wd wp Пошук: ⬜

Планкаўская даўжыня

Планкаўская даўжыня (абазначаецца

{\displaystyle l_{P}}

$\{\displaystyle l_\{P\}\}$ ) — фундаментальная адзінка даўжыні ў планкаўскай сістэме адзінак, роўная ў СІ прыкладна 1,6·10−35 метраў. Планкаўская даўжыня — натуральная адзінка даўжыні, бо ў яе ўваходзяць толькі фундаментальныя пастаянныя: хуткасць святла, пастаянная Планка і гравітацыйная пастаянная.

Планкаўская даўжыня роўная:

ℏ G

≈ 1,616 252 ( 81 ) ×

− 35

{\displaystyle l_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\approx 1{,}616252(81)\times 10^{-35}}

$\{\displaystyle l_\{P\}=\{\sqrt \{\frac \{\hbar G\}\{c^\{3\}\}\}\}\approx 1\{,\}616252(81)\times 10^\{-35\}\}$ м, дзе:

ℏ =

2 π

{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}

$\{\displaystyle \hbar =\{\frac \{h\}\{2\pi \}\}\}$ — пастаянная Дзірака;

G — гравітацыйная пастаянная;
c — хуткасць святла у вакууме.

Дзве апошнія лічбы ў дужках азначаюць нявызначанасць (стандартнае адхіленне) апошніх двух разрадаў.

Прыкладны радыус назіраемага Сусвету (1,3 · 1026 м ці 13 мільярдаў светлавых гадоў) роўны 4,6·1061 планкаўскіх даўжынь.

З дакладнасцю да множніка π, планкаўская маса роўная масе чорнай дзіркі, радыус Шварцшыльда якой роўны яе комптанаўскай даўжыні хвалі. Радыус такой чорнай дзіркі будзе па парадку велічыні роўны планкаўскай даўжыні.

Просты аналіз размернасцей паказвае, што вымярэнне становішча фізічных аб’ектаў з дакладнасцю да планкаўскай даўжыні праблематычна. Сапраўды, правядзём наступны ўяўны эксперымент. Дапусцім, мы хочам вызначыць становішча аб’екта і пасылаем на яго паток электрамагнітнага выпраменьвання, гэта значыць фатонаў. Чым большая энергія фатонаў, тым карацейшая іхняя даўжыня хвалі і тым дакладнейшым будзе вымярэнне. Калі б фатон меў энергію, дастатковую для вымярэння аб’ектаў памерам з планкаўскую даўжыню, то пры ўзаемадзеянні з мішэнню ён бы зкалапсаваў ў мікраскапічную чорную дзірку і правесці вымярэнне было б немагчыма, такім чынам, планкаўская даўжыня накладвае фундаментальныя абмежаванні на дакладнасць вымярэння даўжыні.

Гэты ўяўны эксперымент грунтуецца як на агульнай тэорыі адноснасці, так і на прынцыпе нявызначанасці квантавай механікі. Абедзве тэорыі прадказваюць, што немагчыма вымярэнне з дакладнасцю, якая пераўзыходзіць планкаўскую даўжыню. Такім чынам, у любой тэорыі квантавай гравітацыі, што спалучае агульную тэорыю адноснасці і квантавую механіку, традыцыйнае ўяўленне аб прасторы і часе непрыдатна на адлегласцях меншых за планкаўскую даўжыню або для прамежкаў часу карацейшых чым планкаўскі час.

Тэарэтычная значнасць

Галоўную ролю ў квантавай гравітацыі будзе адыгрываць прынцып нявызначанасці

Δ r ≥

ℓ

{\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}

$\{\displaystyle \Delta r_\{s\}\Delta r\geq \ell _\{P\}^\{2\}\}$ , дзе

{\displaystyle r_{s}}

$\{\displaystyle r_\{s\}\}$ - гравітацыйны радыус,

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ - радыяльная каардыната,

ℓ

{\displaystyle \ell _{P}}

$\{\displaystyle \ell _\{P\}\}$ - даўжыня Планка. Гэты прынцып нявызначанасці - яшчэ адна форма прынцыпа нявызначанасці Гейзенберга паміж імпульсам і каардынатай, якi прымяняецца да шкалы Планка. Сапраўды, гэтыя суадносіны можна запісаць так:

Δ ( 2 G m

) Δ r ≥ G ℏ

{\displaystyle \Delta (2Gm/c^{2})\Delta r\geq G\hbar /c^{3}}

$\{\displaystyle \Delta (2Gm/c^\{2\})\Delta r\geq G\hbar /c^\{3\}\}$ , дзе

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ з’яўляецца гравітацыйнай канстантай,

