wd wp Пошук: ⬜

Адваротная матрыца

Адваротная матрыца — такая матрыца A−1, пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца A дае ў выніку адзінкавую матрыцу E:

A

A

− 1

=

A

− 1

A

E .

{\displaystyle !AA^{-1}=A^{-1}A=E.}

Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе вызначнік не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і выраджаных матрыц адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.

Уласцівасці адваротнай матрыцы

• det

A

− 1

=

1

det A

,

{\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}},}

дзе

det

{\displaystyle \det }

абазначае вызначнік.

• ( A B

)

− 1

=

B

− 1

A

− 1

{\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}

для любых дзвюх абарачальных матрыц

A

{\displaystyle A}

і

B

{\displaystyle B}

.

• (

A

T

)

− 1

= (

A

− 1

)

T

,

{\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T},}

дзе

∗

T

{\displaystyle *^{T}}

абазначае транспанаваную матрыцу.

• ( k A

)

− 1

=

k

− 1

A

− 1

{\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}

для любога каэфіцыента

k ≠ 0

{\displaystyle k\not =0}

.

• Калі неабходна рашыць сістэму лінейных ураўненняў

A x

b

{\displaystyle Ax=b}

, (b — ненулявы вектар) дзе

x

{\displaystyle x}

 — шуканы вектар, і калі

A

− 1

{\displaystyle A^{-1}}

існуе, то

x

A

− 1

b

{\displaystyle x=A^{-1}b}

. У адваротным выпадку альбо размернасць прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.

Прыклады

Матрыца 2х2

A

− 1

=

[

a

b

c

d

]

− 1

=

1

a d − b c

[

d

− b

− c

a

]

.

{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\c&d\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix},,,d&!!-b\-c&,a\\end{bmatrix}}.}

Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што

a d − b c

det A ≠ 0

{\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}

.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тыпы матрыц