Адваротная матрыца — такая матрыца A−1, пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца A дае ў выніку адзінкавую матрыцу E:
A
A
− 1
=
A
− 1
E .
{\displaystyle !AA^{-1}=A^{-1}A=E.}
Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе вызначнік не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і выраджаных матрыц адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.
A
− 1
=
1
det A
,
{\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}},}
дзе
det
{\displaystyle \det }
абазначае вызначнік.
)
− 1
=
B
− 1
A
− 1
{\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}
для любых дзвюх абарачальных матрыц
A
{\displaystyle A}
і
B
{\displaystyle B}
.
A
T
)
− 1
= (
A
− 1
)
T
,
{\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T},}
дзе
∗
T
{\displaystyle *^{T}}
абазначае транспанаваную матрыцу.
)
− 1
=
k
− 1
A
− 1
{\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}
для любога каэфіцыента
k ≠ 0
{\displaystyle k\not =0}
.
b
{\displaystyle Ax=b}
, (b — ненулявы вектар) дзе
x
{\displaystyle x}
— шуканы вектар, і калі
A
− 1
{\displaystyle A^{-1}}
існуе, то
A
− 1
b
{\displaystyle x=A^{-1}b}
. У адваротным выпадку альбо размернасць прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.
A
− 1
=
[
a
b
c
d
]
− 1
=
1
a d − b c
[
d
− b
− c
a
]
.
{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\c&d\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix},,,d&!!-b\-c&,a\\end{bmatrix}}.}
Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што
det A ≠ 0
{\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}
.