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ - маса цела,

{\displaystyle c}

$\{\displaystyle c\}$ - хуткасць святла,

ℏ

{\displaystyle \hbar }

$\{\displaystyle \hbar \}$ - скарочаная пастаянная Планка. Скарачаючы аднолькавыя канстанты з двух бакоў, мы атрымліваем прынцып нявызначанасці Гейзенберга

Δ ( m c ) Δ r ≥ ℏ

{\displaystyle \Delta (mc)\Delta r\geq \hbar /2}

$\{\displaystyle \Delta (mc)\Delta r\geq \hbar /2\}$ . Прынцып нявызначанасці

Δ r ≥

ℓ

{\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}

$\{\displaystyle \Delta r_\{s\}\Delta r\geq \ell _\{P\}^\{2\}\}$ прагназуе з’яўленне віртуальных чорных дзірак і чарвяточных ям (квантавай пены) па шкале Планка. [1] [2]

Доказ

Ураўненне для інварыянтнага інтэрвалу

d S

{\displaystyle dS}

$\{\displaystyle dS\}$ у рашэнні Шварцшыльда мае выгляд

(

1 −

)

−

1 −

−

( d

sin

⁡ Ω d

)

{\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{s}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}

$\{\displaystyle dS^\{2\}=\left(1-\{\frac \{r_\{s\}\}\{r\}\}\right)c^\{2\}dt^\{2\}-\{\frac \{dr^\{2\}\}\{1-\{r_\{s\}\}/\{r\}\}\}-r^\{2\}(d\Omega ^\{2\}+\sin ^\{2\}\Omega d\varphi ^\{2\})\}$ Замяніце ў адпаведнасці з адносінамі нявызначанасці

≈

ℓ

{\displaystyle r_{s}\approx \ell _{P}^{2}/r}

$\{\displaystyle r_\{s\}\approx \ell _\{P\}^\{2\}/r\}$ . Атрымліваем

≈

(

1 −

ℓ

)

−

1 −

ℓ

−

( d

sin

⁡ Ω d

)

{\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}

$\{\displaystyle dS^\{2\}\approx \left(1-\{\frac \{\ell _\{P\}^\{2\}\}\{r^\{2\}\}\}\right)c^\{2\}dt^\{2\}-\{\frac \{dr^\{2\}\}\{1-\{\ell _\{P\}^\{2\}\}/\{r^\{2\}\}\}\}-r^\{2\}(d\Omega ^\{2\}+\sin ^\{2\}\Omega d\varphi ^\{2\})\}$ Відаць, што па шкале Планка

r

ℓ

{\displaystyle r=\ell _{P}}

$\{\displaystyle r=\ell _\{P\}\}$ метрыка прасторы-часу абмежавана знiзу даўжынёй Планка (з’яўляецца дзяленне на нуль), і ў гэтым маштабе існуюць сапраўдныя і віртуальныя чорныя дзіркі.

Метрыка прасторы-часу

= 1 − Δ g ≈ 1 −

ℓ

( Δ r

)

{\displaystyle g_{00}=1-\Delta g\approx 1-\ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}}

$\{\displaystyle g_\{00\}=1-\Delta g\approx 1-\ell _\{P\}^\{2\}/(\Delta r)^\{2\}\}$ вагаецца і стварае квантавую пену. Гэтыя ваганні

Δ g ∼

ℓ

( Δ r

)

{\displaystyle \Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}}

$\{\displaystyle \Delta g\sim \ell _\{P\}^\{2\}/(\Delta r)^\{2\}\}$ у макрасвеце і ў свеце атамаў вельмі малыя ў параўнанні з

{\displaystyle 1}

$\{\displaystyle 1\}$ і становяцца прыкметнымі толькі па шкале Планка. Ларэнца-інварыянтнасць парушаецца па шкале Планка. Формула ваганняў гравітацыйнага патэнцыялу

Δ g ∼

ℓ

( Δ r

)

{\displaystyle \Delta g\sim \ell _{P}^{2}/(\Delta r)^{2}}

$\{\displaystyle \Delta g\sim \ell _\{P\}^\{2\}/(\Delta r)^\{2\}\}$ супадае з Бора - Розенфельда адносінамi нявызначанасці

Δ g

( Δ L

)

