняецца

(

f ( x )

)

′

= −

f ′

( x )

[ f ( x )

]

{\displaystyle \left({\frac {1}{f(x)}}\right)’=-{\frac {f’(x)}{[f(x)]^{2}}}.}

$\{\displaystyle \left(\{\frac \{1\}\{f(x)\}\}\right)’=-\{\frac \{f’(x)\}\{[f(x)]^\{2\}\}\}.\}$ Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:

d ( 1

f )

d x

= −

d f

d x

{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{d(1/f)\}\{dx\}\}=-\{\frac \{1\}\{f^\{2\}\}\}\{\frac \{df\}\{dx\}\}.\}$

Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго g ≠ 0, тады:

(

f g

)

′

f ′

g −

g ′

{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)’={\frac {f’g-g’f}{g^{2}}}.}

$\{\displaystyle \left(\{\frac \{f\}\{g\}\}\right)’=\{\frac \{f’g-g’f\}\{g^\{2\}\}\}.\}$

Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)

Асноўны артыкул: Дыферэнцаванне складанай функцыі

Вытворная складанай функцыі h(x) = f(g(x)) па зменнай x раўняецца

( f ( g ( x ) )

) ′

f ′

( g ( x ) )

g ′

( x ) .

{\displaystyle (f(g(x)))’=f’(g(x))g’(x).}

$\{\displaystyle (f(g(x)))’=f’(g(x))g’(x).\}$ У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

d h

d x

d f ( g ( x ) )

d g ( x )

⋅

d g ( x )

d x

{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{dh\}\{dx\}\}=\{\frac \{df(g(x))\}\{dg(x)\}\}\cdot \{\frac \{dg(x)\}\{dx\}\}.\}$ Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h як функцыю ад фармальнага аргумента g:

d h

d x

d h

d g

⋅

d g

d x

{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{dh\}\{dx\}\}=\{\frac \{dh\}\{dg\}\}\cdot \{\frac \{dg\}\{dx\}\}.\}$

Вытворная адваротнай функцыі

Асноўны артыкул: Вытворная адваротнай функцыі

Калі дыферэнцавальная функцыя f ма́е адваротную функцыю g (г.зн. праўдзяцца тоеснасці g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), тады

g ′

( x )

f ′

( g ( x ) )

{\displaystyle g’(x)={\frac {1}{f’(g(x))}}.}

$\{\displaystyle g’(x)=\{\frac \{1\}\{f’(g(x))\}\}.\}$ У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

d x

d y

d x

{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{dx\}\{dy\}\}=\{\frac \{1\}\{dy/dx\}\}.\}$ Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

Вытворная складана-ступеневай функцыі

Гл. таксама: Лагарыфмічная вытворная Няхай f і g ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго f > 0, тады

(

) ′

(

g ln ⁡ f

)

′

(

f ′

g ′

ln ⁡ f

)

{\displaystyle (f^{g})’=\left(e^{g\ln f}\right)’=f^{g}\left(g{\frac {f’}{f}}+g’\ln f\right).}

$\{\displaystyle (f^\{g\})’=\left(e^\{g\ln f\}\right)’=f^\{g\}\left(g\{\frac \{f’\}\{f\}\}+g’\ln f\right).\}$ Адмысловыя выпадкі:

Калі f(x) = x**a, атрымліваем f′(x) = ax**a − 1 для любых рэчаісных паказнікаў a і любога дадатнага значэння зменнай x.
Калі g(x) = −1, формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

Гл. таксама

Вытворная функцыі

Крыніцы

Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Дыферэнцыяльнае злічэнне