≥ 2

ℓ

{\displaystyle \Delta g,(\Delta L)^{2}\geq 2\ell _{P}^{2}}

$\{\displaystyle \Delta g\,(\Delta L)^\{2\}\geq 2\ell _\{P\}^\{2\}\}$ [3] [4]

Любая спроба даследаваць магчымае існаванне больш кароткіх дыстанцый, у выніку сутыкненняў з высокай энергіяй, непазбежна прывядзе да вытворчасці чорнай дзіры. Сутыкненне больш высокай энергіі проста стварыла б больш вялікія чорныя дзіркі, а не расшчапленне матэрыялу на больш дробныя часткі.[5] Памяншэнне

Δ r

{\displaystyle \Delta r}

$\{\displaystyle \Delta r\}$ прывядзе да павелічэння

{\displaystyle \Delta r_{s}}

$\{\displaystyle \Delta r_\{s\}\}$ і наадварот.

Даўжыня Планка і эўклідавая геаметрыя

Даўжыня Планка - гэта даўжыня, пры якой квантавыя нулявыя ваганні гравітацыйнага поля цалкам скажаюць эўклідавую геаметрыю. Гравітацыйнае поле выконвае нулявыя ваганні, i геаметрыя, звязаная з ім, таксама вагаецца. Адносіны даўжыні акружнасці да радыусу вар’іруецца ў межах значэння Эўкліда. Чым менш маштаб, тым большыя адхіленні ад геаметрыі Эўкліда. Ацанім парадак даўжыні хвалі нулявых гравітацыйных ваганняў, пры якіх геаметрыя становіцца цалкам у адрозненне ад геаметрыі Эўкліда. Ступень адхілення

{\displaystyle \zeta }

$\{\displaystyle \zeta \}$ геаметрыі ад геаметрыі Эўкліда ў гравітацыйным полі вызначаецца суадносінамі гравітацыйнага патэнцыялу

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ і квадрата хуткасці святла

{\displaystyle c}

$\{\displaystyle c\}$ :

ζ

{\displaystyle \zeta =\varphi /c^{2}}

$\{\displaystyle \zeta =\varphi /c^\{2\}\}$ . Калі

ζ ≪ 1

{\displaystyle \zeta \ll 1}

$\{\displaystyle \zeta \ll 1\}$ , геаметрыя блізкая да эўклідавай геаметрыі; для

ζ ∼ 1

{\displaystyle \zeta \sim 1}

$\{\displaystyle \zeta \sim 1\}$ усе падабенствы знікаюць. Энергія ваганняў маштабу

{\displaystyle l}

$\{\displaystyle l\}$ роўная

E

ℏ ν ∼ ℏ c

{\displaystyle E=\hbar \nu \sim \hbar c/l}

$\{\displaystyle E=\hbar \nu \sim \hbar c/l\}$ (дзе

{\displaystyle c/l}

$\{\displaystyle c/l\}$ парадак частоты ваганняў). Гравітацыйны патэнцыял, створаны масай

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ , пры гэтай даўжыні

φ

G m

{\displaystyle \varphi =Gm/l}

$\{\displaystyle \varphi =Gm/l\}$ , дзе

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ з’яўляецца канстантай ўсеагульнай гравітацыі. Замест

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ мы павінны падмяніць масу, якая ў адпаведнасці з формулай Эйнштэйна адпавядае энергіі

{\displaystyle E}

$\{\displaystyle E\}$ (дзе

m

{\displaystyle m=E/c^{2}}

$\{\displaystyle m=E/c^\{2\}\}$ ). Атрымліваем

φ

G E

= G ℏ

{\displaystyle \varphi =GE/l,c^{2}=G\hbar /l^{2}c}

$\{\displaystyle \varphi =GE/l\,c^\{2\}=G\hbar /l^\{2\}c\}$ . Падзяляючы гэты выраз на

{\displaystyle c^{2}}

$\{\displaystyle c^\{2\}\}$ , мы атрымліваем значэнне адхілення

ζ

G ℏ

ℓ

{\displaystyle \zeta =G\hbar /c^{3}l^{2}=\ell _{P}^{2}/l^{2}}

$\{\displaystyle \zeta =G\hbar /c^\{3\}l^\{2\}=\ell _\{P\}^\{2\}/l^\{2\}\}$ . Прыраўноўваючы

ζ

{\displaystyle \zeta =1}

$\{\displaystyle \zeta =1\}$ , мы знаходзім даўжыню, пры якой эўклідавая геаметрыя цалкам скажаецца. Яна роўная даўжыні Планка

ℓ

G ℏ

≈

− 35

{\textstyle \ell _{P}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}\approx 10^{-35}\mathrm {m} }

$\{\textstyle \ell _\{P\}=\{\sqrt \{G\hbar /c^\{3\}\}\}\approx 10^\{-35\}\mathrm \{m\} \}$ .[6]

Як адзначаецца ў Рэджэ (1958), “для прасторы-часу з памерамі

{\displaystyle l}

$\{\displaystyle l\}$ нявызначанасць сімвала Крыстафеля

Δ Γ

{\displaystyle \Delta \Gamma }

$\{\displaystyle \Delta \Gamma \}$ будзе парадку

ℓ

{\displaystyle \ell _{P}^{2}/l^{3}}

$\{\displaystyle \ell _\{P\}^\{2\}/l^\{3\}\}$ , а нявызначанасць метрычнага тэнзара

Δ g

{\displaystyle \Delta g}

$\{\displaystyle \Delta g\}$ будзе парадку

ℓ

{\displaystyle \ell _{P}^{2}/l^{2}}

$\{\displaystyle \ell _\{P\}^\{2\}/l^\{2\}\}$ . Калі

{\displaystyle l}

$\{\displaystyle l\}$ - макраскапічная даўжыня, то квантавыя абмежаванні фантастычна малыя і імі можна грэбаваць нават на атамных маштабах. Калі значэнне

{\displaystyle l}

$\{\displaystyle l\}$ супастаўна

ℓ

{\displaystyle \ell _{P}}

$\{\displaystyle \ell _\{P\}\}$ , то падтрыманне ранейшай (звычайнай) канцэпцыі прасторы становіцца ўсё цяжэй і ўздзеянне мікракрывізны становіцца відавочным”.[7] Меркавана, гэта можа азначаць, што прастора-час ператворыцца ў квантавую пену па шкале Планка.[8]

Нарэшце, аналіз ўраўнення Гамільтана-Якобі у прасторах рознай мернасці ў дачыненні да планкаўскага маштаба паказаў, што ўзнікненне віртуальных планкаўскiх чорных дзюр (квантавай пены, асновы «тканіны» Сусвету) энергетычна найбольш выгадна ў трохмернай прасторы, што, хутчэй за ўсё, і абумовіла трохвымернасць назіранай прасторы.[9]

Зноскі

↑ Ч. Мизнер, Т. Уилер, Дж. Торн “Гравитация”, Москва, Мир, 1977, т. 3, с. 455-459, с.468-471
↑ Klimets A.P., “On the fundamental role of massless form of matter in physics”, Philosophy Documentation Center, Western University-Canada, 2017, pp.25-28
↑ Borzeszkowski, Horst-Heino; Treder, H. J. (6 December 2012). The Meaning of Quantum Gravity. Sprin.ger Science & Business Media. ISBN 9789400938939. https://books.google.com/?id=fPXwCAAAQBAJ&pg=PA33&lpg=PA33&dq=Bohr-Rosenfeld+uncertainty+relations#v=onepage&q=Bohr-Rosenfeld+uncertainty+relations&f=false. , p.36
↑ Тредер Г.Ю. “Взгляды Гельмгольца, Планка и Эйнштейна на единую физическую теорию.” в сб. Проблемы физики: классика и современность., Москва, Мир, 1982, с.305
↑ Бернард Карр, Стивен Гиддингс, Квантовые черные дыры, В мире науки, № 5, 2005
↑ Мигдал А.Б., Квантовая физика для больших и маленьких, М. Наука, с. 116-117, (1989 г.))
↑ Редже Т. Гравитационные поля и квантовая механика, в сб. “Альберт Эйнштейн и теория гравитации”, Москва, Мир, 1979, с.463 (Regge T. Nuovo Cimento, 7, 215, 1958)
↑ Wheeler, J. A. (January 1955). “Geons”. Physical Review 97 (2): 511–536. doi:10.1103/PhysRev.97.511. Bibcode: 1955PhRv…97..511W.
↑ Klimets A.P. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23 — 42, § 4 Архівавана 20 снежня 2008.

Спасылкі

Лекции по Общей Астрофизике для Физиков. 1.5 Планковские единицы

Гл. таксама

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Адзінкі вымярэння даўжыні
Катэгорыя·Планкаўскія адзінкі
Катэгорыя·Фізічныя канстанты
Катэгорыя·Квантавая гравітацыя